Devoir en Temps Libre n°09.

Devoir en Temps Libre n°09.
pour le 26-01-2017
Exercice 1 (BCE filière BL, concepteur HEC 2016 extrait).
Toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé (Ω,Å,P).
Soient p un réel tel que : 0 < p < 1 , et : q = 1 − p .
On dispose d’une urne contenant des boules Rouges en proportion p et des boules Vertes en proportion q .
On effectue dans cette urne une suite de tirages d’une boule avec remise jusqu’à ce qu’on obtienne une boule
Rouge (on suppose que les résultats des différents tirages sont indépendants).
On note Z la variable aléatoire égale au nombre de boules Vertes obtenues avant l’apparition de la première
boule Rouge et on pose : Z = −1 , si on n’obtient jamais de boule Rouge.
On dit que Z suit la loi binomiale négative de paramètre p .
1. a. Montrer que pour tout : n ∈ , on a : P ( Z = n) = p.q n .
+∞
b. Calculer
∑ P( Z = n) et en déduire la valeur de P( Z = −1) .
n =0
2. a. Reconnaître la loi de la variable aléatoire Z + 1 .
b. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire Z .
3. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et suivant toutes deux la loi binomiale négative de
paramètre p .
On pose : U = max( X , Y ) , et : V = min( X , Y ) .
Montrer que la loi du couple (U , V ) est donnée par :
∀ (i,j) ∈
, P ((U = i ) ∩ (V = j )) vaut ( 2. p 2 .q i + j si : i > j), ( p 2 .q 2.i , si : i = j), et (0 sinon).
2
4. Montrer que la loi de U est donnée par : ∀ i ∈ , P (U = i ) = p.q i .(2 − q i − q i +1 ) .
5. a. Déterminer la loi de V et vérifier que V suit une loi binomiale négative dont on précisera le paramètre.
b. En déduire l’espérance E (V ) de la variable aléatoire V.
6. a. Exprimer U + V en fonction de X et de Y.
En déduire l’espérance E (U ) de la variable aléatoire U.
b. Par une méthode analogue à celle de la question précédente, exprimer la covariance Cov (U , V ) des
variables aléatoires U et V en fonction de q .
7. Soient X 1 , X 2 , X 3 trois variables aléatoires indépendantes et de même loi binomiale négative de
paramètre p , et soient : T = X 1 + X 2 , et : W = X 2 + X 3 .
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire T .
b. Soit m un entier naturel.
Déterminer la loi conditionnelle de X 1 sachant (T = m) , c'est-à-dire donner, pour tout entier naturel k la
valeur de la probabilité conditionnelle P(T = m ) ( X 1 = k ) .
c. Calculer Cov(T , W ) et en déduire si les variables aléatoires T et W sont indépendantes.
d. Calculer la variance V (T + W ) de la variable aléatoire T + W .
Problème (BCE filière BL, concepteur ESSEC 2016, extrait).
Dans ce problème, on étudie l’évolution d’une maladie au sein d’une population de N personnes (N ≥ 2) au
cours des semaines supposées indexées par à partir de la semaine 0.
On fera les hypothèses suivantes :
• il existe un espace probabilisé : E = (Ω,Å,P), tel que pour tout n dans , le nombre d’individus malades à
la nème semaine définit une variable aléatoire sur E notée X n , pour laquelle : X n (Ω) ⊂ {0, …, N}.
• le nombre de malades pour une semaine donnée ne dépend que du nombre de malades la semaine
précédente, soit plus formellement :
∀ n ∈ , ∀ ( x0 , x1 ,..., x n +1 ) ∈ {0, …, N}n+2, P(( X n = xn )∩...∩( X 0 = x0 )) ( X n +1 = x n +1 ) = P( X n = xn ) ( X n +1 = x n +1 ) .
• il existe un réel p dans ]0,1[, que l’on peut qualifier de « facteur de résistance » tel que, pour une personne
saine au contact de i malades (avec : i ∈ ), la probabilité de rester saine est p i .
• un individu atteint de la maladie à la nème semaine n’est plus malade à la ( n + 1) ème semaine.
• des personnes saines tombent malades ou restent saines de façon indépendante.
La matrice à N + 1 colonnes ( P ( X n = 0) P ( X n = 1) ... P ( X n = N ) ) sera notée L(n ) .
Partie 1 : évolution probabiliste d’une maladie.
1. Justifier que : ∀ n ∈ , ∀ (i,j) ∈ {0, …, N}2, et en supposant : P ( X n = i ) > 0 ,
 N − i
.(1 − p i ) j . p i.( N −i − j ) , si : i + j ≤ N ,
 j 
• P( X n =i ) ( X n +1 = j ) = 0 , sinon.
Dans la suite, on notera P la matrice carrée de taille N + 1 dont le terme général vaut :
 N − i 
.(1 − p i ) j . p i.( N −i − j ) , si : i + j ≤ N

2
∀ (i,j) ∈ {0, …, N} , Pi +1, j +1 =  j 
.
0, si : i + j > N

2. Pour : i ∈ , déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire Yi , définie par :
• P( X n =i ) ( X n +1 = j ) = 
• Yi (Ω) ⊂ ,
• ∀ k ∈ [0, …, N − i ], P (Yi = k ) = P( X n =i ) ( X n +1 = k ) .
 1 0 0


3. Montrer que P est une matrice par blocs de la forme : P =  C Q 0  , où : C ∈ MN-1,1( ), que l’on
 1 0 0


déterminera et : Q ∈ MN-1( ), telle que le terme situé à la ligne i et à la colonne j est Pi +1, j +1 .
4. Montrer que : ∀ n ∈ , L( n +1) = L( n ) .P , et en déduire L(n ) en fonction de P , n et L( 0 ) .
1

5. Pour : N = 2 , montrer que : ∀ n ≥ 1, P n =  x n
1

0

0  , avec : x n + y n = 1 , et en déduire la loi de X n en
0 
0
yn
0
fonction de a, b et c, où on a noté : L( 0 ) = (a b c ) .
Partie 2 : temps d’éradication de la maladie.
Dans cette partie, on suppose que : ∀ i ∈ {0, …, N}, on a : P ( X 0 = i ) > 0 .
On notera Pi la probabilité conditionnelle sachant ( X 0 = i ) , définie par : ∀ A ∈ Å, Pi ( A) = P( X 0 =i ) ( A) .
On note par ailleurs : T = min{n ∈ , X n = 0 }, et on admet une T définit une variable aléatoire sur E,
représentant le temps d’éradication de la maladie.
On se propose de montrer que : Pi ( F ) = 1 , où F correspond à l’événement « T est fini ».
A partir de la question 3, on notera C ( n ) la matrice colonne à N − 1 lignes dont le terme situé sur la ligne i
(avec : 1 ≤ i ≤ N − 1 ) est Pi (T = n) , et on rappelle que les matrices Q et C ont été définies à la question I.3.
1. Pour : i = 0 , justifier que : Pi (T = 0) = P0 (T = 0) = 1 .
2. Pour : i = N , quelle est la loi de T relativement à la probabilité Pi = PN ?
3. Pour : n ∈ , n ≥ 2 , montrer que : ∀ 1 ≤ i ≤ N − 1 , P( X 0 =i ) (T = n) =
N −1
∑P
k =1
( X 1 = k , X 0 =i )
(T = n).P( X 0 =i ) ( X 1 = k ) .
4. En déduire que : ∀n ≥ 1, C ( n ) = Q.C ( n −1) .
5. Montrer que : ( I N −1 − Q ).U = C , où U est la matrice colonne constituée de 1.
6. Montrer que la série
∑ P (T = n) converge et calculer sa somme.
n ≥0
i
On admettra que ( I N −1 − Q) est inversible et que : lim (
n → +∞
n
∑Q
k =0
k
).C = ( I N −1 − Q).C ,
au sens où les coefficients de la matrice de gauche tendent vers les coefficients de la matrice de droite.
En déduire que T est Pi -presque sûrement fini, quelque soit : 1 ≤ i ≤ N − 1 , et interpréter ce résultat.