Inductance propre

Force magnétomotrice d’entrefer
Inductance propre de l’enroulement d’une phase
L’enroulement d’une phase statorique d’une machine bipolaire à courant alternatif comporte
deux bobines identiques, elles-mêmes divisées en deux sections identiques S1 et S 2 connectées en
série et comportant chacune n spires. La figure 1 montre un développement plan de l’enroulement;
on note :
L, longueur développée;
", longueur utile d’un conducteur dans une encoche;
e, épaisseur d’entrefer;
µ o , perméabilité magnétique du vide.
S2
S1
A
axe de la phase
x
L/6
L/8
O
−L/6
−L/8
B
−L/3
−3L/8
−2L/3
−5L/8
FIG. 1 Développement plan de l’enroulement d’une phase
QUESTION 1
L’enroulement est alimenté par un courant continu I circulant de A vers B, dans le sens indiqué
sur la figure 1.
1.1 Faire apparaître les courants d’encoche (en indiquant la position angulaire) et les lignes du
champ magnétique sur la coupe transversale de la machine (voir document-réponse)
1.2 Définir la force magnétomotrice d’entrefer et énoncer la propriété qui permet d’en faire l’étude
le long de l’entrefer.
1.3 Tracer le graphe de répartition de la force magnétomotrice d’entrefer ε ( x ) , en déduire celui de
l’induction B(x) (voir document-réponse).
1.4 La bobine est le siège d’un flux d’induction propre φp ; établir l’expression de ce flux totalisé et
en déduire la formule permettant le calcul de l’inductance propre L p .
QUESTION 2
Le rotor est en fait une roue polaire créatrice dans l’entrefer d’une induction à répartition
sinusoïdale d’expression :
b( x , t ) = B cos(ωt − ( 2πx / L ))
lorsque la vitesse ω est constante.
2.1 Déterminer l’expression instantanée des flux d’induction totalisés φS1 et φS 2 respectivement
dans les sections S1 et S2.
2.2 Les sections S1 et S2 sont le siège des f.e.m. respectives e1 et e2 ; établir leurs expressions, puis
celle de la f.e.m. e induite dans la phase AB, mise sous la forme E 2 sin(ω t + ψ ) .
DOCUMENT RÉPONSE
ε(x)
B(x)=
ε(x)
−L/4
x L/4
0
S1
−L/2
S2
−3L/4
Corrigé succinct
QUESTION 1
1.1 Distribution des courants d’encoche / lignes du champ magnétique.
π/3
π/4
1.2 Force magnétomotrice d’entrefer (f.m.m.) :
∫
& &
H . dl = H . e ,
entrefer
&
(l’orientation de dl va du rotor au stator)
• La f.m.m. à droite d’une encoche est égale à la f.m.m. à gauche augmentée du courant
d’encoche sortant vers l’observateur,
• La f.m.m. est constante entre deux encoches successives.
1.3 Graphe de répartition de la f.m.m. ε ( x ) .
B(x)= µ 0 /e ε(x)
ε(x)
2nI
nI
−L/4
x L/4
0
−L/2
-nI
-2ni
S1
S2
−3L/4
1.4 L’induction étant radiale dans l’entrefer, la surface utile pour le calcul du flux dans les spires est
la surface cylindrique interne au stator localisée entre les deux encoches recevant les faisceaux de n
conducteurs d’une section.
Le flux propre φ p est égal à 4n fois le flux à travers une spire car les flux à travers les sections
sont égaux :
µ nI L
2 µ nI L
13
L"
φ p = 4n  0  " + 0  "  = L p I ⇒ L p = µ0 n 2
e  4 
6
e
 e  24 
QUESTION 2
2.1
section S1
φS 1 = n
L/ 6
∫− L/8 b( x, t )"dx
l φ = nB "L sin  7π  cos(ω t − π )
S1
 24 
π
24
π
nB"L  7π 
x
  cos(ω t + )
φ
=
sin
S
2
-L/8
0
L/6 x+dx x
 24 
π
24
2.2 Les f.e.m. de Faraday (avec l’orientation donnée des contours) sont définies par :
dφ
dφ
e1 = − S1 , e2 = − S 2
dt
dt
ωB"L
7π
π
ωB"L
7π
π
e1 =
sin( )sin(ω t − ( )), e2 =
sin( ) sin(ω t + ( ))
π
π
24
24
24
24
2.3
e = 2( e1 + e2 ) = E 2 sin(ω t + ψ )
ωB "L
π
7π
ψ = 0, E = 2 2
sin( ) cos( )
π
24
24
b(x, t)
Fin du corrigé