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EXERCICES DE
TRIGONOMÉTRIE
(version 2.0 du 28.02.2010)
Sciences.ch
Trigonométrie
EXERCICE 1.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (18.08.04, [email protected] )
Mots clés :
Enoncé :
Calculer en [ Km] la distance à la surface terrestre qui correspond :
1. à une différence de latitude de 1 ° le long d’un méridien
2. à une différence de 1° le long de l’équateur
3. à une différence de longitude de 1 ° le long d’un parallèle à 60 ° de latitude Nord.
On approximera la terre par une sphère parfaite dont la longueur de l’équateur vaut
40 '000 [Km].
Solution :
1. Si 360 °  40 '000 [Km] Alors 1 ° 
40 '000
 111.11 [Km]
360
2. Idem que le premier car il s’agit d’une sphère parfaite.
3. 2    R  40 '000 et donc R 
Si 360 [°]  2    r    R
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20 '000
R 10 '000
or r  R  sin(30)  
2


et donc 1[°] 

360
R  55.55 [Km]
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Trigonométrie
EXERCICE 2.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (18.08.04, [email protected] )
Mots clés :
Enoncé :
Simplifier l’expression ci-dessous :
3
 a )  cos(a  2 )
2

3
tan(  a)  tan(  a)  cos(  a)
2
2
sin(  a)  cot an(
Solution :
Nous savons, grâce au cercle trigonométrique que :
sin(  a)  sin(a)
cot an(
3
 a)  tan(a)
2
cos(a  2 )  cos(a )
tan(  a)  tan(a)
tan(

cos(
2
 a)   tan(a)
3
 a )  sin(a)
2
Donc l’expression simplifiée une première fois nous donne :
sin(a)  tan(a)  cas(a)
sin( a)
tan(a)   cot an(a)  
Il nous reste a simplifier les termes se trouvant à la fois au numérateur et au dénominateur :
 cos(a)
cot an(a)
Ou encore :
 sin(a)
Remarque : Toujours avoir sous la main un cercle trigonométrique afin de remédier
facilement aux problèmes d’angles complémentaires, angles correspondants, etc…
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Trigonométrie
EXERCICE 3.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (18.08.04, [email protected] )
Mots-clés :
Enoncé :
Si tan( x) 
1
et x  2e quadrant. Trouvez les autres nombres trigonométriques.
m
Solution :
cos ²( x) 
1

1  tan ²( x)
1

m²
m²  1
1
m²
m²
1
sin ²( x)  1  cos ²( x)  1 

1  m² 1  m²
1
et donc cos(a) 
et donc sin(a) 
m
1  m²
1
1  m²
Nous avons choisis un cosinus négatif et un sinus positif car l’angle se trouve dans le
deuxième quadrant.
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Trigonométrie
EXERCICE 4.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (18.08.04, [email protected] )
Mots-clés :
Enoncé :
Un colonne de hauteur c , surmontée d’une statue de hauteur s , s’élève du bord d’une rivière.
Un observateur P placé sur l’autre bord voit, sous le même angle, la statue et un soldat de
hauteur h placé au pied de la colonne. Exprimer la largeur de la rivière en fonction de c , s et
h.
Solution :
Soit d , la largeur de la rivière.
Un dessin vaut mieux qu’un long discours :
h c
hc

tan( )  tan(  )
d
tan(   ) 
 d d 
h c
hc
1  tan( )  tan(  )
1 
1
d d
d²
Or, nous avons aussi :
tan(   ) 
cs
d
Egalons ces deux résultats :
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hc
cs
d

hc
d
1
d²
cs hc
d²


d
d d²  hc
cs
hc
d
d
d²  hc
(c  s )  ( d ²  h  c )  d ²  ( h  c )
d
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(c  s )  h  c
sh
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EXERCICE 5.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (23.08.04, [email protected] )
Mots-clés :
Enoncé :
Vérifier :
cos(6a )  6  cos(4a)  15  cos(2a)  10
 2  cos(a)
cos(5a)  5  cos(3a)  10  cos(a)
Solution :
cos(6a)  cos(4a)  5  cos(4a)  5  cos(2a)  10  cos(2a)  10
cos(5a)  5  cos(3a )  10  cos(a )
2  cos(5a)  cos(a)  5  (2  cos(3a)  cos(a))  10  (2  cos ²(a))
cos(5a)  5  cos(3a)  10  cos(a)
2  cos(a)  cos(5a)  5  cos(3a)  10  cos(a)
cos(5a )  5  cos(3a)  10  cos(a)
2  cos(a) C.Q.F.D
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EXERCICE 6.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (24.08.04, [email protected] )
Mots-clés :
Enoncé :
Vérifier la relation suivante :
1
1 
Arc tan( )  Arc tan( ) 
2
3
4
Solution :
1
1
Soit   Arc tan( ) et   Arc tan( )
2
3
Donc résolvons    

4
:

tan(   )  tan( )
4
tan( )  tan(  )
1
1  tan( )  tan(  )
1 1

2 3 1
1 1
1 
2 3
5
5
11
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6 1
6
C.Q.F.D.
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EXERCICE 7.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (24.08.04, [email protected] )
Mots-clés :
Enoncé :
Trouver la famille de valeurs x qui satisfait :
sin ²(2 x 

6
)  cos ²( x 

3
)
Solution :
Nous avons deux possibilités :
sin(2 x 
cos(

2

6
 2x 
cos(

3
)  cos( x 

3

)  cos( x 
 2 x)  cos( x 
3
sin(2 x 
)

3

3
)
cos(
)

2

6
 2x 
cos(

3
)   cos( x 

6

3
)
)  cos(  x 
 2 x)  cos(

3
)
2
 x)
3
Nous avons pour chaque possibilité, deux solutions possibles :
a) x 
2k
3
b) x  
a) x  
2
 2k
3
b) x 

3

3
 2k

2k
3
Il y a donc 6 familles !
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EXERCICE 8.
Niveau : Lycée
Auteur : Dhyne Miguël (24.08.04, [email protected] )
Mots-clés :
Enoncé :
Trouver la famille de valeurs x qui satisfait :
sin(3x)  4  sin ²( x)  sin( x)  2  0
Solution :
4  sin ²( x)  2  sin( x)  cos(2 x)  2  0
2  sin ²( x)  sin( x)  1  2  sin ²( x)  1  0
 2  sin ³( x)  2  sin( x)  sin( x)  1  0
Posons U  sin( x) :
 2 U ³  2 U ²  U  1  0
(U  1)  (2 X ²  1)  0
U  1 c.à.d sin( x)  1
ou
U 
2
2
c.à.d sin( x)   
2
2
Et donc :
x

2
 2k ou x 

4

k
2
Il y a donc 8 familles !
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