Devoir Maison

Université Pierre et Marie Curie
Année 2016-2017
Probabilités : 3M290
Devoir Maison
À rendre la semaine du 18 avril
Exercice 1.
Soient X1 , X2 , . . . des variables aléatoire réelles indépendantes, de loi exponentielle de paramètre 1.
1. Montrer que pour tout k ≥ 1, P(il existe une infinité de n tel que Xn ≥ k) = 1.
2. En déduire que p.s. lim supn→∞ Xn = +∞.
Q
On pose Yn := ni=1 Xi .
3. Que vaut E[Yn ] ?
√
√
√
4. Montrer que E[ X1 ] = π/2. En déduire la valeur de E[ Yn ].
√
5. Montrer que, pour tout t > 0, P(Yn ≥ t) ≤ √1t ( π/2)n .
6. En déduire que p.s. limn→∞ Yn = 0.
Exercice 2.
Soit X1 , X2 , ... une suite de copies indépendantes d’uneP
variable aléatoire X à valeurs dans Z,
d’espérance nulle et de variance unité. On notera Sn := 1≤i≤n Xi les sommes partielles et ΦY
la fonction caractéristique d’une variable aléatoire Y .
2
1. Montrer que l’on a, lorsque x → 0, ΦX (x) = 1 − x2 + o(x2 ). En déduire, pour tout t ∈ R,
la limite limn→∞ ΦSn ( √tn ).
2. Montrer que l’on a, pour tout n,
1{Sn =0} =
3. En déduire que
1
2π
√
1
n P(Sn = 0) =
2π
Z
eitSn dt
[−π,π]
Z
√
√
[− nπ, nπ]
t
ΦSn ( √ )dt
n
4. Faire une conjecture sur un équivalent de P(Sn = 0) quand n tend vers l’infini.
5. On suppose que les Xi sont à valeur dans {−1, 1}, avec P(X = +1) = P(X = −1) = 21 .
Calculer P(Sn = 0), en distingant selon la parité de n. En déduire un équivalent de
P(Sn = 0) quand n tend vers l’infini (toujours suivant la parité de n). Qu’en est-il de la
conjecture ?
La conjecture vient du fait qu’on a envie de faire converger l’intégrale la question 3, ce qui n’est
pas toujours vrai...
Exercice 3.
Des catastrophes se produisent aux temps T1 , T2 , ... On suppose que les durées (Ti+1 − Ti )i≥1
qui s’écoulent entre deux catastrophes successives sont indépendantes et de même loi, et que
cette loi est intégrable. On appelle Nt = card{n : Tn ≤ t} le nombre de catastrophes qui se sont
produites au temps t.
1. Montrer que Nt → ∞ p.s.
2. Montrer que
Nt
t
converge presque sûrement vers
1
E[T1 ] .
Exercice 4.
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées de loi
uniforme sur [0, 1]. On note Mn = max1≤k≤n Xk et Nn = min1≤k≤n Xk .
1. Montrer que Mn converge en probabilité vers 1.
2. Montrer que Nn converge en norme L2 vers 0.
3. Montrer que n(1 − Mn ) converge en loi vers une exponentielle de paramètre 1.
Exercice 5. (Autour de la loi exponentielle)
1. Soit U une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la loi de
E = − λ1 ln(1 − U ), pour λ > 0.
2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Démontrer que
la variable aléatoire Y = bXc (où b·c désigne la partie entière) suit une loi géométrique.
3. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle de paramètre λ > 0. Montrer que la variable min1≤i≤n Xi suit une loi exponentielle
de paramètre nλ, puis que la variable n min1≤i≤n Xi suit une loi exponentielle de paramètre λ.
4. Soit (Ui )i∈N∗ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant une loi uniforme sur [0, 1].
Montrer que n min1≤i≤n Ui converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle de paramètre 1.
5. Soit λ > 0. Pour tout entier n > λ, on fixe (Xin )i≥1 une suite de variables aléatoires
indépendantes de Bernoulli de paramètre pn = nλ . On considère alors la variable aléatoire
Nn = n1 inf{i ≥ 1; Xin = 1}. Démontrer que la suite (Nn ) converge en loi vers une variable
aléatoire réelle de loi exponentielle de paramètre λ.