Question de cours Démontrer que si X et Y sont deux variables

B2
Modélisation
Devoir sur table
Lundi 7 Novembre 2016
Durée : 3h30
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats ne doivent faire usage d’aucun document ;
l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre.
Les exercices peuvent être traités dans n'importe quel ordre.
Question de cours
Démontrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de
paramètre λ et μ respectivement, alors X+Y suit la loi de Poisson de paramètre λ+μ
Exercice 1
Une société possède un serveur vocal qui reçoit des appels (que l'on supposera consécutifs) soit pour le
produit A, soit pour le produit B. On suppose que les sujets des appels (produit A ou produit B) sont
indépendants.
Partie I. Etude de 100 appels
On suppose dans cette partie que le serveur vocal reçoit 100 appels. On suppose que la probabilité qu'un
appel reçu par le serveur concerne le produit A est 0,05. On note X la variable aléatoire égale au nombre
d'appels concernant le produit A au cours des 100 appels reçus.
1. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
Une réponse argumentée est attendue
X compte le nombre de succès à l'issue d'une succession indépendante d'expériences de
Bernoulli, de paramètre 0,05.
Donc X suit une loi B(100,0,05) E(X) = 5 V(X) = 4,75
2. On suppose que chaque appel concernant le produit A permet à la société d'engranger un
bénéfice net de 95 euros et chaque appel concernant le produit B permet à la société
d'engranger un bénéfice net de 5 euros. On note Y le bénéfice total de la société pour 100
appels.
Calculer l'espérance et la variance de Y.
Y = 95X+5(100-X) = 500 + 90 X
Donc E(Y) = 90E(X) = 450 et V(Y) = 8100 V(X) = 38475
3. On suppose que l'on peut approcher la loi de la variable X par une loi de Poisson. Donner le
paramètre de cette loi de Poisson.
D'après le cours, le paramètre de cette loi de Poisson est 100x0,05 = 5
Partie II : Etude de la première série d'appels
On suppose dans cette partie que le serveur vocal reçoit une infinité d'appels consécutifs. On suppose
également que 20% des appels concernent le produit A et 80% des appels concernent le produit B. On dit
que le serveur possède une première série d'appels de longueur n si les n premiers appels concernent le
même produit et le (n+1)-ième concerne l'autre produit. On note :
–
X A la variable aléatoire égale au nombre d'appels nécessaires pour obtenir le premier appel
concernant le produit A.
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X B la variable aléatoire égale au nombre d'appels nécessaires pour obtenir le premier appel
concernant le produit B.
– L la variable aléatoire égale à la longueur de la première série d'appels.
Par exemple si les 3 premiers appels concernent le produit A, les 2 appels suivants le produit B, les 4 appels
suivants le produit A, … on symbolisera ces appels sous la forme AAABBAAAA...
Dans ce cas, on a X A =1 , X B=4 et L = 3
–
1. Donner la loi de X A , son espérance, sa variance.
Une réponse argumentée est attendue
X A est la loi du premier succès obtenu au cours d'une succession indépendante d'expériences de
Bernoulli de paramètres 0,2.
Donc X A suit une loi géométrique sur ℕ* de paramètre 0,2.
Et E( X A ) = 5, V( X A )=20
2
2
En déduire l'espérance de X A , notée E( X A )
2
2
E( X A ) = V( X A ) + ( E(X A)) = 45
2. De même, donner la loi de X B , ainsi que son espérance et sa variance.
2
2
En déduire l'espérance de X B , notée E( X B )
X B suit une loi géométrique sur ℕ* de paramètre 0,8.
5
Et E( X B ) = 1,25 V( X B )=
16
2
2
E( X B ) = V( X B ) + ( E(X B)) =
15
8
3. Soit n in entier naturel supérieur ou égal à 1.
1. Décrire l'événement ( L=n)∩(X B=n+1) à l'aide de lettres A et B.
( L=n)∩(X B=n+1) =AA...AB
(A répété n fois)
Décrire l'événement ( L=n)∩( XA =n+1) à l'aide de lettres A et B.
( L=n)∩( XA =n+1) =BB..BA (B répété n fois)
2. En déduire l'expression de P(L=n) en fonction de n et vérifier que :
∀ n ≥ 1, P(L=n )=0,8×P( XA =n)+0,2 P( XB=n )
L'événement (L=n) est réalisé si l'un des deux événements distincts suivants est réalisé :
( XB =n+1) ou ( XA =n+1)
Donc (L=n) = ( L=n)∩(X B=n+1) ∪(L=n)∩(X A =n+1)
Par disjonction : P(L=n) = P((L=n)∩(X B=n+1)) + P((L=n)∩(X A=n+1))
= 0,2n ×0,8+0,8n ×0,2
D'autre part, pour n ≥ 1,
n−1
n−1
0,8×P(X A=n)+0,2 P( XB =n )=0,8×0,8 ×0, 2+0,2×0,2 ×0,8 = 0,2n ×0,8+0,8n ×0 ,2
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4. A l'aide de la question précédente, montrer que les espérances de L et L2 sont données par :
E(L) = 0,8×E (X A)+0,2×E( XB )
2
2
2
E(L )=0,8×E(X A )+0,2×E (XB )
En déduire E(L) et V(L)
On a L( Ω ) = ℕ*
Les séries de terme général n×P(X A=n) et n×P(X n =n) sont absolument convergentes, puisque
la loi géométrique admet une espérance. Par linéarité, la série de terme général n×P(L=n )
+∞
+∞
k=1
k=1
converge absolument et E(L) = ∑ n×P( L=n)=∑ n×(0,8 P(X A=n)+0,2×P(X B=n))
= 0,8×E (X A)+0,2×E( X B )
+∞
2
2
Sous réserve d'absolue convergence, E(L )=∑ n P(L=n)
n=1
2
2
Mais les séries de terme général n ×P( XA =n) et n ×P(X n =n) sont absolument convergentes,
puisque la loi géométrique admet une variance, donc un moment d'ordre 2.
Donc la série de terme général n 2 ×P( L=n) converge également et :
E( L2 ) =
+∞
+∞
∑ n 2×P(L=n )= ∑ n 2×(0,8 P(X A=n)+0,2×P( XB=n ))
k=1
2
k=1
2
2
Soit E(L )=0,8×E(X A)+0,2×E (XB )
On en déduit : E(L) = 4 + 0,25 = 4,25
0,2×15
3 288
0,8×45+
=36+ =
=96
et E( L2 ) =
8
8
3
Exercice 2
Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notés C1 ,C2 ,C3 arrivent en même temps. Les clients
C1 et C2 se font servir tandis que le client C3 attend puis effectue son opération dès que l'un des
deux guichets se libère.
On définit X1 , X 2 ,X 3 les variables aléatoires égales à la durée de l'opération des clients C1 ,C2 ,C3
respectivement. Ces durées sont mesurées en minutes et arrondies à l'unité supérieure ou égale.
On suppose que les variables aléatoires X 1 , X 2 ,X 3 suivent la loi géométrique sur ℕ* de paramètre p, 0 < p
< 1, et qu'elles sont indépendantes. On note q = 1 – p.
On note A l'événement, : « C3 termine en dernier son opération » .
Ainsi l'événement A est égal à l'événement : (min ( X1 , X 2 ) + X 3 ) > max ( X 1 , X 2 ) ).
On se propose de calculer la probabilité de A.
1. Rappeler la loi de X1 ainsi que son espérance E ( X1 ) et sa variance V ( X 1 ).
Ecrire une fonction Python qui simule la loi de X1
On définit la variable aléatoire D = ∣X1 −X2∣
2. Calculer la probabilité P(D=0)
P(D=0) = P( X 1 =X2 )
Le système ( X1 =i)i∈ℕ est un s.c.e.
*
+∞
Par disjonction et indépendance : P(D=0) =
1
i=1
3. Soit n un entier naturel non nul.
1. Calculer P( X 1 −X 2 =n)
En utilisant le s.c.e. ( X2 =i)i ∈ℕ : ( X1 −X2 =n)
*
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3/9
+∞
∑ P (X =i)×P(X =i)=∑ p q
2
i=1
2
2(i−1)
2
=
p
p
=
2
1+q
1−q
i =+∞
i =+∞
i =1
i =1
∪ (X 2=i)∩(X 1−X 2=n) =
=
∪ (X2 =i)∩(X1 =n+i)
Par disjonction et indépendance :
P( X 1 −X 2 =n) =
i=+∞
∑
i=1
i=+∞
P(X 2 =i)×P (X1 =n+i)= ∑ p qi −1 p q n+i−1=p2 q n
i=1
n
i =+∞
∑
q 2(i −1)=p 2
i =1
q n+2 p q n
=
2
1−q 1+q
2pq
2. En déduire : P(D=n) =
1+q
Par disjonction des cas (n non nul) :
P(D=n) = P( X 1 −X2 =n) + P( X 1 −X 2 = - n) = P( X1 −X2 =n) + P( X 2−X1 = n)
Par symétrie : P( X1 −X2 =n) = P( X 2−X1 = n). D'où le résultat.
4.
1. Montrer que D admet une espérance et la calculer.
La série de terme général n q n converge, car série dérivée de la série géométrique.
Donc D a une espérance et
n
+∞
+∞
2pq
2p +∞
2pq +∞
2pq
1
2q
n
=
n
q
=
=
E(D) = ∑ n P(D=n)=∑ n
∑
∑ n q n−1= 1+q
2
2
1+q
1+q
1+q
(1−q)
1−q
n=0
n=1
n=1
n=1
2
2. Montrer que E(( X1−X 2 ) )=2 V( X1 ) . En déduire que D admet une variance et la calculer.
2
2
2
2
2
E(( X1−X 2 ) )=E(X1 −2 X 1 X 2+X 2 )=E( X1 )−2 E (X1 X2 )+E(X 2 )
Mais X 1 et X 2 sont indépendantes.
Donc E( X1 X 2 )=E( X1 )E (X 2 )
De plus X1 et X 2 suivent la même loi.
2
2
2
Donc E(( X1−X 2 ) )=2 E(X 1 )−2(E( X1 )) = 2 V (X1 )
Donc D admet une variance.
Et V(D) = E( D2 ) - ( E(D))2
q
2
p
2
2
2
2
2q(1+q) −4 q 2q((1+q) −2)
2q
4q
=
Donc V(D) = 2 =
2
2
p
(1−q 2 )2
(p(1+q ))
( p(1+q))
2
2
E(D )=E((X 1−X 2 ) )=2 V(X 1 )=2
5. Montrer que l'évènement A est égal à l'évènement ( X 3 >D)
A = (min ( X1 , X 2 ) + X 3 ) > max ( X1 , X 2 ) ) =( X 3 >max ( X 1 , X 2 ) - min ( X1 , X 2 ) )
Mais max ( X1 , X 2 ) - min ( X1 , X 2 ) = ∣X1 −X2∣
Donc A = ( X 3 >D)
6. En déduire P(A). (on l'exprimera en fonction de p et q)
Par disjonction et indépendance de X 3 et D, et sous réserve de convergence :
+∞
P(A) =
∑ P( D=i)×P(X3>i)
i=0
Or : P(X 3>i)=
+∞
∑
k=i+1
pq
k−1
=p
i
q
i
=q
1−q
+∞
Donc P(A) = P(D=0)×P(X 3>0)+∑ 2p
i =1
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4/9
i
2
2
q
p
q
p
q
i
×q =
+2p
=
+2
2
1+q
1+q
(1+q)(1−q ) 1+q
(1+q )2
2
Finalement : P(A) =
p(1+q )+2 q
1+q 2
=
2
2
(1+q)
(1+q )
7. Ecrire une fonction Python simule_D(p) qui simule la variable aléatoire D.
def simule_D(p) :
# Simulation de X1
x1= 1
while random() > p :
x1 +=1
x2 = 1
while random() > p :
x2 +=1
return(abs(x1-x2))
Exercice 3
Soit n un entier naturel non nul. Une urne contient 2n boules discernables au toucher : n numérotées
0, les autres numérotées de 1 à n. On effectue au hasard deux tirages successifs et sans remise d’une boule
dans cette urne. On note X le plus grand numéro obtenu et Y le plus petit numéro obtenu lors de ces deux
tirages.
1. Déterminer les valeurs prises par X.
2. Proposer une représentation informatique de l’urne permettant de simuler une expérience telle que
celle décrite ci-dessus et retournant la liste [X, Y ]
3.
Proposer une fonction permettant de simuler m expériences telles que celle décrite
ci-dessus et retournant la liste des résultats de ces m expériences.
4.
Écrire une fonction simulant les m expériences successives pour évaluer la probabilité de
l’événement (X = Y + 1) sous la forme d’une fréquence.
5. Calculer P (X = Y + 1)
Exercice 4
On considère le problème de probabilités suivant : une urne contient n jetons numérotés de
1 à n, on tire les jetons un à un avec remise jusqu’à obtention d’un numéro inférieur ou égal au précédent.
On note X le nombre de jetons tirés. Par exemple, si les tirages successifs donnent (1, 3, 6, 2) alors X
prend la valeur 4.
1. Écrire une fonction Python() simule(n) qui permet de simuler cette expérience en calculant la valeur
de X.
2. Loi de X
1. Déterminer X( Ω )
X( Ω ) = [[2,n+1]]
2. Décrire par une phrase de français l'événement (X > k)
Les k premiers numéros tirés sont rangés dans l'ordre croissant strictement.
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5/9
3. Montrer que, pour k appartenant à un ensemble à préciser, P(X>k)=
(k)
( nk )
n
k
Pour 2≤k≤n, il y a n suites strictement croissantes de k éléments parmi n. Il s'agit de tirages
k
avec remise, donc il y a n tirages au total.
D'où le résultat.
4. En déduire la loi de X.
Pour 2< k≤ n , P(X=k) = P(X > k-1) – P(X > k) =
n
( k−1
) ( nk )
En appelant Xi le numéro du tirage no i,
n
n
1 i
n+1
P(X=2) = ∑ P (X1 =i∩X2 ≤ i)=∑ ( × )=
n
2n
i=1
i =1 n
1
Et P(X=n+1) = n (tirage de la 1, puis la 2, ...)
n
5. Vérifier que
∑
k∈X (Ω)
=
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∑
n
k−1
-
n
k
P(X=k)=1
k∈X (Ω)
n
n
n
n
(
k−1) ( k )
1 n+1
(
)
(
)
P(X=k )= ∑ P(X=k)=∑ (
−
)+ +
= 2 − n + 1 + n+1
n+1
n
k=2
k=3
n−1 n+1
+
=1
2n
2n
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n
k−1
n
k
n
n
2n
n
2
n
n
n
n
2n
Exercice 5
Soient a et b deux entiers strictement positifs. Une urne contient initialement a boules rouges et b boules
blanches. On effectue une succession d'épreuves, chaque épreuve étant constituée des trois étapes suivantes :
. On pioche une boule au hasard dans l'urne
. On replace la boule tirée dans l'urne
. On rajoute dans l'urne une boule de la même couleur que celle qui vient d'être piochée.
Après n épreuves, l'urne contient donc a+b+n boules.
Pour tout n ∈ℕ* , on note X n le nombre de boules rouges qui ont été ajoutées dans l'urne (par rapport à la
composition initiale) à l'issue des n premiers tirages.
Pour tout n ∈ℕ* , on notera R n l'événement « on pioche une boule rouge au n-ième tirage »
1. Déterminer X n ( Ω )
2. Python
1. Compléter la fonction suivante qui simule le tirage d'une boule dans une urne contenant x boules
rouges et y boules blanches et qui retourne la valeur 0 si la boule est rouge et 1 si elle est
blanche.
import random as rd
def tirage(x,y) :
r = rd.random()
if …......................... :
return(0)
else :
return(1)
2. Compléter la fonction suivante, qui simule n tirages successifs dans une urne contenant
initialement a boules rouges et b boules blanches (selon le protocole décrit ci-dessus) et
retourne la valeur de X n
def experience(a,b,n) :
x=a
y=b
for k in range(1,n+1) :
r = tirage(x,y)
if r == 0 :
x = …......................
else :
….............................
return(.............)
3. On s'intéresse dans cette question au cas où a = b = 1.
1. Déterminer la loi de X1
X 1 suit une loi binomiale de paramètre ½ ou encore une loi uniforme sur {0,1}
2. Soient k et n deux entiers tels que 0 ≤ k ≤ n. Déterminer les probabilités conditionnelles
suivantes :
P(X =k) ( Xn+1=k) , P( X =k )(X n+1 =k+1) et P(X =k)( Xn+1=m) avec m∉{k,k+1}
1+n−k
P(X =k)( Xn+1=k )=
2+n
1+k
P(X =k) (X n+1 =k+1)=
2+n
∀ m∉{k,k+1} ,P(X =k) ( Xn+1=m)=0
n
n
n
n
n
n
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3. En raisonnant par récurrence sur n, prouver que X n suit une loi uniforme sur [[0,n]].
Initialisation prouvée pour n=1, question 3.1
Hérédité.
Il est clair que X n+1 (Ω) = [[0,n+1]]
Et ( X n =k )0 ≤ k ≤ n forme un s.c.e
n
n
i=0
i =0
Donc P( X n+1 =k)= ∑ P (X n =i∩Xn+1=k)=∑ P( X =i )( Xn+1=k )×P(X n =i)
n
D'après 3.3
P( X n+1 =k)= P(X =k)(X n+1=k)×P(X n =k)+P( X =k−1) (X n+1=k )×P( Xn =k−1)
D'après l'H.R.
1+n−k 1
1+k−1
1
1+n
1
+
×
=
=
P( X n+1 =k)=
Q.E.D.
2+n n+1
2+n
n+1 (2+n)(1+n) 2+n
n
n
4. On revient au cas général où a et b sont deux entiers strictement positifs.
1. Soit 1≤ k ≤ n. Calculer la probabilité suivante :
P(R 1 ∩R 2 ∩...∩R k ∩R k+1∩R k+2∩..∩R n )
D'après la formule des probabilités composées,
P(R 1∩R 2∩...∩R k ∩R k+1 ∩R k+2 ∩..∩R n )
a
a+1
a+k−1
b
b+1
b+n−k−1
=
×
×..×
×
×
×..×
a+b a+b+1
a+b+k−1 a+b+k a+b+k+1
a+b+n−1
(a+k−1)! ( b+n−k+1)!
(a+b−1)!
=
×
×
(a−1)!
( b−1)!
(a+b+n−1)!
2. Justifier alors que :
b−1)!
( nk ) (a+k−1)!(b+n−k−1)!(a+
(a−1)!(b−1)!(a+b+n−1)!
∀ k∈[[ 0, n ]], P(X n =k)=
L'événement ( X n =k) est réalisé lorsque k boules rouges et n-k boules blanches ont été tirées.
Cet événement est donc l'union disjointe d'événements équiprobables et de probabilité égale à
la probabilité de ( R1 ∩R 2∩...∩R k ∩R k+1∩R k+2 ∩..∩R n ) .
Le nombre de ces événements est égal au nombre de façons de choisir les positions relatives
des tirages blancs et rouges, soit
( nk )
. D'où le résultat.
Exercice 2
Soit n un entier naturel non nul. Une urne contient 2n boules discernables au toucher : n numérotées
0, les autres numérotées de 1 à n. On effectue au hasard deux tirages successifs et sans remise d’une boule
dans cette urne. On note X le plus grand numéro obtenu et Y le plus petit numéro obtenu lors de ces deux
tirages.
1. Déterminer les valeurs prises par X.
2. Proposer une représentation informatique de l’urne permettant de simuler une expérience telle que
celle décrite ci-dessus et retournant la liste [X, Y ] Indication : la fonction random() fournit un
nombre réel aléatoire dans [0, 1[.
3.
Proposer une fonction permettant de simuler m expériences (avec m grand) telles que celle décrite
ci-dessus et retournant la liste des résultats de ces m expériences.
4.
Écrire une fonction simulant les m expériences successives pour évaluer la probabilité de
l’événement (X = Y + 1) sous la forme d’une fréquence.
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8/9
5. Calculer P (X = Y + 1) ?
DS 2 / B2
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