Trigonométrie R
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' 1 Trigonométrie R ' Le radian Définition 1 Le radian est, comme le degré une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante : Si I et A sont deux points d’un cercle de centre O de rayon 1 tels que la longueur de l’arc soit égale à 1 alors l’angle α = IOA a une mesure égale à 1 radian. IA 1 radian : 1 rd ' 57, 3° [ est égale à la longueur de l’arc géométrique IM. c La mesure en radians de l’angle IOM 0 A 1 α 1 I Propriété 1 Si I et M sont deux points d’un cercle de centre O de rayon R tels que la soit égale à ` alors la mesure en radians de l’angle longueur de l’arc IM [ est le réel α = ` IOM R ` = αR M α 0 R I Remarque 1 Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians : 360 degrés = 2π radians ou encore 180 degrés = π radians Exemple 1 On obtient le tableau de conversions suivant : Angle plein plat droit fig.b fig.a fig.b Mesure en degrés 360 180 90 60 45 30 Mesure en redians 2π π π 2 π 3 π 4 π 6 Figure a : triangle rectangle isocèle π 4 π 6 π 4 π 3 1 Figure b : triangle équilatéral 2 Cercle trigonométrique Définition 2 • Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou indirect. • Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le direct est celui du sens inverse des aiguilles d’une montre. Remarque 2 On peut donner aux sens plusieurs dénominations : • Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre. • Sens indirect : sens négatif, sens horaire. 3 Angles orientés 3.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs (C) est le cercle trigonométrique de centre O, A et M sont deux points de (C) Définition 3 y −−→ [ −−−→ Une mesure, en radians, de l’arc orienté AM ou de l’angle orienté ( OA , OM ) est la longueur de chemin parcouru pour aller de A à M. Propriété 2 −→ [ −−−→ d ou de l’angle orienté ( − Si α est une mesure en radians de l’arc orienté AM OA , OM ), alors toutes les mesures en radians de cet arc sont de la forme α + 2kπ où k est un nombre entier relatif Remarque 3 Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l’on effectue sans le sens direct si k est positif, et dans le sens indirect si k est négatif 3.2 Mesure principale Définition 4 On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l’intervalle ] − π; π ] 4 4.1 Trigonométrie Valeurs remarquables Rappel : Trigonométrie du collège M HM Opposé = . sin x = Hypoténuse OM adjacent OH cos x = = . Hypoténuse OM x° O H x cos x sin x 0 1 √ 3 √2 2 2 1 2 0 1 √2 2 2 √ 3 2 0 1 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 2 4.2 Trigonométrie sur le cercle Définition 5 Soit x un réel quelconque On lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en −−→ [ −−−→ radians de ( OA , OM ) → − → − • Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère O, i , M sin x → − j − x → i → − → − • Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère O, i , 0 cos x cos x et sin x sont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M → − → − dans le repère O, i , On note : M( cos x; sin x ) Propriété 3 cos2 x + sin2 x = 1 −1 6 cos x 6 1 et −1 6 sin x 6 1 Propriété 4 M et M’ sont symétriques autour de l’axe des ordonnées. x 0 = π − x. cos(π − x) = − cos x x0 M0 b sin x 0 sin(π − x) = sin x cos x 0 Propriété 5 M et M’ sont symétriques autour de l’axe des abscisses. x 0 = −x. 0 b x cos x M sin x cos(−x) = cos x : La fonction cosinus est paire. b x cos x sin(−x) = − sin x : La fonction sinus est impaire. 0 cos x 0 sin x 0 Propriété 6 M et M’ sont symétriques autour de l’origine du repère. x 0 = x + π = x − π. b sin x cos(x + π) = cos(x − π) = − cos x. sin(x + π) = sin(x − π) = − sin x. cos x 0 M0 b 0 sin(x + 2π) = sin x. Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. 3 M0 b M x cos x sin x 0 x0 Propriété 7 cos(x + 2π) = cos x. M sin x x0 5 Angle de deux vecteurs non nuls Définition 6 → − → − −−→ u et v sont deux vecteurs de représentants respectifs AB −−−→ et CD . → − → − Pour déterminer une mesure de l’angle u ; v D B D0 on construit, à partir d’un point O quelconque du plan, −−−→ −−−→ → − → − les représentants OB’ et OD’ des vecteurs u et v . A Si on appelle I et M les intersections respectives des segments [OB’] et [OD’] avec le cercle trigonométrique de → − → − −−→ −−−→ centre O alors u ; v = OI ; OM M C I O Propriété 8 Propriété 9 → − → − → − → − u ;− u = − u ; u = π Angle plat. π → − → − → − → − Les angles u ; v et v ; u sont opposés. → → → − → − − → − → − → − − → − u ; v = − v ; u et v ; u = − u ; v → − u → − −u → − v b → − u −π Propriété 10 Propriété 11 → − → − → − → − − u ;− v = u ; v . → − → − → − → − − u ; v = u ; v + π. → − v → − v → − u → − −u → − −u → − −v → −−→ −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ Propriété 12 − → − → − → − → − → − Relation de Chasles : u ; v + v ; w = u ; w ou encore AB ; CD + CD ; EF = AB ; EF 4 B0 x → − u
