Fonctions trigonométriques A. Définitions 1- Cosinus et sinus Le plan est muni d'un repère orthonormal O , i , j direct; on a i , j= . 2 On considère le cercle trigonométrique, cercle de centre O et de rayon 1. sin(x) M A tout réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure de l'angle orienté i , OM . O x cos(x) On appelle alors cos(x) l'abscisse du point M et sin(x) l'ordonnée du point M. Quelques valeurs remarquables : angle 0 cosinus 1 sinus 0 6 4 3 2 3 2 0 -1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 0 2- Propriétés a) Conséquences immédiates Quel que soit le réel x : -1 cos (x) 1 et -1 sin (x) 1 cos² (x) + sin² (x) = 1 cos (x + 2) = cos (x) et sin (x + 2) = sin (x) b) Angles associés La figure ci-contre permet de retrouver rapidement les formules suivantes : -x +x x cos (-x) = cos (x) et sin (-x) = - sin (x) cos ( - x) = - cos (x) et sin( - x) = sin (x) cos ( + x) = - cos(x) et sin( + x) = - sin(x) -x D'autre part, cos x =sin x et sin x=cos x 2 2 KB 1 sur 5 cos x =sin x et sin x=cos x 2 2 c) Sinus et cosinus d'une somme Quels que soient les réels a et b : cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) d) Formules de duplication Quel que soit le réel x : cos(2x) = cos²(x) sin²(x) sin(2x) = 2sin(x) cos(x) B. Étude des fonctions sinus et cosinus 1- Dérivabilité a) Résultats préliminaires sin x cos x1 =1 et que lim =0 . x x x 0 x 0 On admet que lim sin hsin0 sin h =lim =1 . h h h 0 h 0 Le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 est lim Le nombre dérivé de la fonction cosinus en 0 est lim h 0 cos hcos0 cos h1 =lim =0 . h h h 0 b) Dérivées de sinus et cosinus La dérivée de la fonction sinus est (sin(x))' = cos(x). La dérivée de la fonction cosinus est (cos(x))' = - sin(x). Démonstration sin x 0hsin x 0 . h h 0 Cherchons le nombre dérivé de la fonction sinus en x0, c'est à dire lim sin x 0hsin x 0 sin x 0 cos hcos x 0 sin hsin x 0 = h h donc sin x 0h sin x 0 cos h1 h . =sin x 0 cos x 0 sin h h h cosh1 sin h tend vers 0 et tend vers 1. On en déduit que h h sin x 0hsin x 0 lim =cos x 0 . h h 0 Lorsque h tend vers 0, Cela nous montre que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus. KB 2 sur 5 x , la dérivée de la fonction cosinus est donc la dérivée de la 2 fonction sin x , c'est à dire cos x ×1=cos x =sin x . 2 2 2 D'autre part, cos x =sin 2- Fonction sinus La fonction sinus est : périodique de période 2, sin(x + 2) = sin(x). impaire, sin(-x) = - sin(x) Sa dérivée est cos(x). Construisons le tableau de variations sur [-; ]: - -/2 cos(x) - 0 +/2 x sin(x) + 0 + - 1 0 0 -1 Sa courbe représentative est : 3- Fonction cosinus La fonction cosinus est : périodique de période 2, cos(x + 2) = cos(x). paire, cos(-x) = cos(x) Sa dérivée est -sin(x). Construisons le tableau de variations sur [-; ]: x - -sin(x) 0 + KB 3 sur 5 0 + - 0 1 cos(x) -1 Sa courbe représentative est : 0 -1 C. Fonction tangente 1- Définition La fonction tangente, notée tan, est définie pour tout réel x tel que x tan x = k avec k , par 2 sin x . cos x En effet cos(x) 0 est équivalent à x k avec k . 2 2- Périodicité et parité Pour tout x de l'ensemble de définition de la fonction tangente : tan(x + ) = tan(x); la fonction tangente est périodique de période . tan(-x) = - tan(x); la fonction tangente est impaire. 3- Dérivée La fonction tangente est dérivable en tout réel x de son ensemble de définition et 1 tan x ' =1tan2 x = 2 . cos x 4- Tableau de variations sur x ] ; 2 2 +/2 -/2 1/cos²(x) + + tan(x) - KB 4 sur 5 [ Les droites d'équations x= 5- Courbe KB 5 sur 5 k avec k sont des asymptotes verticales. 2