Trigonométrie : rappels

Trigonométrie :
rappels
Terminale S
On peut orienter le plan de deux façons :
Le sens des aiguilles d'une montre dit sens horaire.
Le sens contraire des aiguilles d'une montre dit sens anti-horaire,
appelé sens trigonométrique.
Les angles mesurés dans le sens trigonométrique ont une mesure
positive et les angles mesurés dans le sens horaire ont une mesure
négative.
Terminale S
Un angle orienté est la donnée de deux vecteurs
Par abus de notation, on
confond l'angle orienté et
ses mesures
⃗v
⃗u
Propriétés :
( ⃗v , ⃗u )=−( ⃗u , v⃗ )
( ⃗u , ⃗0 )=( ⃗
0, ⃗u )=0
(−⃗u , ⃗v )=( ⃗u ,−⃗v )=π−( ⃗u , ⃗v )
(−⃗u ,−⃗
v )=( ⃗u , ⃗v )
( ⃗u , ⃗v )+( ⃗v , ⃗
w )=( ⃗u , ⃗
w ) (Relation de Chasles)
Terminale S
Un cercle trigonométrique
est un cercle de rayon 1 unité et orienté avec le sens trigonométrique.
Le périmètre d'un cercle
trigonométrique est 2p unités.
1
+
Terminale S
La droite des réels s'enroule autour du
cercle trigonométrique à partir du point I.
Donc à chaque nombre réel est associé
un unique point du cercle et à un point
du cercle sont associés une infinité
de nombres réels séparés de 2p.
Terminale S
Les valeurs de base :
Terminale S
Autres valeurs à connaître
Terminale S
Autres valeurs à connaître
Terminale S
Un angle de mesure 1 radian correspond à un arc de cercle trigonométrique
de longueur 1 unité. Le radian est l'unité d'angle utilisé en mathématiques.
1 unité
(⃗
OI , ⃗
O R) mesure 1 radian
Ainsi, chaque réel de la page précédente correspond à une mesure en radian de l'angle
(⃗
OI , ⃗
O M) où M est le point associé au réel.
Un angle orienté a une infinité de mesures en radians (2 mesures étant espacées
d'un multiple de 2p). La mesure comprise entre –p (exclu) et p (inclus) est appelée
mesure principale de l'angle orienté.
Terminale S
A un cercle tigonométrique, on peut associer un repère orthonormé (O,I,J).
Pour un réel x, on appelle
cosinus de x (noté cos x) l'abscisse
du point du cercle trigonométrique associé à x.
sinus de x (noté sin x), l'ordonnée
J
sin x
Pour tout réel x, -1 ≤ cos x ≤ 1
et -1 ≤ sin x ≤ 1 .
cos x
I
De plus, cos²x+sin²x=1.
Terminale S
Valeurs de base à connaître :
x
0
cos x
sin x
1
0
p/6
√3 /2
1/2
p/4
√2 /2
√2 /2
p/3
1/2
√3 /2
p/2
0
1
Pour les autres valeurs, on peut utiliser les propriétés suivantes : x est un réel
cos(-x)=cos x et sin(-x)=-sin x
cos(p-x)=-cos x et sin(p-x)=sin x
cos(p+x)=-cos x et sin(p+x)=-sin x
S'aider du placement sur le cercle trigonométrique permet de retrouver assez
facilement les valeurs.
Terminale S
Egalité de cosinus ou sinus :
cos x = cos a ssi x=a+2kp ou x=-a+2kp, k entier relatif (kZ)
sin x = sin a ssi x=a+2kp ou x=p-a+2kp, k entier relatif (kZ)
Ces résultats permettent de résoudre des équations trigonométriques
Remarque : si on a égalité d'un cosinus et d'un sinus, on utilise le
résultat suivant : sin x=cos(p/2 -x)
Terminale S
Signe du cosinus et du sinus :
J
cos x ≤ 0
sin x ≥ 0
cos x ≥ 0
sin x ≥ 0
I
cos x ≤ 0
sin x ≤ 0
cos x ≥ 0
sin x ≤ 0
Terminale S
Addition et soustraction : a et b sont deux réels
cos(a+b)=cos a.cos b-sina.sin b cos (a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b
! signe !
! signe !
sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b
sin(a-b)=sin a.cos b-cos a.sin b
Formules de duplication : a est un nombre réel
cos(2a)=cos²a-sin²a=2cos a+1=1-2sin a
sin(2a)=2sin a.cos a
Terminale S