B mecanique

Plan du cours
• Introduction
• Notions de mécanique : force, énergie, travail,
puissance…
• Température et chaleur
• Systèmes, transformations et échanges thermodynamiques
• Premier principe de la thermodynamique
• Second principe de la thermodynamique
• Brève introduction aux probabilités et à la statistique
• Notions élémentaires de mécanique statistique
• Théorie de l’information
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1
Mécanique
Afin de pouvoir étudier les liens entre chaleur et travail,
nous commencerons par introduire les concepts nécessaires
à l’étude du travail mécanique : force, travail, énergie…
2
Force
L’action exercée par une force en un point d’un corps peut
être assimilée à la traction d’un fil attaché en ce point. Elle
possède les caractéristiques suivantes :
• une direction, celle du fil,
• un sens, celui de la traction exercée sur le fil,
• un point d’application,
• une grandeur, la tension exercée sur le fil.
Il s’agit donc d’un vecteur.
On appelle résultante la somme des forces appliquées à un
corps.
3
Lois de Newton
Philosophiae naturalis
principia mathematica
(1687).
Isaac Newton (1661-1727)
4
Première loi de Newton
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel
movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a
viribus impressis cogitur statum suum mutare.
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Première loi - Cinématique
Tout corps ne change son état de repos ou de mouvement
que si une force lui est appliquée.
Pour apprécier la signification de cette loi, il faut
commencer par étudier le mouvement, indépendamment des
forces qui en sont la cause, c’est l’objet de la cinématique.
On distingue les mouvements
• du point matériel : seules des translations sont possibles,
• du solide rigide : les rotations sont également possibles,
• des corps déformables, soit incompressibles (les liquides),
soit compressibles (les gaz).
6
Cinématique du point matériel
Comme tous les modèles, celui du point matériel est d’une
utilité variable selon les circonstances. Selon la précision
recherchée, il peut convenir à la description du système
solaire, mais pas à celle de la trajectoire d’une balle de
tennis.
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Cinématique du point matériel
Le mouvement est caractérisé par la position

r  x, y, z 
la vitesse et l’accélération

V  Vx ,Vy ,Vz 
avec
 dr  dx dy dz 
V
 , , 
dt  dt dt dt 

a  ax , a y , az 

 dV  dVx dVy dVz 

 
,
,

  dt  dt dt dt 
a 
2
2
2
2

d
r
d
x
d
y
d
z

  2 , 2 , 2 
2
 dt
8
 dt dt dt


Unités
Longueur : le mètre, symbole m.
Vitesse : le mètre par seconde, m / s.
Accélération : le mètre par seconde carrée, m / s2.
9
Cinématique du point matériel
La vitesse instantanée correspond à la limite de la vitesse
moyenne pour un intervalle de temps tendant vers zéro :

 dr
r
V
 lim
dt t  0 t
Pour apprendre à reconnaître les lettres grecques (par
exemple ), cliquer ici
10
Cinématique - exemple
Le mouvement oscillatoire à une dimension d’une masse
ponctuelle attachée à un ressort (oscillateur harmonique)
peut être décrit par
r  r0  A sin  t  t 0 
dr
V 
 A cos  t  t 0 
dt
2
d r
a  2   A 2 sin  t  t 0 
dt
11
Deuxième loi - Dynamique
La deuxième loi lie la cause (force) et l’effet (mouvement)
par la relation (équation du mouvement)
 


d
mV  F
dt
où l’argument de la dérivée est appelé quantité de
mouvement et la force à prendre en compte dans le membre
de droite est la force résultante appliquée au point matériel.
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Deuxième loi - Dynamique
Dans le cadre de ce cours, nous ne rencontrerons aucune
application où la masse varie en fonction du temps et
pourrons donc écrire :



d
dV
mV  m
 ma
dt
dt
 


F  ma
13
Unités
Force : le newton, symbole N.
Il résulte de la seconde loi de Newton que
1 N = 1 kg m / s2.
14
Dynamique - exemple
Une masse ponctuelle attachée à un ressort subit une force
proportionnelle à l’allongement de ce dernier. Pour décrire le
mouvement, il faut intégrer l’équation du mouvement
d 2r
m 2  k r  r0 
dt
dont la solution générale est donnée par
 k 
 k 
r  r0   cos
t    sin 
t 
 m 
 m 
15
Dynamique - exemple
L’identification de cette expression avec celle déjà
rencontrée dans le cadre de la cinématique permet de relier
l’une à l’autre les deux formulations obtenues
k

m
   A sin t0   A cos t0
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Troisième loi
Si un corps exerce une force sur un autre (action), cet autre
exerce une force opposée sur le premier (réaction).


F1, 2   F2,1
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Pression
Le rapport de la composante normale(*) d’une force à l’aire
de la surface sur laquelle elle s’exerce est la pression.
 
F n
p
A
Nous verrons par la suite comment établir un lien entre la
pression régnant dans une enceinte et la vitesse moyenne des
molécules qui s’y trouvent.
(*) Normale dirigée vers l’intérieur du corps sur lequel la force s’exerce.
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Unités
Pression : le pascal, symbole Pa.
Il résulte de la définition de la pression que
1 Pa = 1 N / m2 = 1 kg / (m s2).
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Travail
Il y a travail lorsqu’une force déplace son point
d’application.
Le cas le plus simple est celui d’un mouvement rectiligne
résultant d’une force alignée avec lui :
W  Fr
Si la force fait un angle avec le déplacement, il faut en tenir
compte :
 
W  F r
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Travail
Dans la cas général d’une trajectoire quelconque et d’une
orientation variable de la force, on intègre le long de la
trajectoire :

r1
 
W   F  dr

r0
On écrira souvent :
 
W   F  dr
1
0
21
Travail
Selon que le travail est positif ou négatif, on parlera de
travail moteur ou de travail résistant.
22
Unités
Travail : le joule, symbole J.
Il résulte de la définition du travail que
1 J = 1 N m = 1 kg m2 / s2.
23
Travail - exemple
Dans le cas de l’oscillateur harmonique, le travail fourni par
le ressort lorsque la masse qui lui est attachée se meut de r0 à
r1 vaut
1
r

W    k r  r0 dr  k   rr0 
2
0
0
1
2
 r12
r02
k
2
2
 k   r1r0   r0    r1  r0 
2
2
2

Au cours de ce mouvement, le déplacement et la force
appliquée sont de sens différents, le travail est donc négatif.
24
Puissance
La puissance est le travail rapporté à l’unité de temps :

r

dW d  
P
  F r   dr 
dt
dt r0

 
d 
  F t  V t  dt   F V
dt t0
t
25
Unités
Puissance : le watt, symbole W.
Il résulte de la définition de la puissance que
1 W = 1 J / s = 1 kg m2 / s3.
26
Énergie
L’énergie est la capacité d’un corps à fournir du travail en
raison de
• sa position (énergie potentielle, Ep),
• sa vitesse (énergie cinétique, Ec).
C’est aussi le travail fourni pour
• le ramener de la position qu’il occupe à une position de
référence (Ep),
• l’amener du repos à la vitesse qu’il possède (Ec).
On voit que l’énergie potentielle est définie à une constante
additive près, fixée par le choix de la position de référence.
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Énergie cinétique
Exprimons en fonction de sa vitesse le travail fourni à un
corps :

t 
 

dr 
W   F r   dr    F t  
dt 

dt 
r
t

r
0
0
 

2 t
 1  dr   
d r  dr 
 m 2 
dt   m  
 
dt  dt 
 2  dt   
t
t
2
t0
0

m 2
 V  V02
2

28
Énergie cinétique
En particulier, le travail nécessaire pour communiquer une
vitesse V à une masse m initialement au repos est donné par
mV 2
Ec 
2
c’est également le travail que cette masse fournira si elle
passe d’une vitesse V à une vitesse nulle.
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Énergie potentielle
Lorsqu’un corps est soumis à une force extérieure fonction
de sa position (pesanteur, traction d’un ressort…) le travail
qu’il pourra fournir suite à l’application de cette force est
appelé énergie potentielle.
Ce travail dépend uniquement des positions initiale et finale,
il ne change pas quel que soit le chemin parcouru pour aller
d’un lieu à un autre.
En particulier, la variation d’énergie potentielle pour aller de
A vers B est l’opposé de celle correspondant au déplacement
de B vers A.
30
Énergie - cohérence
Un corps lâché sans vitesse initiale d’une hauteur hi peut
fournir en atteignant le sol (à un niveau hf) un travail égal à
• l’énergie potentielle perdue au cours de la chute, car il a
changé de position,
• l’énergie cinétique gagnée au cours de la chute, car il a
acquis une certaine vitesse.
Nous allons montrer que les valeurs obtenues sont
indépendantes de l’approche envisagée.
Prenons une hauteur quelconque comme niveau de référence
(h = 0) et orientons l’axe vertical positivement vers le haut.
31
Énergie - cohérence
La force à considérer est le poids du corps, mg, où g
représente l’accélération de la pesanteur, supposée constante
au voisinage de la surface terrestre. On trouve :
 E p hi   W hi  0   mghi

 E p h f   W h f  0   mgh f
E p  E p h f   E p hi   mg h f  hi 
Cette variation est négative (puisque hf < hi). Le corps a
perdu de l’énergie potentielle.
32
Énergie - cohérence
Pour déterminer la variation d’énergie cinétique, il faut
résoudre l’équation du mouvement :
d 2h
m 2  mg
dt
On trouve, compte tenu des conditions initiales :
dh
V
  gt
dt
gt 2
h  hi 
2
33
Énergie - cohérence
On résout ces équation pour déterminer la vitesse à l’arrivée
au sol (h = hf) et, partant, la variation d’énergie cinétique :
V f   2 g hi  h f 
Ec hi   0


2
mV

f


 Ec h f  2  mg hi  h f 
Ec  Ec h f   Ec hi   mg hi  h f 
34
Énergie - cohérence
On arrive bien au même résultat pour le travail que le corps
peut fournir à l’arrivée ; peu importe qu’il soit exprimé en
tant qu’énergie cinétique accumulée (Ec) ou en tant
qu’énergie potentielle perdue (-Ep) au cours de la chute.
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Énergie - conservation
On voit que les variations d’énergie cinétique et d’énergie
potentielle sont égales en grandeur et de signes opposés. Si
on définit l’énergie mécanique totale, E, comme étant leur
somme, sa variation est donc nulle :
E  E p  Ec   E p  Ec  0
Les forces jouissant de cette propriété sont dites
conservatives. Dans le cas contraire (p.ex. forces de
frottement), on parlera de forces dissipatives.
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Forces conservatives
Dans le cas d’un mouvement à une dimension, une force
conservative satisfait à la relation :
F 
dE p
dx
cas particulier de :

 E p E p E p 

F  
,
,
 x y z 
Elle tend à déplacer le corps auquel elle s’applique en faisant
décroître son potentiel.
37
Conservation - exemple
La force appliquée à un oscillateur harmonique est donnée
par :
d k
2
F  k r  r0     r  r0  
dr  2

d’où
k
2
E p  r  r0 
2
38
Conservation - exemple
À partir de la solution de l’équation de mouvement,
 k 
 k 
r  r0   cos
t    sin 
t 
 m 
 m 
on trouve
 k 
 k 
k
E p   cos
t    sin 
t 
2 
 m 
 m 
2
39
Conservation - exemple
 k 
 k 
m
k
k
Ec    
sin 
t   
cos
t 
2 
m  m 
m
 m 
 k 
 k 
k
   sin 
t    cos
t 
2 
 m 
 m 

k 2
E p  Ec     2
2
2
2

40