ANGLES ORIENTES I . Cercle trigonométrique et mesures d’un angle orienté : Définition : Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, muni d’un sens de parcours direct et d’une origine. B Mesures principales : (en radians) A tout réel x, on associe un point M par enroulement de la droite des réels. Le réel x compris entre – et est la mesure principale de l’angle orienté : OA, OM , c’est la o A' longueur de l’arc AM avec le signe donné par l’orientation du cercle. Pour convertir : 180 rd 2 ; 3 6 convertir en radians : 150° ; 40°. A Exercice1 : convertir en degrés : B' B Autres mesures : (en radians) Si x est une mesure de l’angle orienté : OA, OM alors les autres mesures de cet angle sont les réels qui s’écrivent : x k(2 ) , k On écrit OA, OM = x k(2 ) , k o A' Par exemple : L’angle nul mesure : L’angle plat mesure : L’angle droit direct mesure : B' Exercice 2 : déterminer la mesure principale de 17 7 ; ; 23 ; 2005 . 3 4 Exercice 3 : C B Déterminer une mesure des angles OA;OB ; OC;OA ; DC;AF ; AF;OC . o D E A F A ou AB; AC AB; AC u;u .........; u; u ......... Remarque : Si BAC alors Cas particuliers : II Propriétés : u; v v; w ……. u; v .....................; u; v ………………. Relation de Chasles : Pour trois vecteurs non nuls : v;u ...............; Conséquences : Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si u; v ………ou u; v ….. Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u; v …....ou u; v ….. Angles associés : o Si OA;OM alors M P A N Q III. Cosinus et sinus d’un réel : Définition : Dans le repère O, OA, OB : B L’abscisse de M est cosx L’ordonnée de M est sinx Exemples cos 0 =.. cos( ) .. 2 sin 0 =.. cos 2 .. sin sin( ) .. cos .. 2 2 .. A' o B' M A OA;OP OA;OQ OA;ON Valeurs particulières : 6 Cos 4 3 2 Sin 2 2 Exercice 4 : Calculer : cos sin cos sin 3 3 4 4 Angles associés : cos(x) ............... sin(x) ............ cos(x ) .................... sin(x ) ..................... cos( x) .................. sin( x) .................... cos x .................. sin x .............. 2 2 Propriétés : 1 cos x 1 1 sin x 1 cos x 2 cos x cos x sin x 1 sin x 2 sin x 2 2 Exercice 5 : Construire les points du cercle trigonométrique associés à la valeur donnée a) cos x 2 2 valeurs de x possibles ? b) sin y 2 2 valeurs de y possibles ? 1 ; calculer cos x 2 2 2 b) x 0 et cos x 0.2 ; calculer sin x Exercice 6 : a) x et sin x IV. Equations trigonométriques cos x et sin x L’équation cos x cos a a pour solutions les réels x a 2k et x a 2k où k L’équation sin x sin a a pour solutions les réels x a 2k et x a 2k où k . .