chap. 3 - IDS, chimie et mathématiques au collège

Collège Voltaire/ Mathématiques /2ème année,/2015-2016
AIDE-MÉMOIRE
Trigonométrie
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/cours-ma2-trigo.pdf
TABLE DES MATIERES
3.A. Introduction.................................................................................2
3.B. Rappel : trigonométrie dans le triangle rectangle...............................2
3.C. Valeurs exactes d’angles particuliers ...............................................2
3.D. Trigonométrie dans le cercle trigonométrique....................................3
3.E. Angles orientés.............................................................................5
3.F. Mesure principale d'un angle...........................................................5
3.G. Radians.......................................................................................5
3.H. Relations entre les fonctions sinus et cosinus....................................6
3.I. Équations trigonométriques.............................................................7
3.J. Période, amplitude et déphasage......................................................8
3.K. Tangente......................................................................................9
3.L. Tangente de certains angles..........................................................10
3.M. Résumé.....................................................................................11
Aide-mémoire
3.A. Introduction
Tri gono métrie : du grec metron ‘’mesure’’, et gonos ’’angle’’. Le préfixe tri précise que la
trigonométrie s’occupe des mesure des figures avec ‘’trois ‘’angles : les triangles.
3.B. Rappel : trigonométrie dans le triangle rectangle
Rappel
OPPα
HYP
ADJ
cos(α)= α
HYP
OPP
tan(α)= α
ADJ α
Sinus d’un angle :
sin(α)=
Cosinus d’un angle :
Tangente d’un angle :
HYP : hypoténuse
OPPα : côté opposé à α
ADJ α : côté adjacent à α
Les identités inverses :
1
HYP
=
sin( )
OPP
1
HYP
) =
=
cos( )
ADJ 
1
ADJ 
) =
=
↷
OPP tan( )
Cosécante d’un angle:
csc(  )=
Sécante d’un angle:
sec( 
Cotangente d’un angle:
cot( 
Ces identités sont peu utilisées.
3.C. Valeurs exactes d’angles particuliers
Angles
0°
30°
45°
60°
90°
ASTUCES
0
1
2
3
4
Numérotation
0
1
√2
√3
√4
0
1
2
√2
√3
1
Diviser par 2
2
2
√3
√2
1
2
2
1
2
Inverser
l'ordre
√3
1
√3
-
Sinus
0
Cosinus
Tangente
0
3
=2
Racine carrée
tan(α)=
sin(α)
cos(α)
p. 2
Aide-mémoire
3.D. Trigonométrie dans le cercle trigonométrique
a) SINUS
(c.f. : série trigonométrie)
Définition :
sin(α)=
OPPα
HYP
dans le cercle trigonométrique : HYP= 1 et donc
sin(α)=OPPα=y
Illustration: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/66360
autres sources intéressantes : http://tube.geogebra.org/material/simple/id/6578
Fonction sinus :
f (α)=sin(α)
de ℝ vers [−1;1]
Illustration: : http://tube.geogebra.org/material/simple/id/53358
ou http://tube.geogebra.org/material/simple/id/2035355
p. 3
Aide-mémoire
b) COSINUS (c.f. : série trigonométrie)
Définition :
cos(α)=
ADJ α
HYP
dans le cercle trigonométrique : HYP= 1 et donc
cos(α)=ADJ α=x
Illustration: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/66360
autres sources intéressantes : http://tube.geogebra.org/material/simple/id/6578
Fonction cosinus :
f (α)=cos(α)
de ℝ vers [−1;1]
Illustration: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/53359
p. 4
Aide-mémoire
3.E. Angles orientés
Sur un cercle, il existe deux sens de parcours (rotation) :
• L’angle orienté positif (sens contraire à celui des aiguilles d’une montre.
• L’angle orienté négatif (sens des aiguilles d’une montre)
3.F. Mesure principale d'un angle
Indication : la mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure qui est comprise
dans l’intervalle ]-180°;180°].
3.G. Radians
''Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur
égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de
plein. Un radian vaut environ 57,3° (360°/2π) ;.''
2π
radians, appelé angle
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Radian
Exemples de mesure principale d'un angle en radians:
http://tube.geogebra.org/material/simple/id/26145
p. 5
Aide-mémoire
3.H. Relations entre les fonctions sinus et cosinus
c.f. :série trigonométrie
Indication :
x en radians
a) Angles opposés :
x et -x
sin(-x)= -sin(x)
cos(-x)= cos(x)
b) Angles différant de π :
sin( π +x) = -sin(x)
cos( π +x) = - cos(x9
x et
c) Angles supplémentaires :
sin( π -x) = sin(x)
cos( π -x) = -cos(x)
d) Angles différant de
sin(
cos(
π
2
π
2
π
2
cos(
π
2
π
2
:
x
+ x
-x
π
π
2
et
+ x
+x) = cos(x)
+x) = -sin(x)
e)Angles complémentaires:
sin(
x et
π
x
π
2
et
- x
-x) = cos(x)
-x) = sin(x)
f) Angles différant de 2 π :
sin(x+ 2 π ) = sin(x)
cos(x + 2 π ) = cos(x)
g) Angles différant de k•2 π :
sin(x+ k 2 π ) =
sin(x)
cos(x + k 2 π = cos(x)
x
et
x+2
π
x et x+ k•2
π
avec
k ∈ℤ
p. 6
Aide-mémoire
3.I. Équations trigonométriques
(A)
cos(x)= a
a  [-1;1]
Trouvez x vérifiant l’équation?
x en radians
Supposons que nous trouvons l’angle tel que
cos(angle)=a, donc
(B)
sin(x)= b
b  [-1 ;1]
Trouvez x vérifiant l’équation?
x en radians
Supposons que nous trouvons l’angle tel que
sin(angle)=b, donc
x  angle  2k
 ou

 x    angle  2k
{

x=angle+ 2kπ
ou
x =−angle+ 2kπ
S={angle+2k  } U {-angle+2k  }
S={angle+2k  } U { π -angle+2k
π }
(C)
(D)
cos(x)= cos(r)
r est un angle en radians
Trouvez x vérifiant l’équation?
sin(x)= sin (r)
r est un angle en radians
Trouvez x vérifiant l’équation?
{
{
x=r + 2kπ
ou
x =−r + 2kπ
x=r +2 kπ
ou
x =π −r +2 kπ
S={r+2k π } U {-r+2k π }
S={r+2k π } U { π -r+2k
π }
Equation avec des sinus et des cosinus
Ex. :
sin(x)=cos(
π
)
3
On transforme les fonctions trigonométriques pour se ramener à une équation du type (C) ou (D)
avec que des sinus ou que des cosinus.
Exemple de transformation autorisée (voir chapitre précédent) :
sin(
π
π
-x)=cos(x) ou cos(
-x)=sin(x) ou …..
2
2
p. 7
Aide-mémoire
3.J. Période, amplitude et déphasage
But :
-dessinez les graphes sans calculer trop de points (période et amplitude).
-trouvez les points communs entres les fonctions trigonométriques.
Fonction périodique
''En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est
appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine
quantité fixe appelée période. Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à
partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une
horloge, les phases de la lune, etc.
Les fonctions
sinus et cosinus sont périodiques et de période 2π.''
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_p%C3%A9riodique
Amplitude
Distance entre la moyenne d'une fonction sinusoïdale et sa valeur
maximale ; moitié de la distance entre le minimum et le maximum d'une fonction
sinusoïdale. L’amplitude donne une indication sur l’étirement vertical de la fonction
trigonométrique.
Exemple
• Amplitude du sinus : 1
• Amplitude du cosinus : 1
Déphasage
Translation horizontale d'une fonction sinusoïdale
illustration :
http://tube.geogebra.org/material/simple/id/184298
Autres sources intéressantes: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/356637
ou http://tube.geogebra.org/material/simple/id/357509
p. 8
Aide-mémoire
3.K. Tangente
(c.f. : série trigonométrie)
Définition :
tan(α)=
ADJ α
OPP α
à l'extérieur du cercle trigonométrique :
OPPα
= 1 et donc
tan(α)=ADJ α à l'extérieur du cercle
Illustration: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/66758
http://tube.geogebra.org/material/simple/id/66360
Fonction tangente :
f (α)=tan(α)
Illustration: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/53360
• Périodicité de tan(x):
• Les zéros de tan(x) sont :
• Df =
p. 9
Aide-mémoire
3.L. Tangente de certains angles
c.f. :série trigonométrie
Indication :
x en radians
a) Angles opposés :
x et -x
tan(-x)= -tan(x)
b) Angles supplémentaires :
tan( π -x) = -tan(x)
x et
c) Angles différant de π :
tan( π +x) = tan(x)
d) Angles différant de k• π :
tan(x+ k π ) =
tan(x)
x et
π
π
-x
+ x
x et x+ k•
π
avec
k ∈ℤ
p. 10
Aide-mémoire
3.M.Résumé
p. 11