Triangles rectangles

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TRIGONOMETRIE
Cosinus et sinus
C
HypotÅnuse
CÄtÅ opposÅ
1)
A
B
CÄtÅ adjacent
Dans un triangle ABC rectangle en A,
 est le nombre not• : cos ABC
 = AB = cÄtÅ adjacent ,
le cosinus de l’angle aigu ABC
BC
hypotÅnuse
 est le nombre not• : sin ABC
 = AC = cÄtÅ opposÅ
et le sinus de l’angle aigu ABC
BC
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en B tel que
BC = 5 cm et [BH] est la hauteur issue de B.
On donne BH = 4 cm.
Faire une figure.
hypotÅnuse
C
H
.
a) Calculer la mesure de l’angle ACB
b) Calculer AC, puis AB.
B
A
2/3
2) Tangente
C
Dans un triangle ABC rectangle en A,
 est le nombre not• :
la tangente de l’angle aigu ABC
 
tan ABC
AC cÄtÅ opposÅ

AB cÄtÅ adjacent
A
B
Remarque :
Le cercle a pour rayon OJ = OA = 1 et (AB) est tangente au cercle en A.
Alors
  63 
tan HCB
J
HB 4
4
= HA 
B
HC 2
tan 27 .
O
   90
A+C
B
x
A
I
Exemple :
BH = 4 cm et CH = 2 cm.
2 cm
C
.
a) Calculer la mesure de l’angle ACB
H
  HCB
 . Dans le triangle HCB rectangle en H,
ACB
  HB = 4 . Donc HCB
  63 .
tan HCB
HC 2
63Ä
4 cm
b) Calculer AH.
27‚
   90 .
Dans le triangle ABC rectangle en B, A+C
B
  90  63 , donc A
  27 .
Donc A

Dans le triangle HAB rectangle en H, tan HAB
Donc HA x tan 27‚  4. Donc HA 
7,9 cm
A
HB
4
, donc tan 27 
.
HA
HA
4
 7,9 cm.
tan 27
3) Formules de trigonomÄtrie
sin 2 x + cos 2 x = 1
tan x 
sin x
cos x
cos x = sin (90‚ – x)
sin x = cos (90‚ – x)
 
Construire un triangle ABC rectangle en A tel que sin ABC
Exemple:
1
.
2
 , puis tan ABC
.
Calculer ensuite cos ABC
2
1
2
2
1
B
A
  cos ÇABC
  1.
sin 2 x + cos 2 x = 1, donc sin ÇABC
1
2
C
2
1
 2
2
  1 , d’o„ cos ÇABC
  1

Donc    cos ÇABC
  . Donc cos ABC  1     1 
Car le cosinus d’un angle aigu est toujours positif.
3
3
  3.

. Finalement cos ABC
4
2
4
1

sin
ABC
1 2
 
  1  3.
Donc tan ABC
 2  
. Donc tan ABC

3
3 2
3
3
cos ABC
2
 
Donc cos ABC
1
,
4
3/3
4) Tableau des valeurs particuliÅres
sin
cos
tan
0‚
0
1
0
30‚
1
2
3
2
1
3

3
3
45‚
2
2
2
2
1
60‚
3
2
1
2
90‚
1
0
3