Lois continues Caractériser une loi

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MACS 1 – IntÃgration
et probabilitÃs
Université Paris 13, Institut Galilée
Année universitaire 2013-2014
Fiche 5 – Fondements des probabilités, suite
Lois continues
Exercice 1 – Calculs sur les lois à densité.
1. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 2]. Calculer son espérance et sa variance.
2. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ. Calculer son espérance et sa variance.
1
3. Soit X une variable aléatoire de loi de Cauchy, c’est-à-dire de densité x 7→ 1+x
2 sur R. Que dire de son
espérance ?
Exercice 2. Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X suit la loi E(λ) et Y suit la loi
E(µ).
1. Calculer P (X < Y ).
2. Calculer E[X(1 + Y )], E[eX 1{X>Y } ] et E[emax(X,Y ) ].
Exercice 3. Soit Y une variable aléatoire réelle de densité
y 7→ C(1 − y 2 )1[0,1] (y),
où C est une constante.
1. Préciser la valeur de C.
2. Calculer E[Y ].
3. Soit X une variable aléatoire de loi E(1), indépendante de Y . Calculer E[eXY ].
Exercice 4. Soit X une variable de loi exponentielle de paramètre λ. Montrer la propriété d’« absence de
mémoire » de X :
pour tous s, t > 0,
P (X > s + t|X > s) = P (X > t).
En raison de cette propriété, la loi exponentielle s’interprète par exemple comme la durée de vie d’une machine
sans vieillissement : la probabilité qu’une panne ait lieu entre les instants s et s + t est la même qu’entre les
instants 0 et t, comme si la machine ne vieillissait pas (le vieillissement pourrait faire croître (usure) ou décroître
(rodage) cette probabitilité).
Caractériser une loi
Exercice 5 – Calcul direct.
1. Soit deux variables aléatoires X, Y indépendantes, de loi normale N (0, 1). Déterminer la loi de la variable X
Y .
Pour toute fonction mesurable positive g, exprimer E[g( X
)]
sous
forme
d’intégrale,
la
mettre
sous
la
forme
Y
R
g(z)f (z)dz, ce qui est aussi E[g(Z)] où Z suit la loi de densité f , pour déduire que X
Y et Z ont même loi.
2. En déduire la loi de Z −1 si Z est une variable aléatoire de loi de Cauchy.
Exercice 6 –
E(λ) et E(µ).
1. Déterminer
2. Déterminer
3. Déterminer
précisera.
Fonction de répartition. Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives
la fonction de répartition de X.
la fonction de répartition de U = min(X, Y ). En déduire la loi de U .
la fonction de répartition de V = max(X, Y ). En déduire que la loi de V a une densité que l’on
Exercice 7 – Fonction génératrice. Soit m, n ∈ N et p ∈ [0, 1].
1. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire X de loi B(p).
2. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire N de loi B(n, p).
3. En déduire la propriété suivante (déjà vue) : la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi B(p)
suit la loi B(n, p).
4. En déduire la loi de N + M où N suit la loi B(n, p), M suit la loi B(m, p), et M et N sont indépendantes.
Exercice 8 – Fonction caractéristique. Soit X une variable aléatoire de loi N (0, 1).
1. Sans calcul, déterminer la partie imaginaire de ΦX (t) pour t ∈ R. Commencer par en donner une expression
sous forme d’intégrale.
2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que Φ0X (t) = −tΦX (t). En déduire l’expression de ΦX (t).
3. En déduire la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi N (m, σ 2 ). On rappelle que, pour σ > 0
et m ∈ R, σX + m suit la loi N (m, σ 2 ).