x - Dellac-Prof.Term S

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Ch 7 : Fonctions trigonométriques
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Objectif n° 1 : Fonctions paires - Fonctions impaires
Exercice 1 : On considère la fonction f définie par f (x) =
x² + 2
. On nomme Cf sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
x² − 4
1 ) Déterminer l'ensemble de définition de f ( on le notera Df dans la suite de l'exercice )
Remarque : on constate que cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
2 ) a ) Dresser le tableau de signes de x² − 4
b) Etudier la limite de f au voisinage de 2 ( on pourra distinguer deux cas, selon que l'on se place " à droite" ou "à gauche " de 2 )
c ) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3 ) On cherche à déterminer la limite de f au voisinage de + ∞.
a ) S'agit-il d'une forme indéterminée ? De quel type ?
2
x²
b ) Démontrer que pour tout réel x non nul de Df , on a : f ( x) =
4
1−
x²
1+
c ) En déduire la limite de f au voisinage de + ∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
4 ) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous puis placer les points correspondants dans le repère ci-dessous :
x
−4
−1
0
1
4
A
B
C
D
E
f (x)
Points
5 ) Démontrer que pour tout x de Df , on a : f ( − x) = f ( x) . Quelle en sera la conséquence graphique pour Cf ?
6 ) Le tableau de variations de f est partiellement donnée ci-dessous. Compléter ce tableau.
7 ) Esquisser Cf dans le repère ci-dessous en mettant en évidence les points à tangente horizontale ainsi que les asymptotes obtenues.
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Définition : soit f une fonction définie sur un ensemble Df
Si Df est symétrique par rapport à 0 et si pour tout réel x de Df , on a f ( − x) = f (x) alors on dit que f est une fonction paire.
Propriété : si f est une fonction paire, alors sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées.
Exercice 2 : On considère la fonction f définie par f (x) =
2x
. On nomme Cf sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
x² + 1
1 ) Déterminer l'ensemble de définition de f ( on le notera Df dans la suite de l'exercice )
Remarque : on constate encore que cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
2 ) On cherche à déterminer la limite de f au voisinage de + ∞.
a ) S'agit-il d'une forme indéterminée ? De quel type ?
2
b ) Démontrer que pour tout réel x non nul de Df , on a : f ( x) =
1
x
c ) En déduire la limite de f au voisinage de + ∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
x+
3 ) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous puis placer les points correspondants dans le repère ci-dessous :
x
−5
−1
0
1
5
A
B
C
D
E
f (x)
Points
4 ) Démontrer que pour tout x de Df , on a : f ( − x) = − f ( x) . Quelle en sera la conséquence graphique pour Cf ?
5 ) Le tableau de variations de f est partiellement donnée ci-contre.
Compléter ce tableau.
6 ) Esquisser Cf dans le repère ci-dessous en mettant en évidence les points à tangente horizontale ainsi que les asymptotes obtenues.
Définition : soit f une fonction définie sur un ensemble Df
Si Df est symétrique par rapport à 0 et si pour tout réel x de Df , on a f ( − x) = − f (x) alors on dit que f est une fonction impaire
Propriété : si f est une fonction impaire, alors sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à
l'origine.
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Exercice 3 : On considère les quatre fonctions définies ci-dessous :
f (x) =
2 x4
x² + 5
g (x) = 7x5 − 3x3 + 4x
h (x) =
5 x − 10
h (x) = 3x² + 5 x −1
Pour chacune de ces fonctions :
1 ) Déterminer l'ensemble de définition.
2 ) Déterminer s'il s'agit d'une fonction paire ? impaire ? ni paire ni impaire ?
Exercice 4 : Pour chacune des fonctions dont la courbe représentative est donnée ci-dessous, indiquer sa parité.
Exercice 5 : Soit f une fonction quelconque définie sur un ensemble Df symétrique par rapport à 0.
On définit les fonctions g et h par g (x) =
f (x) + f (− x)
2
et h (x) =
f (x) − f (− x)
2
1. Montrer que g est une fonction paire et que h est une fonction impaire.
2. Montrer que f (x) = g (x) + h (x)
3. Soit f la fonction définie par f (x) = ex
a. Déterminer l'ensemble de définition de f
b. Etudier la parité de f
c. Ecrire f comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
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Objectif n° 1 : Trigonométrie de 1ère
Exercice 6 : soit x un réel quelconque et M1 (x) le point du cercle
trigonométrique ci-contre associé à ce réel. On nomme a son abscisse et b son ordonnée.
1. Construire le point M2 (− x).
Compléter : M2 est le …........................... de M1 par rapport à l'axe des
…........................ On peut ainsi en déduire les coordonnées de M2
en fonction de a et b : M2 (......... ; .........).
2. Construire le point M3 ( π − x).
Compléter : M3 est le …............................ de M1 par rapport à l'axe
des …........................ On peut ainsi en déduire les coordonnées
de M3 en fonction de a et b : M3 (........ ; .........).
3. Construire le point M4 ( π + x).
Compléter : M4 est le …............................ de M1 par rapport au
point ............. On peut ainsi en déduire les coordonnées
de M4 en fonction de a et b : M4 (......... ; .........).
π
2
M5 est le …................................ de M1 par rapport à la droite
d'équation y = ..... . On peut ainsi en déduire les coordonnées
de M5 en fonction de a et b : M5 (......... ; ..........).
4. Construire le point M5 ( − x) puis compléter :
π
2
ainsi en déduire les coordonnées de M6 en fonction de a et b : M6 (...... ; ......).
5. Construire le point M6 ( + x) puis compléter : M6 est le …....................... de M5 par rapport à l'axe des …............................... On peut
6. Sachant que a = cos x et que b = sin x, compléter les égalités ci-dessous avec cos x et sin x en utilisant les résultats précédents:
Point
M2
...
...
Abscisse
cos (− x ) = ...
cos ( π − x ) = ...
cos ( π + x ) = ...
Ordonnée
sin (− x ) = ...
sin ( π − x ) = ...
sin ( π + x ) = ...
...
π
cos ( − x ) = ...
2
π
sin ( − x ) = ...
2
...
π
cos ( + x ) = ...
2
π
sin ( + x ) = ...
2
5
12
et sin x = . A l'aide des égalités mises en évidence dans la question précédente, calculer la valeur
13
13
exacte de chacun des nombres ci-dessous.
7. Soit x un réel tel que cos x =
cos (− x ) =
sin ( π − x ) =
cos (
π
+x)=
2
cos ( 2π + x ) =
L'exercice précédent a permis de retrouver les formules déjà vues en 1ère. Il faut être capable de les retrouver rapidement à l'aide d'une
figure à main levée.
Propriété : si x est un réel quelconque :
cos (− x ) = cos x
cos ( π − x ) = − cos x
cos ( π + x ) = − cos x
sin (− x ) = − sin x
sin ( π − x ) = sin x
sin ( π + x ) = − sin x
π
− x ) = sin x
2
π
sin ( − x ) = cos x
2
cos (
π
+ x ) = − sin x
2
π
sin ( + x ) = cos x
2
cos (
Rappelons également une autre propriété liant cosinus et sinus : pour tout x réel : cos² x + sin² x = 1
Exercice 7 :
1. Soit a un réel tel que cos a = 0,3 et sin a < 0.
On nomme A le point du cercle trigonométrique associé à l'angle de mesure a.
a. Placer A sur le cercle trigonométrique ci-dessous ( page 2 )
b. Déterminer la valeur exacte de sin a.
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2. Soit b un réel tel que cos b < 0 et sin b = − 0,4.
On nomme B le point du cercle trigonométrique associé à l'angle de
mesure b.
Placer B sur le cercle trigonométrique ci-contre.
3. Soit c un réel tel que cos c = sin c
Placer sur le cercle trigonométrique ci contre tous les points (nommés
C1, C2, etc ) associés à l'angle de mesure c.
4. Soit d un réel tel que cos d = 1,1.
Placer sur le cercle trigonométrique ci contre un point D associé à
l'angle de mesure d.
Remarque : la dernière question de l'exercice précédent met en
évidence la propriété suivante :
Pour tout réel x, on a − 1  cos x  1 et − 1  sin x  1
Exercice 8 : soit a un réel tel que cos a =
33
et a ∈ ] − π ; 0 [ .
7
1. Préciser le signe de sin a .
2. Déterminer la valeur exacte de sin a.
3. Préciser la valeur exacte des nombres A, B, C et D ci-dessous :
A = cos (
π
+a)
2
B = sin ( π − a )
D = cos² a + sin ² a
C = cos ( 2π + a )
Exercice 9 : on rappelle les 2 formules vues en 1ère ( appelées formules d'addition ) : soient x et y deux réels quelconques; on a :
1 ) cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
b ) sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
1 ) A l'aide des deux formules précédentes, compléter les formules suivantes :
a ) cos ( x − y ) =
b ) sin ( x − y ) =
c ) cos ( 2x ) =
d ) sin ( 2x ) =
2 ) A l'aide de la formule trouvée au 1 ) c ) et de la relation cos² x + sin² x = 1 trouver 2 autres résultats pour cos ( 2x ) :
a ) cos ( 2x ) =
b ) cos ( 2x ) =
3 ) Le cosinus et le sinus de certains réels doivent être connus :
a ) Compléter le tableau suivant par des valeurs exactes :
x
π
6
0
π
4
π
3
π
2
π
cos x
sin x
b ) Soit a un réel quelconque; exprimer en fonction de cos a et de sin a chacun des nombres suivants :
A = cos ( a +
π
)
3
B = sin ( a −
π
)
6
C = cos ( a −
π
)
4
c ) Donner la valeur exacte des nombres suivants :
D = sin (
2π
)
3
E = cos (
π
)
12
F = cos (
5π
)
6
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Objectif n° 3 : Equations et inéquations trigonométriques
Exercice 10 : Equation trigonométrique avec cosinus
Partie A : exemples résolus.
1. On se propose de résoudre l'équation cos x = 0,5.
Raisonnement
Rédaction possible
a. On cherche un angle  "connu" dont le
cosinus vaut 0,5.
On peut s'aider d'un cercle trigonométrique.
Dans cet exemple on peut prendre  =
π
3
cos x = 0,5 ⇔ cos x = cos
π
3
b.
* On remarque que si  est une solution
de l'équation, −  en est une autre.
 x = π3 + k × 2π
⇔ ou
x = − π3 + k × 2π
k∈ℤ
* Tous les angles obtenus en rajoutant k × 2π ( k étant un entier relatif quelconque )
sont aussi des solutions
2. On se propose de résoudre l'équation sin x = 0,5.
Raisonnement
Rédaction possible
a. On cherche un angle  "connu" dont le
sinus vaut 0,5.
On peut s'aider d'un cercle trigonométrique.
Dans cet exemple on peut prendre  =
π
6
sin x = 0,5 ⇔ sin x = sin
⇔
x = π6 + k × 2π
 ou π
 x = π − 6 + k × 2π
⇔
x = π6 + k × 2π
 ou 5π
 x = 6 + k × 2π
b.
* On remarque que si  est une solution
de l'équation, π −  en est une autre.
* Tous les angles obtenus en rajoutant k × 2π ( k étant un entier relatif quelconque )
sont aussi des solutions
π
6
k∈ℤ
k∈ℤ
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Partie B : A vous ....
En procédant comme dans la partie A , résoudre les équations suivantes :
1 ) cos x =
3
2
2 ) cos x = −
5 ) sin x =
2
2
6 ) sin x = −
2
2
3 ) cos x = − 1
5
4
7 ) 2 sin x + 1 = 0
4 ) cos ( 2 x ) = −
8 ) sin ( 3x +
2
2
3
π
)=
4
2
Propriété : Soit a un réel donné. On cherche à résoudre les équations (1) : cos x = a et (2) : sin x = a .
On nommera S1 et S2 les ensembles de solutions respectifs de ces deux équations.
Valeur de a
Equation (1) : cos x = a
Equation (2) : sin x = a
a > 1 ou a < − 1
S1 = ∅
( en effet pour tout x : − 1  cos x  1 )
S2 = ∅
( en effet pour tout x : − 1  sin x  1 )
On cherche un réel  tel que cos  = a
On cherche un réel  tel que sin  = a
S1 = {  + k × 2π ; −  + k × 2π },
S2 = {  + k × 2π ; (π − )+ k × 2π },
− 1 a  1
k étant un entier relatif
k étant un entier relatif
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Exercice 11 : Inéquations trigonométriques
1)
a ) Repasser en couleur l'ensemble des points du cercle associé à
1
un angle de mesure x telle que cos x > .
2
b ) En déduire l'ensemble S des solutions de l'inéquation cos x >
1
2
pour x ∈ [ − π ; π ].
2)
a ) Repasser en couleur l'ensemble des points du cercle associé à
1
un angle de mesure x telle que sin x  .
2
b ) En déduire l'ensemble S des solutions de l'inéquation sin x 
1
2
pour x ∈ [ − π ; π ].
Exercice 12 :
1 ) Résoudre chacune des inéquations suivantes dans [ − π ; π ]:
a ) cos x <
2
2
b ) sin x 
2 ) Résoudre l'inéquation sin x  −
3
2
c ) sin x 
5
4
d ) sin x <
5
4
e ) 2 sin x + 1 < 0
3
dans [ 0 ; 2 π ].
2
3 ) Résoudre l'inéquation cos x < 0 dans [ 0 ; 2 π ].
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Objectif n° 4 : Les fonctions sinus et cosinus
Définitions :
* on appelle fonction sinus ( en abrégé sin) la fonction
définie sur
ℝ par x
sin x
* on appelle fonction cosinus ( en abrégé cos ) la fonction
définie sur
ℝ par x
cos x
Exercice 13 : Tracé point par point de ces deux fonctions
On appellera Ccos et Csin les courbes respectives des
fonctions cos et sin dans un repère orthogonal.
1 ) A l'aide du graphique ci-contre, compléter le tableau suivant :
Point
I
x
0
A
π
6
B
C
J
D
E
F
K
cos x
sin x
→ →
2 ) En utilisant le tableau précédent, tracer point par point, dans le repère orthogonal ( O; i , j ) ci-dessous la représentation graphique
sur l'intervalle [ 0 ; π ] en rouge de la fonction cos et en vert de la fonction sin.
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3 ) a ) Etudier la parité des fonctions cos et sin.
b ) Quelles en sont les conséquences graphiques pour Ccos et Csin ?
c ) Compléter alors les courbes Ccos et Csin sur [ − π ; π ]
4 ) Soit k un entier relatif.
a ) Que pouvez-vous dire de cos ( x + k × 2π ) et de cos (x) ?
On dit alors que la fonction cos est périodique de période 2 π (ou encore 2 π-périodique).
b ) La fonction sin est-elle périodique ?
c ) Compléter alors les courbes Ccos et Csin sur [ − 2π ; 2π ]
Avec les remarques précédentes, on pourrait maintenant tracer les courbes Ccos et Csin sur ℝ.
→
5 ) On remarque que les courbes Ccos et Csin se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteur ........ i .
Ces courbes s'appellent des sinusoïdes.
Remarque importante:
* Si une fonction est 2π-périodique, il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur 2π ( par exemple [ 0 ; 2π ] ou [ − π ; π] )
Si de plus, cette fonction est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur [ 0 ; π ]; grâce à sa parité, on en déduit l'étude sur
[ − π ; π] puis grâce à sa périodicité, on en déduit l'étude sur ℝ .
Plus généralement si une fonction est -périodique, il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur  ( par exemple [ 0 ;  ] ou
 

[ − ; ] ). Si de plus, cette fonction est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur [ 0 ; ].
2 2
2
Exercice 14 : Dérivée des fonctions sin et cos
On admet la propriété suivante :
* la fonction sinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x on a : ( sin x ) ' = cos x
* la fonction cosinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x on a : ( cos x ) ' = − sin x
Attention de bien noter la présence du signe "−" dans la dérivée de cos x
1 ) Tableau de variations de la fonction sin sur [ 0 ; π ]
Compléter le tableau ci-dessous
x
π
0
Signe de ( sin x ) ' = cos x
Variations de la
fonction sin
2 ) Tableau de variations de la fonction cos sur [ 0 ; π ]
Compléter le tableau ci-dessous
x
0
π
Signe de sin x
Signe de ( cos x ) ' = − sin x
Variations de la
fonction cos
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Objectif n° 5 : Etude de fonctions trigonométriques
Définition et propriété : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble Df .
On dit que f est périodique de période P (ou P-périodique) si pour tout x de Df , x + P appartient à Df
et f ( x + P ) = f (x).
→
→ →
La représentation graphique de f dans un repère orthogonal ( 0 ; i , j ) est alors invariante par translation de vecteur P i
Remarque : Pour tracer la courbe représentative d'une fonction P-périodique, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur P, puis de
→
la translater autant de fois que nécessaire par translation de vecteur P i .
Exercice 15 : soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = cos ( 3x ) + 1 . On nomme Cf sa courbe représentative dans un repère
orthogonal.
1. Etudier la parité de f. En déduire une conséquence graphique pour Cf .
2. Démontrer que f est périodique de période
2π
. En déduire une conséquence graphique pour Cf .
3
3. En utilisant les 2 résultats précédents, déduisez-en un intervalle d'étude pour f, le plus "petit" possible.
4. Calculer f ' (x). ( on rappelle que si h (x) = f ( ax + b) , alors h ' (x) = a × f ' (ax + b) )
5. Justifier que pour tout réel x de [ 0 ;
π
], f ' (x)  0.
3
6. Dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ;
π
].
3
7. Esquisser la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Exercice 16 : soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 3 x + sin x . On nomme Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Démontrer que pour tout réel x, on a : f (x)  3 x − 1. En déduire la limite de f en +∞.
Cf admet elle une asymptote horizontale au voisinage de +∞ ?
π
π
2) Calculer f ' (x) puis étudier son signe sur [ 0 ; ] et dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ; ] .
2
2
3) Démontrer que f est impaire. Quelle en est la conséquence graphique pour Cf ?
π π
4) En déduire le tableau de variations de f sur [ − ; ].
2 2
5) Soit T0 la tangente à Cf au point d'abscisse 0. Déterminer l'équation réduite de T0 .
6) Soit g la fonction définie sur ℝ par : g (x) = f (x) − 4x.
a. Justifier que g est décroissante sur ℝ.
b. Calculer g (0) et en déduire le signe de g (x) sur ℝ.
Interpréter graphiquement le résultat obtenu en ce qui concerne Cf .
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Exercice 17 : soit f la fonction définie par f (x) =
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sin x
.
2 + cos x
On nomme Cf sa courbe représentative dans le repère orthogonal ci-dessous.
Justifier que f est définie sur ℝ.
Etudier la parité de f.
Démontrer que f est 2π-périodique.
En déduire un intervalle d'étude pour f, le plus "petit" possible.
1 + 2 cos x
5) Démontrer que pour tout réel x, on a : f ' (x) =
( 2 + cos x )²
6)
1
a. Résoudre dans [ 0 ; π ], l'inéquation cos x  −
2
b. En déduire le tableau de variations de f sur [ 0 ; π ].
7)
a. Tracer Cf sur [ 0 ; π ].
1)
2)
3)
4)
b.
Compléter le tracé de Cf sur [ − π ; 3π ]. Préciser les propriétés mathématiques utilisées pour compléter le tracé.
1
2π
possède une seule solution sur [
; π ]. On la note .
2
3
1
En remarquant que (sin )² = ( 2 + cos )², démontrer l'égalité : 4 cos  + 5 ( cos )² = 0
4
En déduire la valeur exacte de cos  puis de sin .
8) On admet que l'équation f (x) =
a.
b.
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