Le cours en PDF - Académie de Nancy-Metz

Chapitre7 : Trigonométrie
1. Rappels : cosinus
Solution : Dans le triangle EFG rectangle en E , on a :
EF
cos(^
EFG)=
FG
3
cos( ^
EFG)=
5
cos( ^
EFG)=0,6
donc ^
EFG≈53,13 ° . L'angle ^
EFG mesure environ 53,13°
Remarque : La calculatrice doit être dans le mode "degrés". Pour le savoir, tapez cos(60). Si votre
calculette affiche 0,5 alors tout va bien.
2. sinus
doc A.Garland
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Solution Dans le triangle EFG rectangle en F, on a :
EF
sin( ^
FGE)=
EG
3
sin( ^
FGE )=
4
donc ^
FGE≈48,6° . L'angle ^
FGE mesure environ 48,6°
Enoncé2 : HIJ est un triangle rectangle en H avec IJ=5,7cm ; ^
HIJ =40° .Calculer la
longueur JH arrondie à 0,001cm près.
Solution :
Dans le triangle HIJ rectangle en H, on a :
JH
sin( ^
HIJ )=
IJ
JH
sin(40 ° )=
5,7
JH
sin(40 ° )×5,7=
×5,7
5,7
JH =sin(40 ° )×5,7
JH≈3,664
La longueur JH mesure environ 3,664cm
Enoncé3 : KLM est un triangle rectangle en K avec KL=10cm ; ^
KML=25° .
-1
Calculer la longueur ML (arrondir à 10 cm près).
Solution : Dans le triangle KML rectangle en K, on a :
LK
sin( ^
KML)=
LM
10
sin(25° )=
LM
10
sin(25°)×LM =
×LM
LM
sin(25°)×LM =10
( sin(25 °)× LM )÷sin (25° )=10÷sin (25°)
LM =10÷sin(25° )
LM ≈23,7 La longueur JH est d'environ 23,7cm
3. Tangente
doc A.Garland
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solution :
Dans le triangle DEF rectangle en D, on a :
DF
tan( ^
FED )=
DE
3
tan(26 ° )=
DE
3
tan(26 ° )×DE=
× DE
DE
tan(26 ° )×DE=3
tan(26 ° )×DE÷tan(26 ° )=3÷tan (26 °)
DE=3÷tan (26 °)
DE≈6,15
La longueur DE est d'environ 6,15cm.
4. D'autres formules
4.1 Lien entre sinus, cosinus et tangente
Soit ABC un triangle rectangle en A. On a
tan( ^
ABC )=
sin( ^
ABC )
cos( ^
ABC )
Démonstration
Dans le triangle ABC rectangle en A on a
AC
AC
AB
tan( ^
ABC )=
ABC )=
ABC )=
; sin( ^
; cos( ^
AB
BC
BC
donc
AC
^
sin( ABC ) BC AC BC AC
=
=
×
=
=tan ( ^
ABC )
cos( ^
ABC ) AB BC AB AB
BC
4.2 Sinus, cosinus et carrés
Soit ABC un triangle rectangle en A. On a sin ² ( ^
ABC )+cos ²( ^
ABC )=1
Démonstration : Dans le triangle ABC rectangle en A on a
AC
AC ²
sin( ^
ABC )=
ABC )=
donc sin ² ( ^
BC
BC ²
AB
AB ²
cos( ^
ABC )=
ABC )=
donc cos ²( ^
BC
BC ²
AB ² AC ² AB ²+ AC ²
ABC )+cos ²( ^
ABC )=
+
=
On a sin ² ( ^
BC ² BC ²
BC ²
Dans le triangle ABC rectangle en A on a d’après le théorème de Pythagore :
BC²=AB²+AC²
AB ² + AC ²
²
ABC )+cos ²( ^
ABC )=
=BC
²=1
donc sin ² ( ^
BC ²
BC
Remarque : Attention à l'écriture : cos²(x) correspond à (cos(x))² qu'il ne faut pas confondre avec cos(x²)
3ème : Objectifs
3G101
et compétences - CHAPITRE7 : Trigonométrie
Connaître et utiliser les relations entre le cosinus ou le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux des côtés
d’un triangle rectangle.
3G104 Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné.
3G105 Triangle rectangle, relations trigonométriques : connaitre les formules cos²(a)+sin²(a)=1 et tan(a)=sin(a) / cos(a)
3G106
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées de l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la
tangente.
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