Entiers naturels - PTSI Eiffel Dijon

PTSI2 2016-17
TD13 - Entiers naturels et arithmétique, dénombrement
Exercice 1.
Résoudre dans ℤ 2 les équations suivantes : 1. xy = 2 x + 3 y
2.
1 1 1
+ =
x y 5
** Exercice 2.
Soit n ∈ ℕ* . Déterminer le reste de la division euclidienne de 10n par 9.
** Exercice 3.
Soient (a, b) ∈ ℕ* . On note q le quotient de la division euclidienne de a − 1 par b .
Pour tout n ∈ ℕ* , déterminer, en fonction de q , le quotient de la division euclidienne de ab n − 1 par b n +1 .
Exercice 4.
Montrer que pour tout n ∈ ℕ* , il existe p, q ∈ ℕ tels que n = 2 p (2q + 1) .
(on pourra considérer A = { p ∈ ℕ, 2 p / n} ).
Exercice 5.
 x + y = 12
Résoudre dans ℕ*2 le système : 
(on pourra commencer par chercher PGCD ( x, y ) ).
 PPCM( x, y ) = 9
Exercice 6. Nombres de Mersenne
Pour tout a ∈ ℕ* \ {1} , on pose M a = 2a − 1 .
1. On suppose que M a est un nombre premier. Montrer que a est un nombre premier.
2. On dit qu'un entier n ≥ 2 est parfait lorsque la somme de ses diviseurs est égale à 2n . On suppose que
M a est un nombre premier. Montrer que 2a −1 M a est un nombre parfait.
Exercice 7.
Dans un lycée de 1200 élèves, 652 pratiquent une activité sportive, 327 jouent d'un instrument de musique et
453 ne font ni sport, ni musique.
Déterminer le nombre d'élèves sportifs et musiciens.
** Exercice 8.
Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15.
Les boules numérotées de 1 à 5 sont blanches, les boules de 6 à 15 sont noires.
1. On tire simultanément cinq boules dans l'urne.
a. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b. Combien y a-t-il de tirages donnant deux boules blanches et trois noires ?
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c. Combien y a-t-il de tirages donnant au moins une boule blanche ?
2. On tire successivement cinq boules de l'urne sans remise.
a. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b. Combien y a-t-il de tirages donnant deux boules blanches et trois noires ?
c. Combien y a-t-il de tirages donnant au moins une boule blanche ?
Exercice 9.
On lance trois dés à six faces, discernables les uns des autres (par exemple trois dés de couleur différente).
1. Déterminer le nombre total de résultats possibles.
2. Déterminer le nombre de résultats contenant au moins un "6".
3. Déterminer le nombre de résultats contenant au moins deux faces identiques.
4. Déterminer le nombre de résultats tels que la somme des trois dés soit paire.
5. Déterminer le nombre de résultats vérifiant les conditions 2 et 3.
6. Déterminer le nombre de résultats vérifiant les conditions 3 et 4.
** Exercice 10.
On appelle mot toute suite de lettres, qu'elle ait un sens ou non. Déterminer le nombre de mots :
1. de quatre lettres.
2. de quatre lettres distinctes.
3. de quatre lettres distinctes ayant une seule voyelle.
Exercice 11.
2
 2n  n  n 
On souhaite démontrer de deux manières différentes que : ∀n ∈ ℕ,   = ∑   .
 n  k =0  k 
1. 1ère méthode : démontrer directement ce résultat à l'aide du dénombrement
2. 2ème méthode : on considère le polynôme P ( x) = ( x + 1) 2 n = ( x + 1)n ( x + 1) n .
Exprimer de deux manières différentes le coefficient de x n dans P ( x) . Conclure.
Exercice 12. Suite de Fibonacci
Soit la suite ( un ) n∈ℕ définie par : u0 = 1, u1 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un + 2 = un +1 + un .
** 1. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, un ≥ n . En déduire la limite de (un ) .
2. Montrer que pour tout n ∈ ℕ* , un 2 − un −1un +1 = (−1) n .
3. Etablir que pour tout n ∈ ℕ* , u1 + u3 + ... + u2 n −1 = u2 n − 1 .
Exercice 13.
n
n −1
 2n 
 2n 
k
Soit n un entier naturel non nul. On considère U n = ∑   (−1)k et Vn = ∑ 
 (−1) .
k = 0  2k 
k = 0  2k + 1 
2n
1. Vérifier que U n + iVn = (1 + i) .
2. En déduire les valeurs de U n et Vn en fonction de n (on envisagera 4 cas).
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