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Chapitre
F
Nombres complexes - Partie 2
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Forme trigonométrique :
– module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ;
– notation exponentielle.
• Passer de la forme algébrique à la forme
trigonométrique et inversement.
• Connaître et utiliser la relation zz = |z|2 .
• Effectuer des opérations sur les nombres
complexes écrits sous différentes formes.
La notation exponentielle est introduite
après avoir montré que la fonction θ 7→
cos θ + isinθ vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle.
Les nombres complexes permettent de
mémoriser les formules trigonométriques
d’addition et de duplication vues en première.
⇆ Analyse fréquentielle d’un système.
1
Terminale S
Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Table des matières
F Nombres complexes - Partie 2
I-
1
Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.
Définition, interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.
Propriétés des modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.
Arguments d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.
Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.
Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
III - Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Dans tout le chapitre le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.
I - Module d’un nombre complexe
1. Définition, interprétation géométrique
Définition 1
Soit z = a + ib avec a, b ∈ R un nombre complexe. On appelle module de z le réel noté |z| défini par :
|z| =
p
a2 + b2 .
Remarques :
• |z| > 0 ;
• Si z ∈ R alors |z| = |a| (valeur absolue du réel a) ;
Exemples 1 p
√
• |3 + 2i| = p32 + 22 = 13 ;
√
2
2
• |3 − 2i|
p = 3 + 2 = 13 ;
• |i| =
02 + 12 = 1.
Propriété 1
Soit z ∈ C.
(1) Si M est le point d’affixe z alors OM = |z|.
#» est un vecteur d’affixue z alors k wk
#» = |z|.
(2) Si w
3
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Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
2. Propriétés des modules
Propriété 2
z et z ′ étant deux nombres complexes.
√
(1) |z|2 = zz ou bien |z| = zz.
1
1
.
(5) Si z 6= 0 alors =
z
|z|
(2) |z| = 0 ⇔ z = 0.
z′ |z ′ |
(6) Si z =
6 0 alors =
.
z
|z|
(3) |z| = |z| = | − z| = | − z|.
(4) |zz ′ | = |z| · |z ′ |.
(7) Si z 6= 0 alors pour tout n ∈ Z, |z n | = |z|n .
Démonstration
(1),(2),(3) évidents.
(4) |zz ′ |2 = zz ′ zz ′ = zz ′ zz ′ = zzz ′ z ′ = |z|2 .|z ′ |2 = (|z|.|z ′ |)2 .
(5), (6), (7) même idée.
II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1. Arguments d’un nombre complexe non nul
Définition 2
Soit z un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z.
# »
On appelle argument de z et on le note arg(z) une mesure en radian de l’angle orienté ( #»
u ; OM ).
M (z)
b
|z|
arg(z)
#»
v
O
#»
u
Remarques :
• 0 n’a pas d’argument ;
• Tout nombre complexe admet une infinité d’arguments : si θ est un argument de z alors pour tout k ∈ Z,
θ + 2kπ est aussi un argument de z. On écrit :
arg(z) = θ (2π).
Exemples 2
Soit A, B, C, D et E les points du plan complexe d’affixes respectives
Déterminer un argument de chacun d’eux.
3
, −4, 3i, −2i et 1 + i.
2
2. Forme trigonométrique
Théorème 1
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul avec a, b ∈ R et θ un argument de z. Alors :
a = |z| cos θ et b = |z| sin θ.
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
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Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
b
b = |z] sin θ
M (z)
b
|z|
#»
v
θ = arg(z)
b
O
b
#»
u
a = |z| cos θ
Définition 3
Une écriture d’un nombre complexe z sous la forme :
z = |z|(cos θ + i sin θ) où θ = arg(z) (2π).
est appelée forme trigonométrique de z.
Exemples 3
(1) Donner deux formes trigonométriques distincts du nombre complexe z = 1 − i.
√
(2) Déterminer une forme trigonométique du nombre z = −3 + 3.
2π
(3) Soit z le nombre complexe, tel que |z| = 4 et arg(z) =
(2π).
3
Déterminer la forme algébrique de z.
Ä π äó
√
πä
+ i sin −
ou z = 2 cos
4
4
»
√ 2 √
√
(2) |z| =
(−3)2 + 3 = 9 + 32 3.
(1) z =
√
î
h
Ä
2 cos −
3π
4
+ i sin
3π
4
i
.
√
√
−3 3
3
−3
=−
√ =
2
×
3
2
Solution
2
3
√
En posant θ = arg(z) (2π), on a

sin θ = √3 = 1
2
2 3
√
5π
5π
5π
À l’aide du cercle trigonométrique, on en déduit que θ =
, d’où z = 2 2(sin
+ i sin
).
6
6
6
√
(3) z = −2 + 2i 3.


cos θ =
Remarque : z =
ã
√ Å
π
π
2 cos − i sin
n’est pas une forme trigonométrique.
4
4
L’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique donne immédiatement les deux propriétés
suivantes :
Propriété 3
Si un nombre compelxe z s’écrit sous la forme z = r(cos α + i sin α) où r ∈ R avec r > 0 et α ∈ R alors :
|z| = r et arg(z) = α (2π).
Théorème 2
Soit z et z ′ deux nombres complexes.
z = z ′ ⇔ |z| = |z ′ | et arg(z) = arg(z ′ ) (2π).
5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
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Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
3. Propriétés des arguments
Propriété 4
Pour tout nombre complexe z non nul, on a :
π
M (z)
b
(1) arg(z) = − arg(z) (2π) ;
#»
v
(2) arg(−z) = arg(z) + π (2π) ;
θ
b
(3) z ∈ R ⇔ arg(z) = 0 [π] (c’est-à-dire 0 ou 2π
(2π)) ;
(4) z ∈ iR ⇔ arg(z) =
(2π)).
π
π
π
[π] (c’est-à-dire − ou
2
2
2
O
#»
u
−θ
M1 (z)
b
b
M2 (−z)
Théorème 3
Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , on a :
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π).
Démonstration
On pose θ = arg(z) (2π) et θ′ = arg(z ′ ) (2π).
zz ′ = |z|(cos θ + i sin θ) × |z ′ | cos θ′ + i sin θ′ ) = |z|.|z ′ |(cos θ + cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′ = |zz ′ |(cos(θ + θ′ ) +
i sin(θ + θ′ )).
On applique ci-dessus les formules d’addition du sinus et du cosinus vues en première.
D’après la propriété 3, on en déduit que arg(zz ′ ) = θ + θ′ (2π).
Propriété 5
Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , on a :
Å ã
1
= − arg(z) (2π) ;
(1) arg
z
Å ã
z
(2) arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) (2π) ;
z
(3) Pour tout n ∈ Z, arg (z n ) = n arg(z) (2π).
Démonstration
1
1
= 1, d’où arg z × = arg(1) = 0 (2π).
z
z
1
D’après le théorème 3, arg(z) × arg
= 0 (2π), d’où le résultat.
z
Ä
z
1
1
zä
(2) ′ = z × ′ , d’après le théorème 3, arg ′ = arg(z) + arg
et avec le point précédent on obtient le résultat.
z
z
z
z′
(3) Pour n ∈ N, on raisonne par récurrence sur n.
arg(z 0 ) = arg(1) = 0 (2π), et 0 × arg(z) = 0 (2π). La propriété est initialisée.
Supposons que pour un entier naturel n, on ait arg(z n ) = n. arg(z) (2π).
arg(z n+1 ) = arg(z n × z) = arg(z n ) + arg(z) = n. arg(z) + arg(z) = (n + 1) arg(z) (2π). La propriété est donc héréditaire.
D’apès l’axiome de récurrence pour tout n ∈ N, on a arg(z n ) = n arg(z) (2π).
1
Si n ∈ Z− , alors on pose m = −n ∈ N, ainsi arg(z n ) = arg(z −m ) = arg
= − arg(z m ) = −m arg(z) = n arg(z) (2π).
zm
(1) z ×
Exemples 4
Déterminer la forme trigonométrique de z1 =
Solution z1 =
√
1
, z2 = (1 + i)
1+i
Å √
− 3+i
4
ã
et z3 = (1 + i)4 .
√ h
i
Ä πä
Ä π äó
2î
2
13π
13π
cos −
+ i sin −
, z2 =
cos
+ i sin
et z3 = 4 [cos π + i sin π].
2
4
4
2
4
4
6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
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Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
Théorème 4
Soit A(zA ), B(zB ), C(zC ) et D(zD ) quatre points du plan complexe tels que A 6= B et C 6= D.
# »
(1) AB = |z − z | et ( #»
u , AB) = arg(z − z ) (2π) ;
B
A
B
zD − zC
# » # »
(2) (AB, CD) = arg
zB − zA
Å
ã
A
(2π).
Démonstration
# » = zB − zA , d’où le résultat.
(1) zAB
# » # »
# »
# »
# »
# »
zD − zC
(2π).
(2) (AB, CD) = (AB, #»
u ) + ( #»
u , CD) = ( #»
u , CD) − ( #»
u , AB) = arg(zD − zC ) − arg(zB − zA ) = arg
zB − zA
III - Forme exponentielle d’un nombre complexe
Soit f la fonction définie sur R par f (θ) = cos θ + i sin θ.
Remarques :
• f (θ) ∈ C ;
• f (θ + θ′ ) = cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ ).
Donc f (θ + θ′ ) est le nombre complexe de module 1, et dont un argument est θ + θ′ (propriété 4). De plus,
f (θ)f (θ′ ) a également pour module 1 et pour module θ + θ′ (théorème 3).
En appliquant le théorème 2, on en déduit que : f (θ + θ′ ) = f (θ)f (θ′ ).
• La fonction f est dérivable sur R (on dérive la partie réelle et la partie imaginaire indépendamment). Par
analogie avec la propriété caractéristique de la fonction exponentielle, on a envie de dire que f (θ) = exp(kθ)
avec k ∈ C.
• De plus, f ′ (θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ) = if (θ). et f (0) = 1. Par conséquent k = i.
Définition 4
Pour tout réel θ, on pose :
cos θ + i sin θ = eiθ .
eiθ est le nombre complexe de module 1 et d’argument θ.
Exemples 5
π
π
π
Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants√: e2iπ , eiπ , ei 2 , e−i 2 et ei 3 .
π
π
π
Solution e2iπ = 1, eiπ = −1, ei 2 = i, e−i 2 = −i et ei 3 =
1
3
+i
.
2
2
Remarque : La formule eiπ = −1 est appelée la formule d’Euler.
Propriété 6
Pour tous réels θ et θ′ et tout entier n :
1
= e−iθ ;
eiθ
Ä än
(5) eiθ = einθ (formule de Moivre).
(1) eiθ = 1 et arg eiθ = θ (2π) ;
Ä
(2) eiθ eiθ = ei(θ+θ ) ;
eiθ
′
(3) iθ′ = ei(θ−θ ) ;
e
′
′
ä
(4)
Démonstration
Conséquences de la propriété 6 et du théorème 3.
Remarques :
• La formule de Moivre s’écrit aussi : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
z+z
z−z
• En appliquant ℜ(z) =
et ℑ(z) =
au nombre complexe z = cos θ + i sin θ pour tout réel θ, on
2
2i
7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
obtient les formules d’Euler :
cos θ =
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sin θ =
.
2
2i
• Du (2), on tire cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ ) = (cos θ + i sin θ)(cos θ′ + i sin θ′ ), on retrouve les formules d’addition
et de duplication vues en première :
cos(θ + θ′ ) = cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ et sin(θ + θ′ ) = sin θ cos θ′ + cos θ sin θ′ .
cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ = 1 − 2 sin2 θ et sin(2θ) = 2 cos θ sin θ.
Théorème 5
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme z = |z|eiθ où θ est un argument de z. Cette
écriture est appelée forme exponentielle de z.
Démonstration
Conséquences du théorème 1 et de la définition 4.
Propriété 7
Soit z ∈ C, si z = reiα où z ∈ R∗+ et α ∈ R alors
r = |z| et α = arg(z) (2π).
Démonstration
Conséquences de la propriété 4 et de la définition 4.
Exemple 6
π
Déterminer le module de z = −3ei 3 et un argument de z.
Solution |z| = 3 et arg(z) = −
2π
(2π).
3
Propriété 8 Équation paramétrique d’un cercle
Soit A un point du plan complexe d’affixe zA et r un réel positif.
Une équation de la forme z = zA + reiθ avec θ ∈ R est une équation paramétrique du cercle de centre A
et de rayon r.
Démonstration
On note C le cercle de centre A et de rayon r.
M (z) ∈ C ⇔ AM = r ⇔ |z − zA | = r ⇔ z − zA = reiθ avec θ ∈ R car reiθ et le nombre complexe de module r et d’argument θ.
8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes