Partiel du 10.11.10 - Université Paris

Université Paris-Dauphine
Département MIDO
DUMI2E L3
Intégration & Probabilités
Halim Doss
année /
Examen Partiel
Exercice 1
Soit Xi (i ≥ 1) une suite de variables de Bernoulli, indépendantes et de même loi :
P (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 0.5
On s’intéresse à la marche aléatoire : Zn =
pn = P (Zn > n a), pour : 0 < a < 1.
Pn
i=1
Xi . Plus précisément, on cherche à évaluer la probabilité :
1. Donner la fonction génératrice commune des Xi , puis celle de Zn .
2. En remarquant que : pn = P (uZn > una ) pour : u > 1, déduire : pn ≤ min ϕ(u), où :
u>1
n
1
ϕ(u) = 2−n u−n a u +
u
(Utiliser l’inégalité de Markov) puis, en étudiant ln ϕ(u), vérifier que :
1
1
ln pn ≤ − [(1 − a) ln(1 − a) + (1 + a) ln(1 + a)] < 0
n
2
et en déduire la limite de pn lorsque : n → +∞.
Exercice 2
Soit Xn (n ≥ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle E(1).
1. Calculer : P (Xn > r) pour : r > 0 donné.
2. Déduire, pour tout : α > 0 : P (Aα ), où : Aα = lim sup { Xn > α ln n }.
n→+∞
3. On pose : L = lim sup (Xn / ln n).
n→+∞
a. Vérifier que L définit bien une variable aléatoire à valeurs dans R ∪ {+∞}.
b. Prouver que, pour tout α > 0 : P (L > α) ≤ P (Aα ) ≤ P (L ≥ α).
c. Déduire la valeur de P (L ≥ α) en fonction de α pour tout α > 0. Quelle est la loi de L ?
TSVP
Exercice 3
Soit fn (n ≥ 1) une suite de fonctionsZ continues et positives sur R, convergeant simplement sur R vers
x
fn (t) dt. Montrer que :
une fonction continue f , et : Fn (x) =
0
1. Si g = sup fn est Lebesgue intégrable sur R, Fn converge simplement vers une fonction F partout
n≥1
dérivable et F 0 = f
2. Si fn (x) = n ϕ(n x − n + 2), où ϕ : R 7→ R+ est une fonction non nulle, continue sur R, et nulle en
dehors de l’intervalle [0, 1], fn et Fn convergent simplement vers des limites respectives f et F , et f est
continue mais n’est pas la dérivée de F .
Exercice 4
Soient (Ω, A, P ) un espace probabilisé, et X une variable aléatoire réelle définie sur Ω, presque surement
à valeurs dans ]0, +∞[. Pour tout réel : r > 0, on pose : Ar = {ω ∈ Ω | X(ω) < r }.
1. Prouver que : P (Ar ) → 0 lorsque : r ↓ 0.
2. Déduire que, si une suite Bn d’éléments de A est telle que :
(commencer par majorer P (Bn ∩ Acr )).
R
Bn
X(ω) dP (ω) → 0, alors : P (Bn ) → 0
3. Prouver que la réciproque est vraie si : E(|X|) < +∞ (considérer la suite Xk = X 1Ak ).