Chapitre II Nombres complexes et trigonométrie Table des mati`eres

L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
TB2 − 2011-2012
Mathématiques
Chapitre II
Nombres complexes et trigonométrie
Table des matières
1 Nombres complexes et forme algébrique
2
2 Représentation graphique d’un nombre complexe
3
3 Conjugaison complexe
5
4 Module d’un nombre complexe
6
5 Rappels de trigonométrie
5.1 Enroulement de la droite réelle autour du cercle unité
5.2 Définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel . .
5.3 Valeurs remarquables de cosinus et de sinus . . . . . .
5.4 Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Les nombres complexes de la forme eiθ , avec θ ∈ R
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7
7
7
7
8
9
7 Les formules d’Euler
10
8 Les formules de de Moivre
10
9 Nombres complexes de module 1
10
10 Formes trigonométriques et arguments d’un nombre complexe non nul
11
11 Synthèse sur trois aspects des nombres complexes
13
12 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels
13
13 Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré à coefficients réels
14
14 Équations trigonométriques
15
14.1 Cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14.2 Étude de l’équation a cos(x) + b sin(x) = c, avec a, b ∈ R∗ et c ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
1
Nombres complexes et forme algébrique
Théorème 1 (existence et caractérisation de l’ensemble des nombres complexes) : Il existe un
unique ensemble muni d’une addition et d’une multiplication, appelé ensemble des nombres complexes, noté C,
vérifiant :
1. C contient R ;
2. l’addition et la multiplication dans C prolongent celles de R et suivent les mêmes règles de calcul ;
3. il existe un élément i de C vérifiant i2 = −1 ;
4. tout élément z de C s’écrit de manière unique sous la forme :
z = a + ib, avec a et b réels
appelée forme algébrique de z.
Remarques
1. Soit a ∈ R. Alors, d’après le 1. du théorème 1, on a : a ∈ C. Sa forme algébrique est :
a + i0
que l’on note simplement a.
2. La forme algébrique du nombre complexe i est :
0 + i1
que l’on note simplement i.
Exemple 1 : Les nombres −1 + i,
√
3
1 7
+ i et 2 − i sont des nombres complexes.
3 5
7
Définition (partie réelle, partie imaginaire, module d’un nombre complexe) : Soit z ∈ C. Alors
d’après la propriété 4 du théorème 1, il existe un unique couple (a, b) ∈ R2 tel que : z = a + ib. On dit que :
1. a est la partie réelle de z et est notée Re(z) ;
2. b est la partie imaginaire de z et est notée Im(z) ;
Remarques
1. La partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont des nombres réels.
2. On peut reformuler la propriété 4 du théorème 1 comme suit. Pour tout z1 , z2 ∈ C, on a :

Re(z1 ) = Re(z2 )

et
z1 = z2 ⇐⇒
.

Im(z1 ) = Im(z2 )
On peut ainsi ramener une égalité entre nombres complexes à deux égalités entre nombres réels ; ceci peut
s’avérer très utile dans la résolution de certaines équations mettant en jeu des nombres complexes (cf.
exercices 5 et 6).
⋄ Exercice 1
1. Simplifier l’écriture de : i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 , i8 , i9 .
2. (a) Soient z1 et z2 les nombres complexes définis par :
z1 = 2 − i
;
z2 = 1 + 3i.
Déterminer la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants.
a) z1 + z2
b) z1 − z2
c) z12
d) z22
e) z1 z2
f) (z1 + z2 )2
g) z12 + 2z1 z2 + z2
h) (z1 − z2 )2
i) z12 − 2z1 z2 + z22
j) z12 − z22
k) (z1 − z2 )(z1 + z2 )
2
(b) Qu’observe-t-on ?
Propriété (caractérisation des nombres réels) : Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie
imaginaire est nulle, i.e. :
∀z ∈ C
z ∈ R ⇐⇒ Im(z) = 0.
Définition (imaginaire pur) : Un nombre complexe est appelé imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
√
2
Exemple 2 : Les nombres 2i, − i et i 7 sont des imaginaires purs.
9
⋄ Exercice 2 : Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a :

z∈R

ou
z 2 ∈ R ⇐⇒
.

z est imaginaire pur
Théorème 2 (inversibilité et inverse d’un nombre complexe non nul) : Soit z un nombre complexe
non nul.
1
1. Il existe un unique nombre complexe z ′ , appelé inverse de z, noté z −1 ou , tel que :
z
zz ′ = z ′ z = 1.
2. Si z = a + ib (a, b ∈ R) est la forme algébrique de z, alors la forme algébrique de
1
est donnée par :
z
b
a
1
−i 2
.
= 2
z
a + b2
a + b2
Notation : Si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors on note :
z1
z2
le nombre complexe z1 z2−1 = z1
1
.
z2
⋄ Exercice 3 : Soient z1 et z2 les nombres complexes définis par :
z1 =
1
2 − 3i
;
z2 =
3 − 4i
.
1+i
Déterminer la forme algébrique de z1 et de z2 .
2
Représentation graphique d’un nombre complexe
−
→ −
→
Pour toute la suite de ce texte, on fixe un repère orthonormé (O; i , j ) du plan.
Définition (point du plan associé à un nombre complexe) : Soit z ∈ R. On note z = a + ib (a, b ∈ R) sa
forme algébrique. On définit le point M (z) du plan comme étant le point du plan de coordonnées (a, b) dans le
−
→ −
→
repère (O; i , j ). Le point M (z) est appelé point du plan associé à z.
Exemple 3 : Ci-dessous, est représenté le point M (3 + 2i) associé au nombre complexe 3 + 2i.
3
3
2
M
b
1
1
−1
2
3
4
5
−1
⋄ Exercice 4 : Représenter graphiquement les points suivants.
a) M (0)
b) M (1)
c) M (−3)
d) M (i)
e) M (−2i)
f) M (5 + 2i)
g) M (5 − 2i)
h) M (−5 + 2i)
Définition (affixe d’un point du plan) : Soit M un point du plan, de coordonnées (a, b) dans le repère
−
→ −
→
(O; i , j ). On appelle affixe de M , et on note zM , le nombre complexe a + ib.
Exemple 4 : On considère les trois points M1 , M2 et M3 du graphique suivant.
6
5
b
M3
4
3
M1
b
2
1
−2
1
−1
2
3
b
−1
4
5
6
M2
L’affixe de M1 est zM1 = −1 + 2i, celle du point M2 est zM2 = 3 − i et celle du point M3 est zM3 = 4 + 5i.
Propriété (C est en bijection avec les points du plan) : L’application :
z 7→ M (z)
de C vers l’ensemble des points du plan est bijective. Sa bijection réciproque, qui va de l’ensemble des points
du plan vers C, est donnée par :
M 7→ zM .
Remarques
1. Cette correspondance biunivoque entre C et l’ensemble des points du plan nous permettra de ≪ visualiser ≫
non seulement C lui-même, mais aussi plusieurs notions introduites ci-après. Elle ne sera utilisée, ici, que
comme un moyen de rendre concrets des concepts, qui, sans l’illustration géométrique, seraient peut-être
moins évidents à saisir.
2. On souligne que ce lien ténu entre C et l’ensemble des points du plan fournit un outil puissant pour
démontrer des résultats en géométrie, par exemple, via des calculs sur les nombres complexes. Cet aspect
des nombres complexes n’est pas au programme de TB.
4
⋄ Exercice 5 : Montrer que l’ensemble E des points M du plan d’affixe z vérifiant :
z 2 est imaginaire pur
est la réunion de deux droites du plan. On donnera une équation cartésienne de chacune de ces droites et on les
représentera graphiquement.
3
Conjugaison complexe
Définition (conjugué d’un nombre complexe) : Soit z un nombre complexe, de forme algébrique z = a + ib
(a, b ∈ R). On définit le conjugué de z, noté z, par :
z = a − ib.
Exemple 5 : Le conjugué de z1 = −2 + 3i est z1 = −2 − 3i, celui de z2 = 1 − i est z2 = 1 + i.
⋄ Exercice 6 : Résoudre l’équation :
(E)
:
iz − 2z = −1 + i
d’inconnue z ∈ C.
Théorème 3 (caractérisation des réels et des imaginaires purs) : Soit z ∈ C. On a les deux équivalences
suivantes.
1. z ∈ R si et seulement si z = z.
2. z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.
⋄ Démonstration
Propriété (représentation graphique du conjugué d’un nombre complexe) : Soit z ∈ C. Alors le point
du plan M (z) associé à z est le symétrique du point du plan M (z) associé à z par rapport à l’axe des abscisses
(Ox).
b
b
M (z)
M (z)
Remarque : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs conjugués sont égaux.
Théorème 4 (propriétés algébriques de la conjugaison complexe)
z1 + z2 = z1 + z2
1. ∀ z1 , z2 ∈ C
z1 − z2 = z1 − z2
2. ∀ z1 , z2 ∈ C
z1 z2 = z1 z2
3. ∀ z1 , z2 ∈ C
1
1
∗
4. ∀ z ∈ C = C \ {0}
=
z
z
z
z1
1
=
5. ∀ z1 ∈ C
∀ z 2 ∈ C∗
z2
z2
⋄ Démonstration
⋄ Exercice 7 : Soit n ∈ N∗ . Montrer que le nombre complexe Z défini par :
Z = (3 + 4i)n + (3 − 4i)n
est réel.
5
4
Module d’un nombre complexe
Définition (module d’un nombre complexe) : Soit z un nombre complexe, de forme algébrique z = a + ib
(a, b ∈ R). On définit le module de z, noté |z|, par :
p
|z| = a2 + b2 .
Remarque : Le module d’un nombre complexe est un nombre réel positif ou nul.
Exemple 6 : Le module de z = 1 − 2i est |z| =
p
√
12 + (−2)2 = 5.
Propriété (interprétation géométrique du module d’un nombre complexe) :
1. Soit z ∈ C. Alors le module de |z| est égal à la distance OM (z) de l’origine O au point du plan M (z)
associé à z.
2. Soient z1 , z2 ∈ C. Alors |z1 − z2 | est égal à la longueur M (z1 )M (z2 ).
5
M (z2 )
b
|z1 − z2 | = M (z1 )M (z2 )
4
M (z)
3
b
b
M (z1 )
2
|z| = OM (z)
1
b
−5
−4
−3
−2
O
−1
1
2
3
4
5
6
−1
⋄ Exercice 8 : Calculer |1|, |i|, |1 + i| et | −
√
2 + 2i|.
⋄ Exercice 9 : Montrer que l’ensemble C des points M du plan d’affixe z vérifiant :
|z − 1 + 2i| = 50
est un cercle. On donnera une équation cartésienne de ce cercle et on le représentera graphiquement.
Théorème 5 (propriétés du module)
1. ∀ z ∈ C
2. ∀ z1 , z2 ∈ C
3. ∀ z ∈ C∗
4. ∀ z1 ∈ C
5. ∀ z1 , z2 ∈ C
zz = |z|2
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |
1
= 1
z |z|
z1 |z1 |
=
∀ z 2 ∈ C∗
z2 |z2 |
| |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
(inégalité triangulaire)
⋄ Démonstration
⋄ Exercice 10 : Soient z1 et z2 les nombres complexes définis par :
z1 = 3 − 4i
;
1. Calculer |z1 | et |z2 |.
z1 2. Calculer |z1 + z2 |, |z1 z2 | et .
z2
∗
n
3. Soit n ∈ N . Calculer |z1 | .
6
i
z2 = 2 + .
2
5
5.1
Rappels de trigonométrie
Enroulement de la droite réelle autour du cercle unité
−
→ −
→
Soient (O; i , j ) un repère orthonormé du plan.
On note :
−→ −
→
• I le point du plan tel que OI = i ;
′
• I le symétrique de I par rapport à O ;
−→ −
→
• J le point du plan tel que OJ = j ;
• J ′ le symétrique de J par rapport à O.
J
b
b
I
I′
x
×
1
b
O
Comme le périmètre du cercle C (de rayon 1) vaut 2π, par
cet enroulement, le réel
• 0 est envoyé sur I, donc m(0) = I ;
• π2 est envoyé sur J, donc m( π2 ) = J ;
• − π2 est envoyé sur J ′ , donc m(− π2 ) = J ′ ;
• π est envoyé sur I ′ , donc m(π) = I ′ ;
• 2π est envoyé sur I, donc m(2π) = I.
×
0
b
b
On enroule cette droite autour du cercle C. Ainsi, à chaque
nombre réel x de la droite correspond un point de C, noté
m(x).
J′
×
b
−1
R
Définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel
On conserve les notations introduites dans la section
précédente.
Définition (cosinus et sinus d’un réel) : Soit x ∈ R.
• Le cosinus de x, noté cos(x), est l’abscisse du point m(x).
• Le sinus de x, noté sin(x), est l’ordonnée du point m(x).
J
m(x)
b
C
b
sin(x)
b
Remarque : On a vu dans le cours de géométrie dans le
plan qu’il existe un lien ténu entre le cosinus et le produit
scalaire de R2 .
I′
Exemple 7
• De m(0) = I, on déduit cos(0) = 1 et sin(0) = 0.
• De m( π2 ) = J, on déduit cos( π2 ) = 0 et sin( π2 ) = 1.
• De m(π) = I ′ , on déduit : cos(π) = −1 et sin(π) = 0.
⋄ Exercice 11 : Appliquer le théorème de Pythagore à des
triangles ≪ bien choisis ≫, pour répondre aux questions suivantes.
1. Déterminer cos( π4 ) et sin( π4 ).
2. Déterminer cos( π3 ) et sin( π3 ).
5.3
×
C
Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. La tangente
au cercle C en I, graduée comme il est indiqué ci-contre,
représente l’ensemble R des nombres réels.
5.2
m(x)
I
b
b
b
O
cos(x)
J′
b
×
x
×
1
×
0
b
×
−1
R
Valeurs remarquables de cosinus et de sinus
La table des valeurs de cosinus et sinus suivante, est à connaı̂tre par coeur, ou (mieux) à savoir retrouver à
l’aide du cercle trigonométrique.
7
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
cos(x)
sin(x)
5.4
Formules de trigonométrie
Propriétés (élémentaires du cosinus et du sinus)
1. Pour tout θ ∈ R :
−1 ≤ cos(θ) ≤ 1
et
− 1 ≤ sin(θ) ≤ 1.
cos(θ + 2kπ) = cos(θ)
et
sin(θ + 2kπ) = sin(θ).
2. Pour tout θ ∈ R, k ∈ Z :
3. Pour tout θ ∈ R :
cos(−θ) = cos(θ)
4. Pour tout θ ∈ R :
et
sin(−θ) = − sin(θ).
cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1.
Éléments de preuve : Ces propriétés se déduisent directement de la définition géométrique du cosinus et du
sinus. La dernière est une conséquence du théorème de Pythagore.
Propriété (transformation d’un cosinus en sinus et réciproquement) : Soit x ∈ R.
π
− x = sin(x)
1. cos
π2
− x = cos(x)
2. sin
2
Éléments de preuve : On peut démontrer ces deux propriétés en utilisant :
• la définition géométrique du cosinus et du sinus ;
• la symétrie par rapport à la première bissectrice qui échange abscisse et ordonnée.
Théorème 6 (formules d’addition) : Soient a, b ∈ R.
1. cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
2. cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
3. sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
4. sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
Idée de preuve : On peut démontrer la formule 2. en utilisant le lien entre cosinus et produit scalaire. On en
déduit alors les 3 autres, grâce aux propriétés élémentaires du cosinus et du sinus, et aux transformations de
cosinus en sinus et réciproquement.
Propriété (formules de duplication) : Soit x ∈ R.
1. cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
2. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Preuve : Les formules de duplication se déduisent des formules d’addition (en posant a = b = x dans la formule
ad hoc).
8
Remarque : Un des intérêts de ces formules de duplication est qu’elles permettent de calculer des primitives
de cos2 et donc de sin2 sur R (cf. exercice ci-dessous).
⋄ Exercice 12
1. (a) Exprimer cos2 (x) en fonction de cos(2x) pour tout x ∈ R.
(b) En déduire une primitive de la fonction cos2 sur R.
2. Donner une primitive de la fonction sin2 sur R.
6
Les nombres complexes de la forme eiθ , avec θ ∈ R
Définition (eiθ , avec θ ∈ R) : Soit θ ∈ R. On définit le nombre complexe eiθ par :
eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Propriété (interprétation géométrique de eiθ , avec θ ∈ R) : Soit θ ∈ R. Alors le point du plan M (eiθ )
→ −−−−−−→
−
associé à eiθ est le point du cercle trigonométrique qui est tel que θ est une mesure de l’angle ( i , OM (eiθ )).
C’est aussi le point m(θ) associé à θ par l’enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique.
1
b
M (eiθ ) = m(θ)
−
→
j
θ
→
−
i
b
−1
O
1
2
−1
⋄ Exercice 13 : Calculer les formes algébriques de ei0 , eiπ , ei 2 et ei 3 et placer les points d’affixes correspondantes
sur le cercle trigonométrique.
π
π
Théorème 7 (propriétés des nombres eiθ , avec θ ∈ R)
1. Pour tout θ ∈ R :
Re(eiθ ) = cos(θ)
2. Pour tout θ ∈ R :
|eiθ | = 1.
3. Pour tout θ ∈ R :
1
= e−iθ .
eiθ
4. Pour tout θ ∈ R :
5. Pour tout θ1 , θ2 ∈ R :
Im(eiθ ) = sin(θ).
et
eiθ = e−iθ .
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 eiθ2 .
⋄ Démonstration
⋄ Exercice 14 : Résoudre l’équation :
ei 3 z = ei 6
π
π
d’inconnue z ∈ C.
9
7
Les formules d’Euler
Théorème 8 (formules d’Euler) : Soit θ ∈ R. On a ;
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
et
sin(θ) =
eiθ − e−iθ
.
2i
⋄ Démonstration
⋄ Exemple 8
1. (a) Soit x ∈ R. Linéariser cos3 (x), i.e. écrire cos3 (x) comme une somme de termes du type : a cos(kx) et
b sin(kx) (a, b ∈ Q, k ∈ N).
(b) En déduire une primitive de cos3 sur R.
2. (a) Soit x ∈ R. Linéariser sin3 (x).
(b) En déduire une primitive de sin3 sur R.
♥ Remarque : Plus généralement, les formules d’Euler permettent de linéariser les puissances de cosinus et de
sinus, i.e. d’écrire cosn (x) et sinn (x) (x ∈ R, n ∈ N) sous la forme d’une somme de termes du type : a cos(kx)
et b sin(kx) (a, b ∈ Q, k ∈ N). Ceci est d’un grand intérêt dans la recherche de primitives de puissances de cos
ou de puissances de sin sur R.
8
Les formules de de Moivre
Théorème 9 (formules de de Moivre) : Soit θ ∈ R, n ∈ N. On a ;
cos(nθ) = Re ((cos(θ) + i sin(θ))n )
et
sin(nθ) = Im ((cos(θ) + i sin(θ))n ) .
⋄ Démonstration
⋄ Exemple 9
1. (a) Soit x ∈ R. Exprimer cos(4x) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x), i.e. comme une somme de
termes du type : a cosk (x) et b sink (x) (a, b ∈ Q, k ∈ N).
2. (a) Soit x ∈ R. Exprimer sin(4x) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x).
Remarque : Plus généralement, les formules de de Moivre permettent d’écrire cos(nx) et sin(nx) (x ∈ R,
n ∈ N) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x).
9
Nombres complexes de module 1
On admet le théorème suivant qui joue un rôle crucial dans la suite. Il permettra de définir une autre forme que
la forme algébrique pour un nombre complexe (non nul) : la forme trigonométrique.
Théorème 10 (revêtement du cercle par la droite) : Soit z un nombre complexe de module 1.
1. Existence
Il existe un réel θ tel que z = eiθ .
2. Unicité à un multiple entier de 2π près
Si θ1 et θ2 sont deux nombres réels tels que z = eiθ1 et z = eiθ2 , alors θ1 et θ2 diffèrent d’un multiple
entier de 2π, i.e. : il existe k ∈ Z tel que θ2 = θ1 + 2kπ.
10
Éclairage géométrique sur le théorème 10
1. Existence : Soit z un nombre complexe de module 1 et soit z = √
a + ib (a, b ∈ R) sa forme algébrique.
Alors le point M (a, b) est sur le cercle trigonométrique (car OM = a2 + b2 = 1). Si θ est une mesure de
→ −−→
−
l’angle ( i , OM ), alors on a a = cos(θ) et b = sin(θ) et par suite :
z = a + ib = cos(θ) + i sin(θ) = eiθ .
1
b
b
M (a, b) = m(θ)
−
→
j
b
−1
O
θ
→a
−
i
1
2
−1
2. Unicité à un multiple de 2π près : Soit z un nombre complexe de module 1 et soient θ1 et θ2 deux
nombres réels tels que : z = eiθ1 et z = eiθ2 .
• Alors les points M (eiθ1 ) et M (eiθ2 ) du cercle trigonométrique sont confondus.
• Mais M (eiθ1 ), qui est par définition le point du plan d’affixe eiθ1 , est également le point m(θ1 ) du cercle
trigonométrique associé au réel θ1 par l’enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique.
• De même M (eiθ2 ) est le point m(θ2 ) du cercle trigonométrique associé au réel θ2 par l’enroulement de
la droite réelle autour du cercle trigonométrique.
• Des trois points précédents, on déduit que les réels θ1 et θ2 diffèrent d’un certain nombre de fois
la circonférence du cercle trigonométrique. Enfin, le cercle trigonométrique est de rayon 1, donc de
circonférence 2π.
4
3
4
3
Exemple 10 : Le nombre complexe + i est de module 1. Il existe donc θ ∈ R tel que + i = eiθ , d’après
5
5
5
5
le théorème 10. On verra, dans un prochain chapitre, comment l’on peut donner une valeur approchée d’un θ
3
4
vérifiant + i = eiθ .
5
5
Remarque : Le théorème 10 nous donne un résultat d’existence et d’unicité, modulo un multiple entier de 2π.
En pratique, on rencontrera souvent des nombres a et b vérifiant a2 + b2 = 1 qui sont des valeurs remarquables
de cosinus et de sinus. On pourra alors, dans ces situations concrètes, donner un θ explicite.
10
Formes trigonométriques et arguments d’un nombre complexe
non nul
Théorème/Définition 11 (formes trigonométriques d’un nombre complexe non nul) : Soit z ∈ C∗ .
Alors il existe r ∈]0, +∞[ et θ ∈ R tels que :
z = reiθ .
1. On dit que reiθ est une forme trigonométrique 1 du nombre complexe z.
2. On a r = |z|, i.e. r est égal au module de z.
⋄ Démonstration
Remarque : Soit z ∈ C∗ . Alors si z = reiθ (r ∈]0, +∞[ et θ ∈ R), alors r est unique (c’est le module de z),
mais θ ne l’est pas. En effet, on a aussi :
. . . = rei(θ−4π) = rei(θ−2π) = z = rei(θ+2π) = rei(θ+4π) = . . .
Plus généralement, on a z = rei(θ+2kπ) , avec k ∈ Z et ce sont les seules formes trigonométriques de z, comme
nous l’assure le théorème suivant.
1. Il existe d’autres terminologies. Ici, on utilise celle de forme trigonométrique, mais on peut aussi rencontrer celles de forme
exponentielle et de forme polaire.
11
Théorème/Définition 12 (arguments d’un nombre complexe non nul) : Soit z ∈ C∗ .
1. Soient reiθ1 et reiθ2 deux formes trigonométriques de z (r ∈]0, +∞[ et θ1 , θ2 ∈ R). Alors θ1 et θ2 diffèrent
d’un multiple entier de 2π, i.e. il existe k ∈ Z tel que θ2 = θ1 + 2kπ.
2. Soit reiθ (r ∈]0, +∞[ et θ ∈ R) une forme trigonométrique de z. On dit que θ est un argument de z et on
le note arg(z). Comme θ n’est défini qu’à un multiple entier de 2π près, on écrit :
arg(z) = θ + 2kπ, avec k ∈ Z.
⋄ Démonstration
Propriété (interprétation géométrique d’un argument d’un nombre complexe non nul) : Soit z ∈ C∗ .
→ −−−−→
−
Alors arg(z) est une mesure de l’angle ( i , OM (z)). Si l’on confond un angle et sa mesure, on a donc : i.e. :
−
→ −−−−→
arg(z) = ( i , OM (z)) + 2kπ, avec k ∈ Z.
5
M (z)
b
4
3
r = |z|
2
1
−
→
j
arg(z)
b
O
−1
−
→
i
1
2
3
−1
Méthode pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique : Soit z = a + ib un
nombre complexe donné sous forme algébrique (a, b ∈ R). Pour calculer une forme trigonométrique de z, on
peut procéder comme suit.
√
1. On calcule le module de z. Pour mémoire, on a |z| = a2 + b2 . On connaı̂t donc déjà r = |z|.
2. On calcule un argument de z, en résolvant le système d’équations trigonométriques :

a

cos(θ) =


r


(S) :
b


sin(θ) =


r

d’inconnue θ ∈ R, en utilisant, dans les cas
≪
concrets ≫, les valeurs remarquables de cosinus et sinus.
3. On conclut : une forme trigonométrique de z est reiθ , avec r = |z| et θ solution de (S).
⋄ Exemple 11 : Soient les nombres complexes :
z1 = 3
;
z2 = −2
;
z3 = i
;
z4 = −3i
Donner une forme trigonométrique de z1 , z2 , z3 , z4 , z5 et (z5 )2 .
Théorème 13 (propriétés des arguments) :
1. ∀ z ∈ C∗
arg (z) = − arg(z) + 2kπ, avec k ∈ Z
2. ∀ z1 , z2 ∈ C∗
3. ∀ z ∈ C∗
4. ∀ z1 , z2 ∈ C∗
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, avec k ∈ Z
1
= − arg(z) + 2kπ, avec k ∈ Z
arg
z
z1
arg
= arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, avec k ∈ Z
z2
12
;
z5 = 2 + 2i.
⋄ Démonstration
⋄ Exercice 15 : Soient les nombres complexes :
√
z1 = 4 − 4i 3
z2 = −1 + i.
;
1. Déterminer une forme trigonométrique de z1 et de z2 .
z1
1
2. En déduire une forme trigonométrique de z1 , , z1 z2 et .
z2
z2
11
Synthèse sur trois aspects des nombres complexes
On a vu trois aspects des nombres complexes :
• la forme algébrique ;
• l’interprétation géométrique ;
• les formes trigonométriques.
Le diagramme ci-dessous résume les liens féconds qui existent entre ces trois aspects.
Interprétation géométrique
Forme algébrique : z = a + ib, avec a et b réels
Point M d’affixe z 6= 0
b
b
M
a est l’abscisse de M
b est l’ordonnée de M
r=
r

a
a
=

cos(θ) = 2


a + b2
r
θ
−
→
j
b
−
→
i


 sin(θ) =
a
r = OM
→ −−→
−
θ = ( i ; OM ) [2π]
12
a2 + b 2
θ est solution dans R de
a = r cos(θ)
b = r sin(θ)
O
√
b
b
=
a2 + b 2
r
Forme trigonométrique : z = reiθ ,
avec r dans ]0, +∞[ et θ dans R
Résolution dans C des équations du second degré à coefficients
réels
Théorème 14 (solution(s) dans C de ax2 + bx + c = 0, avec a ∈ R∗ , b, c ∈ R) : Soit un trinôme du second
degré à coefficients réels ax2 + bx + c (avec a, b, c ∈ R et a 6= 0 donc), et soit ∆ = b2 − 4ac son discriminant.
1. Si ∆ = 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution : −
b
.
2a
√
√
−b − ∆
−b + ∆
2. Si ∆ > 0, alors l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions réelles :
et
.
2a
2a
2
√
−b − i −∆
et
3. Si ∆ < 0, alors l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions complexes conjuguées :
2a
√
−b + i −∆
.
2a
2
13
Éléments de démonstration : On commence par mettre le trinôme du second degré sous forme canonique :
!
!
!
2 2
2
2
b
b
b
c
b2 − 4ac
∆
b
2
=a
x+
ax + bx + c = a
x+
=a
x+
−
+
−
− 2 .
2a
2a
a
2a
4a2
2a
4a
Ensuite, on cherche à écrire ∆, qui est réel, comme un carré dans C.
√ 2
√
∆ = ∆.
• Si ∆ est positif, alors ∆ est bien défini et on a :
2
√
√
• Si ∆ est négatif, alors −∆ est positif et −∆ est bien défini. On vérifie que : i −∆ = ∆.
On applique alors la troisième identité remarquable :
A2 − B 2 = (A − B)(A + B)
avec A = x +
b
et
2a
 √
∆


si ∆ ≥ 0



2a

√
B=
i −∆



si ∆ < 0


 2a
pour obtenir le résultat. La rédaction de la fin de la preuve est laissée en exercice.
⋄ Exercice 16 : Résoudre dans C l’équation :
(E) : x2 + x + 1 = 0
et donner une forme trigonométrique de chacune des solutions.
13
Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré à
coefficients réels
Théorème 15 (somme et produit des racines d’un trinôme du second degré à coefficients réels) :
Soit ax2 + bx + c un trinôme du second degré à coefficients réels. Alors :
x1 et x2 sont solutions de ax2 + bx + c = 0
⇐⇒
x1 + x2 = −
c
b
et x1 x2 = .
a
a
⋄ Démonstration
Application typique n˚1 : Connaissant une racine de ax2 + bx + c = 0 (par exemple une
en déduit l’autre, à l’aide de c et a.
≪
évidente ≫), on
45
Par exemple, on remarque que 1 est solution de 2x2 + 43x − 45 = 0. Comme le produit des racines vaut −
2
45
est l’autre racine.
(cf. théorème 15), on en déduit, sans calcul, que −
2
Application typique n˚2 : Résolution de systèmes du type
sont des réels donnés.
x1 + x2 = S
x1 x2 = P
d’inconnue (x1 , x2 ), où S et P
x1 + x2 = S
si et seulement si x1 et x2 sont racines de
x1 x2 = P
x2 − Sx + P . On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que l’on sait
faire (cf. théorème 14).
D’après le théorème 15, x1 et x2 sont solutions de
Étudions par exemple le système (S) :
x1 + x2 = 15
.
x1 x2 = 26
14
On a :
x1 + x2 = 15
x1 x2 = 26
⇐⇒ x1 et x2 solutions de x2 − 15x + 26 = 0
⇐⇒ (x1 = 2 et x2 = 13) ou (x1 = 13 et x2 = 2).
14
14.1
Équations trigonométriques
Cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus
Théorème 16 (cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus) : Soient x et a deux nombres réels.

x = a + 2kπ, avec k ∈ Z

ou
• cos(x) = cos(a) ⇐⇒

x = −a + 2kπ, avec k ∈ Z
• sin(x) = sin(a)
⇐⇒



ou
x = a + 2kπ, avec k ∈ Z
x = π − a + 2kπ, avec k ∈ Z
Remarque : Ces résultats peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.
⋄ Exercice 17
1. Résoudre l’équation
√
3
(E1 ) : sin(3x) = −
2
d’inconnue x ∈] − π, π].
2. Résoudre l’équation
(E2 ) : cos2 (x) − sin2 (x) =
1
2
d’inconnue x ∈ R.
14.2
Étude de l’équation a cos(x) + b sin(x) = c, avec a, b ∈ R∗ et c ∈ R
Soit a, b, c ∈ R, avec a, b ∈ R∗ et c ∈ R.
Une méthode de résolution de l’équation a cos(x) + b sin(x) = c d’inconnue x ∈ R
1. On introduit le nombre complexe z = a + ib.
2. On calcule une forme trigonométrique du nombre complexe
(∗)
z = a + ib
donné sous forme algébrique. En suivant la méthode exposée page 12, on écrit z sous la forme
z = reiθ
(∗∗)
avec r ∈]0, +∞[ et θ ∈ R. De reiθ = r(cos(θ) + i sin(θ)), (∗) et (∗∗), on déduit :
a = r cos(θ)
et
b = r sin(θ).
3. On injecte ces expressions de a et b en fonction de r et θ dans l’équation initiale et on applique une formule
d’addition (cf. théorème 6).
a cos(x) + b sin(x) = c
⇐⇒ r cos(θ) cos(x) + r sin(θ) sin(x) = c
c
⇐⇒ cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) =
(division par r 6= 0 de chacun des membres)
r
c
(cf. formule d’addition)
⇐⇒ cos(x − θ) =
r
c
est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est alors ramené à un cas d’égalité de
r
deux cosinus, que l’on sait traiter (cf. théorème 16).
En pratique,
15
⋄ Exercice 18
Résoudre l’équation
(E) :
√
√
√
6 cos(x) + 2 sin(x) = 2
d’inconnue x ∈ R.
16