Feuille PC3 - Sites personnels de TELECOM ParisTech

MAP 311 - Aléatoire - Groupes 5 et 18.
PC 3 - 11 mai 2015
Gersende Fort et Amandine Véber
Les feuilles de PC sont disponibles sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~veber/ et
des compléments sur le site http://perso.telecom-paristech.fr/~gfort/.
Les exercices marqués (?) sont corrigés dans le livre Aléatoire de S. Méléard.
Mots-clés de la semaine : variable aléatoire réelle, fonction de répartition, espérance, mesure de
Lebesgue, densité, simulation par inversion de la fonction de répartition.
Lois et densités
EXERCICE 1 - Support d’une loi.
Soit X une variable aléatoire réelle.
1) Montrer que si pour tout A ∈ B(R), P[X ∈ A] ∈ {0, 1}, alors X est presque-sûrement
constante.
2) Montrer que si l’ensemble {P[X ∈ A], A ∈ B(R)} est dénombrable, alors p.s. X ne peut
prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs (c’est-à-dire, il existe un ensemble Γ dénombrable
tel que P[X ∈ Γ] = 1).
EXERCICE 2 - Loi de Weibull.
Soit Z une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Pour tout α, β > 0 on
pose X = βZ 1/α .
1) Quelle est la fonction de répartition de X ? Que nous apprend le cas α = 1 ?
2) La loi de X admet-elle une densité ?
Dans le cas où λ = 1, la loi de X est appelée loi de Weibull de paramètres (α, β). Elle est
beaucoup utilisée (notamment pour modéliser des temps de panne) car en ajustant ses deux
paramètres il est possible d’approcher correctement de nombreuses lois de variables aléatoires
positives.
EXERCICE 3 - Loi de Cauchy.
Une particule est émise dans le plan à partir du point origine O et dans la direction du vecteur
aléatoire ~u. L’extrémité de ~u est un point de loi uniforme sur le demi-cercle {x2 + y 2 = 1, x > 0}.
Après une trajectoire rectiligne, la particule heurte la droite D = {x = 1} en un point M
d’ordonnée Y .
1) (?) Montrer que Y a la même loi que tan(Θ), où Θ a une loi uniforme sur ] − π2 , π2 [. En déduire
la loi de Y (fonction de répartition, densité, ...).
2) Montrer que 1/Y a la même loi que Y . (Indication : on pourra par exemple tirer parti des
relations trigonométriques.)
3) Quelle est la probabilité que la particule heurte D dans le segment I = {|y| ≤ 1} ?
4) Le point O émet maintenant un nombre aléatoire poissonien de paramètre λ de particules.
Chacune d’entre elles se comporte comme ci-dessus, indépendamment des autres. Quelle est la
loi du nombre Z de particules heurtant I ?
EXERCICE 4 - Variables aléatoires normales et log-normales.
Posons X = eY , où Y est de loi N (µ, σ 2 ). On dit que X est de loi Log-Normale.
1) Trouver
a) la fonction de densité f de la v.a. X ;
b) E(X) et Var(X).
2) Un contre-exemple célèbre, d’après W. Feller. On prend µ = 0 et σ = 1. Fixons |a| ≤ 1 et
définissons
fa (x) = (1 + a sin(2π log(x))) f (x).
a) Montrer que fa est une densité de probabilité. (Indication : On pourra écrire l’intégrale
de fa comme l’espérance d’une fonction de X.)
b) Montrer que fa admet des moments de tout ordre qui ne dépendent pas de a.
c) En déduire qu’une variable aléatoire n’est pas caractérisée de manière unique par ses
moments polynômiaux. On peut montrer toutefois que c’est vrai dès que la variable est
bornée (pourquoi ?).
Moments d’une variable aléatoire réelle
EXERCICE 5 - Moments et médiane d’une variable aléatoire réelle.
Soit X une variable aléatoire réelle à densité, de fonction de répartition F .
1) (?) Montrer que si X est à valeurs positives et k ≥ 0, alors
Z ∞
k+1
E(X
) = (k + 1)
xk (1 − F (x)) dx.
0
On retiendra en particulier le cas k = 0 (comparer avec la formule donnée pour les v.a. discrètes).
2) Montrer que pour tout réel a, on a
Z
a
E(|X − a|) =
Z
∞
(1 − F (x)) dx.
F (x) dx +
−∞
a
3) Pour quelle(s) valeur(s) de a la quantité E(|X − a|) est-elle minimale ?
Simulation de variables aléatoires réelles
EXERCICE 6 - Générer une loi géométrique.
La fonction « rand » de Scilab vous permet de générer une variable aléatoire U de loi uniforme
sur [0, 1].
1) Comment générer à partir de U une variable X de loi exponentielle de paramètre λ > 0 ?
2) Soit a > 0. Quelle est la loi de Y = baXc + 1 ?
EXERCICE 7 - Simuler une variable aléatoire avec une précision donnée.
Soit Ω =]0, 1] et A sa tribu borélienne. On munit (Ω, A) de la mesure de Lebesgue λ. Observons
que (Ω, A, λ) est un espace probabilisé puisque λ(Ω) = 1.
Soit Dn,k l’intervalle ](k − 1)/2n , k/2n ] pour k = 1, . . . , 2n : autrement dit, pour tout n ≥ 1, on
considère la subdivision de ]0, 1] en intervalles de longueur 1/2n et Dn,k est le k-ième élément de
cette subdivision.
1) On définit une suite de fonctions {Xn , n ≥ 1} sur Ω par
0 si ω ∈ Dn,k pour un k impair,
Xn (ω) =
1 si ω ∈ Dn,k pour un k pair.
Quelle est la loi de Xn ? Les variables aléatoires {Xn , n ≥ 1} sont-elles indépendantes ?
2) Soit φ une bijection de N? × N? dans N? . 1 On définit
U` =
X Xφ(`,j)
j≥1
2j
.
a) Quelle est la loi de Xφ(`,j) ? Vérifier que U` existe.
Pp Xφ(`,j)
b) Calculer P
≤
x
et en déduire la loi de U` .
j
j=1
2
Pp Xφ(1,j)
P
X
c) Calculer P
≤ x1 , . . . , pj=1 φ(l,j)
≤ xl et en déduire l’indépendance des
j=1
2j
2j
variables aléatoires {U` , ` ≥ 1}.
d) En déduire une manière de simuler une suite indépendante de variables aléatoires de loi
uniforme sur [0, 1] à une précision d’ordre 2−p donnée.
3) En utilisant les questions précédentes, montrer qu’étant données des fonctions de répartition
F` sur R, il est possible de construire une suite de variables aléatoires {Y` , ` ≥ 1} indépendantes
et telles que Y` a pour fonction de répartition F` .
1. L’application (x, y) 7→ x +
(x+y)(x+y+1)
2
est un exemple de telle bijection.