Probabilité, L2-424, 2014 Devoir maison 1 A rendre au plus tard le Mardi 1 Avril 2014 Consignes : • Efforcez vous de rendre une copie propre, sans rature, sans aucune faute d’orthographe. Faîtes un brouillon ! • Efforcez vous de rédiger des raisonnements précis, en écrivant en premier ce que vous voulez démontrer, en introduisant les variables, en utilisant des connecteurs logiques “et”, “ou” , “donc” , “or” , “car” et en faisant à la fin de chaque raisonnement une conclusion. 1. Fonctions génératrices. La fonction génératrice de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X à valeurs dans N est la fonction +∞ GX (z) = ∑ P(X = i)zi . i=0 (a) Montrer que la fonction GX est bien définie sur l’intervalle [−1, 1]. (b) Ecrire GX (z) comme l’espérance d’une variable aléatoire bien choisie. (c) Montrer que la fonction GX est C{ ∞} sur l’intervalle ] − 1, 1[. Relier alors la loi de la variable aléatoire X avec les dérivées successives de GX . Conclure que la fonction génératrice caractérise la loi de X. (d) On dit que la variable aléatoire X admet un moment d’ordre r si l’espérance E(X r ) est bien définie. • Montrer que X admet un moment d’ordre r si et seulement si la fonction génératrice GX est r fois dérivable à gauche en 1. • On suppose X de classe L2 , exprimer l’espérance et la variance de X en fonction de la dérivée première et de la dérivée seconde de GX . (e) On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y . Montrer que GX+Y = GX .GY (f) On dit qu’une suite de variables aléatoires réelles converge en loi vers une variable aléatoire X si en tout point x où la fonction de répartition FX de la variable aléatoire X est continue on a FXn (x) → FX (x). Montrer que si ∀z ∈ [0, 1[, limn→∞ GXn (z) = GX (z) alors la suite Xn converge en loi vers X. (g) On appelle fonction génératrice de la fonction de répartition F d’une variable X à valeurs dans N la fonction QX de ] − 1, 1[ dans R définie par la série entière +∞ QX (z) = ∑ P(X > i)zi . i=0 Montrer alors que ∀z ∈] − 1, 1[, QX (z) = 1 − GX (z) . 1−z Lorsque X est L2 montrer que E(X) = QX (1) et Var(X) = 2Q0X (1) + QX (1) − (QX (1))2 . (h) Calculer la fonction génératrice d’une loi de Poisson et d’une loi binomiale. En déduire dans chaque cas l’espérance et la variance. 1 2. Régression linéaire au sens des moindres carrés. On considère deux variables aléatoires X et Y de classe L2 . On cherche à minimiser inf(Φ(a, b) | (a, b) ∈ R2 ) où Φ(a, b) = E[Y − (aX + b)]2 . On note X̂ et Ŷ les variables centrées X − E(X) et Y − E(Y ). (a) Pour a et b fixé, prouver la relation Φ(a, b) = E(Ŷ − aX̂)2 + (E(Y ) − aE(X) − b)2 . (b) Fixons a = α, trouver bα minimisant b 7→ Φα,b . Montrer en particulier que Φα,bα = Var(Y ) − 2αCov(X,Y ) + α2Var(X). (c) En déduire que la borne inférieure de Φ est atteinte au point σY σY , E(Y ) − E(X)ρX,Y , (a0 , b0 ) = ρX,Y σX σX où ρX,Y = Cov(X,Y ) . σX , σY En déduire la meilleure approximation de Y au sens des moindres carrés. (d) La droite D déquation (y − E(Y )) − ρX,Y σX (x − E(X)) = 0 σY est appellée droite de régression linéaire. Montrer que P[(X,Y ) ∈ D] ⇔ Φ(a0 , b0 ) = 0. (e) Si la variable aléatoire est de loi uniforme sur l’ensemble des n points de plan {(xi , yi )}1≤n , alors Φ(a, b) = 2 1 n ∑ [y − (axi + b)]2 . n i=1