Les nombres complexes

Exemple :
= 2 – 5 i.
! Inverse
1
a
b
i.
L’inverse de z, non nul, est =
z a 2 +b2 a 2 +b2
1
2 − 5i
2 − 5i
2
5
Exemple :
=
= 2
=
i.
2 + 5i (2 + 5i )(2 − 5i )
2 − (5i ) 2
29 29
On a multiplié numérateur et dénominateur par le nombre complexe
conjugué et utilisé une identité remarquable (valables aussi dans ! ).
! D’autres propriétés :
=z
z×
=
= a2 + b2
=
=
=
III. Représentation géométrique
" "
Dans un repère orthonormal (O ; i ; j ), au nombre complexe z = a+bi,
on associe son image, le point M (a ; b).
Inversement, on dit qu’un point M(a ; b) a pour affixe z = a +bi.
En terme" de####
vecteur,
l’image du nombre complexe
"
" ####" z = a+bi est le
vecteur u = OM (a ; b) et l’affixe du vecteur u = OM (a ; b) est z = a+bi.
Définition :
Soit z = a+ bi d’image M(a ; b).
z et
On définit le module de z : |z| = OM = a 2 +b 2 (= "z × ####
" noté )
On définit un argument de z (non nul) : arg (z) = ( i ; OM ) à 2 près.
On appellera Argument de z (noté ) la valeur appartenant à [0 ; 2 [.
Propriétés :
• | | = | z | et arg ( ) = - arg(z).
• Soit A (zA) et B ###
(z"B), on a : AB = |zB - zA| et
"
arg (zB - zA) = ( i ; AB ) à 2 près.
IV. Forme algébrique-Forme trigonométrique
! Forme algébrique vers trigonométrique
Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = a+bi.
On veut écrire z sous la forme trigonométrique :
z=[
] = ( cos )+ i ( sin )
z
a
b
On a : = a 2 +b 2 et
=
+
i = cos + i sin , donc :
ρ
a2 +b2
a2 +b2
2
2
!
ρ
a
+b
=
"
#
a
b
et sin θ =
"θ tel que : cos θ =
a2 +b2
a2 +b2
$
! Forme trigonométrique vers algébrique
Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = [
].
On veut écrire z sous la forme algébrique.
] = ( cos ) + i ( sin ), donc on pose :
On a z = [
!a = ρ cos θ
et on a z = a+bi où a et b sont des nombres réels.
#
$b = ρ sin θ
V. Exemple de calculs (Bac STI, 09/2008)
Enoncé : Dans le plan complexe , on considère les points A et B
d’affixes respectives zA = 3 + i 3 et zB = 3 – i 3 .
Question : Déterminer le module et un argument de chacun des
nombres complexes zA et zB.
Réponse :
|zA|= |3 + i 3 |=
3 2 +( 3) 2 = 9+3 = 12 = 2 3 .
3 1
3
3
z
i=
=
+
+ i = cos + i sin .
2 2
2 3 2 3
2 3
On cherche
qui vérifie cos
On a donc zA = [ 2 3 ;
Ecriture trigonométrique
Un nombre complexe z aura une écriture unique de la forme [
On appellera cette écriture, écriture trigonométrique de z.
z=[
] = ( cos )+ i ( sin )
].
π
6
3
=
et sin
2
1
= .
2
]. Remarquons que zB =
|zB|=| |=|zA|= 2 3 et arg zB = - arg zA= −
π.
6
=
π
6
convient.
, on a donc :
zB = [ 2 3 ; -
π
6
].
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière. / 2008
! Produit
z × z’ = (a ⋅a’ - b ⋅b’) + (a ⋅b’+a’ ⋅b) i
La formule utilise, en particulier, que i2 = -1.
Exemple : (3 – i) × (1 + 2 i) = 3 (1 + 2 i) – i (1 + 2 i)
= 3 + 3 2 i - i - 2 i2 = (3+ 2 )+ (3 2 -1) i.
! Conjugué
Le complexe conjugué de z, est = a – b ⋅i.
! Somme
z + z’ = (a+a’) + (b+b’) i
(a+a’ est la partie réelle de z+z’ et b+b’, sa partie imaginaire)
Exemple : (3 – i) + (1 + 2 i ) = 2 + ( 2 -1) i.
Soit z = a+bi ; z’ = a’+b’i, deux nombres complexes (a, b, a’ et b’ réels)
! Egalité de complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties
réelle et imaginaire sont égales.
z = z’ ⇔ a = a’ et b = b’.
En particulier : z = 0 ⇔ a = 0 et b = 0.
II. Opérations
Exemples : 2 + 3 i ; 3i ; 5 ; 0. En prenant b = 0, on remarque qu’un
nombre réel est en particulier un nombre complexe. ( ! ⊂ ! ).
Un nombre complexe z s’écrit sous la forme z = a+ b ⋅i (ou a+b ⋅ j) où a
et b sont des nombres réels et où i (ou j) est un nombre complexe
qui vérifie i2 = -1 (ou j2 = -1).
N.B. i étant aussi la lettre qui représente l’intensité, on peut utiliser la
lettre j pour ne pas les confondre.
Cette écriture est appelée écriture algébrique d’un nombre complexe.
a est appelée partie réelle de z et b, partie imaginaire de z.
L’ensemble des nombres complexes est noté ! .
I. Définition
Les nombres
complexes