Nombres complexes

Chapitre 1
Nombres complexes
Le buts du chapitres sont :
– Consolider les aquis de terminale,
– Savoir manipuler les nombres complexes, en particulier la factorisation par
l’angle de moitié.
– Avoir des notions sur le lien entre nombres complexes et géométrie
– Savoir linéariser des formulles trigonométriques (Moivre et Euler),
– Savoir résoudre une équation du second degré à coefficients réels ou complexes.
– Avoir des notions sur les racines n-ièmes de l’unité.
\
=
$
CC
BY:
I
I.1
Corps des nombres complexes
Définition
On admet que l’ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué
de nombres complexes.
Définition 1. L’ensemble des nombres complexes noté C est constitué des nombres de la forme :
n
C = a + iba ∈ R, b ∈ R
o
où i est un nombre qui vérifie i2 = 1.
Si z est un nombre complexe, il existe donc un couple unique (a, b) ∈ R2 , tel que z = a + ib, on
appelle
– partie réelle de z, ℜ(z) = a,
– partie imaginaire de a, ℑ(z) = b.
Deux nombres complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et partie imaginaire.
Note: En particulier, z = 0 ⇔ ℜ(z) = 0 et ℑ(z) = 0.
Cette représentation sous la forme a + ib s’appelle forme algébrique d’un nombre complexe par
opposé à la représentation géométrique vue plus loin, cela veut dire que cette forme sert à calculer
1
des sommes produits de nombres complexes, de la même manière que dans R, avec juste en plus la
règle i2 = 1. Cela montre en particulier que la formule du binôme est valable aussi dans C, ainsi que
la formule de factorisation. D’une manière générale, toutes les formules qui ne font pas intervenir <
dans leur démonstration par exemple la somme des termes d’une suite géométrique, arithmétique etc.
Les nombres réels s’identifient aux nombres complexes qui ont une partie imaginaire nulle. Au
contraire, on appelle imaginaire pur, les nombres complexes de la forme ib.
Dans cet ensemble, on peut définir :
– la somme de deux complexes par
(a + ib) + (a′ + ib′ ) = (a + a′ ) + i(b + b′ ),
i.e. en regroupant partie réelle et imaginaire,
– la multiplication de deux nombres complexes par :
(a + ib) × (a′ + ib′ ) = (aa′ − bb′ ) + i(ab′ + ba′ ),
i.e. en utilisant la règle i2 = 1,
– mais il n’existe pas d’équivalent à <, il n’y a donc pas de majorant, de fonction croissante etc....
– de même il n’y a pas de racines carrées 1 .
On voit en particulier que ℜ(z + z ′ ) = ℜ(z) + ℜ(z ′ ), et idem pour la partie imaginaire, mais
ℜ(zz ′ ) 6= ℜ(z)ℜ(z ′ ).
Proposition 1. Si z = a + ib est un nombre complexe non nul (i.e. a ou b non nul), alors on définit
l’inverse de z comme :
a − ib
,
z −1 = 2
a + b2
on vérifie z × z −1 = 1.
Démonstration. Il suffit de faire le calcul :
(a + ib) ×
a − ib
= 1.
a2 + b2
Ainsi, tout élément non nul de C admet un inverse. En particulier, si on a l’équation : zz ′ = 0,
alors on peut en conclure que z ou z ′ est nul.
Remarque: C’est le module au carré qui apparaît au dénominateur, en particulier si |z| = 1,
on a z −1 = z̄. Cela indique aussi que lorsqu’on dispose d’un quotient du type zz′ , pour revenir à une
z
zz ′
forme algébrique, on utilise : ′ = ′ 2 .
z
|z |
(on dit que l’on multiplie par l’expression conjuguée).
Note: Construction du corps C
On peut voir C comme
– R2 , avec une multiplication « tordue » ,
– le plus petit ensemble qui contient R, qui contient i et dans lequel on peut définir une addition et une
multiplcation de manière naturelle.
1. Comme dans R si a ∈ C, l’équation z 2 = a a deux solutions, mais on ne peut pas choisir la solution positive
comme dans R.
I.2
⋆
Conjugué et module
Définitions
Définition 2. Soit z = a+ib un nombre complexe, son conjugué est le nombre complexe : z = a−ib.
On voit que zz = a2 + b2 est toujours un nombre réel positif. On définit alors le module de z comme
√
√
le nombre réel positif : |z| = a2 + b2 = zz.
⋆
Propriétés
La conjugaison est une opération qui a beaucoup de bonnes propriétés.
Proposition 2. Si z et z ′ sont deux nombres complexes, on a :
z+z
,
– ℜ(z) =
2
z−z
,
– ℑ(z) =
2i
– z = z,
– z est un nombre réel ⇔ z = z,
– z est imaginaire pur ⇔ z = −z,
– z + z′ = z + z′ ,
– zz ′ = zz ′ ,
−1
– z −1 = z
.
Démonstration. Prouvons la dernière :
z −1 =
=
=
=
a − ib
a2 + b2
b
a
−i 2
a2 + b2
a + b2
a2
z
a
b
+i 2
2
+b
a + b2
−1
Le module est plus proche d’une valeur absolue : comportement simple par rapport à la multiplication, inégalité triangulaire pour l’addition.
Proposition 3. Si z et z ′ sont deux nombres complexes, on a :
– |z| = 0 ⇔ z = 0,
– |ℜ(z)| 6 |z| et |ℑ(z)| 6 |z|,
– zz = |z|2 ,
– |z| = |z|,
′
n
n
– |zz ′ | = |z||z
|, donc ∀n ∈ N, |z| = |z |,
1
.
– si z 6= 0, 1z = |z|
Démonstration. Si |z| = 0 alors a2 + b2 = 0, on a donc une somme de terme positif, qui est nul si et
seulement si a = b = 0. La réciproque est évidente.
On a aussi : a2 6 a2 + b2 , et donc |ℜ(z)| 6 |z|.
Puis :
|zz ′ |2 = zz ′ × zz ′ = zz × z ′ z ′ = |z|2 × |z ′ |2 .
d’où |zz ′ | = |z||z ′ |.
Ensuite :
1 2
11
1
= 2.
=
z
d’où 1z =
⋆
1
|z| .
zz
|z|
Inégalité triangulaire
Enfin, on a l’inégalité triangulaire :
Proposition 4. On a l’inégalité triangulaire :
∀(z, z ′ ) ∈ C2 , |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ |,
et donc en conséquence l’inégalité triangulaire renversée :
∀(z, z ′ ) ∈ C2 , |z| − |z ′ | 6 |z − z ′ |.
Enfin, il y a égalité dans l’inégalité triangulaire si et seulement si les complexes sont positivement
liés :

∃λ ∈ R , tel que z = λz ′ , ou
+
∀(z, z ′ ) ∈ C2 , |z + z ′ | = |z| + |z ′ | ⇐⇒
∃λ ∈ R , tel que z ′ = λz.
+
Les propositions importantes sont celles qui lient le module et le conjugué.
Démonstration. Soit z et z ′ ∈ C,
On a :
|z + z ′ | 6 |z| + |z ′ | ⇐⇒ |z + z ′ |2 6 (|z| + |z ′ |)2
car les deux membres sont positifs. On a aussi :
|z + z ′ |2 = (z + z ′ )(z + z ′ )
= zz + z ′ z ′ + zz ′ + zz ′
= |z|2 + |z ′ |2 + 2ℜ zz ′
6 |z|2 + |z ′ |2 + 2zz ′ 6
2
|z| + |z ′ | .
L’inégalité triangulaire renversée s’obtient à partir de l’inégalité triangulaire comme cela a été vu
à la section ?? du chapitre ??.
Pour démontrer le dernier
que |z + z ′ | = |z| + |z ′ |, en regardant la démonstration
supposons
point,
précédente, on a alors : ℜ zz ′ = zz ′ . D’où zz ′ est un réel positifs. On pose donc λ = zz. On a
alors : z × |z ′ |2 = λz ′ . Si z ′ = 0, alors on a bien sûr z = 0 × z ′ . Sinon, on peut diviser par |z ′ |2 pour
λ
obtenir : z = ′ 2 z ′ .
|z |
| {z }
>0
Réciproquement, si z = λz ′ , on a :
|z + z ′ | = |1 + λ||z| = 1 + λ |z| = |z| + |z ′ |
En fait la démonstration montre que si z ′ 6= 0, on est assuré d’avoir : ∃λ ∈ R+ , z = λz ′ .
II
Représentation géométrique
II.1
Le plan complexe
Puisqu’un nombre complexe est représenté par deux réels, on peut représenter un vecteur de R2
par un nombre complexe. Considérons le plan P , que l’on suppose muni d’un repère orthonormé
−
→ −
→
O, i , j .
−−→
−
→ −
→
Définition 3. Soit un point M de P , il existe alors un unique couple (a, b), tel que : OM = a i +b j .
On appelle affixe de ce point, le nombre complexe z = a + ib.
Si (u, v) est un vecteur de R2 , on appelle de même affixe de ce vecteur le nombre complexe z =
u + iv.
On dispose donc d’une application f de P dans C bijective, ce qui permet d’identifier P et C, on
parle alors de plan complexe.
Cette représentation a plusieurs avantages :
– la somme de deux vecteurs correspond à l’addition des affixes correspondants (puique c’est
l’addition des parties réelles et des parties imaginaires),
– la longueur du vecteur correspond au module de son affixe,
– l’inégalité triangulaire s’interprète naturellement : Si on considère les nombre complexes z et z ′ ,
et les vecteurs u et v correspondant, on a alors : |z + z ′ | est la distance
−
−
→
– Si A et B sont deux points d’affixe za et zb , alors l’affixe du vecteur AB est zb − za , la longueur
AB est |zb − za |.
– en particulier |za | est la distance de A à l’origine.
II.2
Cercle trigonométrique
Définition 4. On appelle cercle trigonométrique, le cercle C de rayon 1 et de centre 0 dans le
plan complexe. Ce cercle correspond donc à l’ensemble
n
o
U = z ∈ C|z| = 1 .
−
→
Géométriquement chaque point de C peut être représenté par l’angle θ = ( i ; OM ) (angle avec l’axe
horizontal) il a donc pour coordonnée (cos(θ), sin(θ))
On admet donc que
∀z ∈ U, ∃θ ∈ R : z = cos(θ) + i sin(θ).
On dit que θ est un argument du nombre complexe z. Si θ0 est un argument, les autres sont de
la forme θ0 + 2kπ, avec k ∈ Z. On appelle argument principal, l’unique argument θ ∈] − π, π].
L’argument est donc unique à « 2π près » , ce qui correspond à l’idée intuitive qu’un angle est
défini à 2π près.
On note
a ≡ b[2π], si ∃k ∈ Z, a = b + 2kπ,
Ainsi
a ≡ b[2π] ⇐⇒ [cos(a) = cos(b) et sin(a) = sin(b)] .
Autrement dit si a et b représentent le même angle.
II.3
Argument et Forme Trigonométrique
De la même manière, un vecteur non nul peut être représenter par sa longueur et l’angle fait avec
l’horizontale. Donc un nombre complexe non nul peut être représenté par sa longueur |z|, et cet angle.
On définit de manière naturelle :
z
,
Définition 5. Soit z un nombre complexe non nul, on appelle argument de z, un argument de
|z|
c’est un nombre réel θ tel que :
ℜ(z) = |z| cos(θ), et ℑ(z) = |z| sin(θ).
Remarque: Il faut que z soit non nul sinon cela n’a pas de sens : tous les θ conviennent dans
ce cas. Avant de mettre un nombre complexe sous forme trigonométrique, on s’assurera qu’il est non
nul.
Un nombre complexe non nul z est donc complètement défini par son module ρ := |z| et un de ses
arguments θ. D’où l’idée d’introduire une notation qui mette en avant ces données :
Définition 6. Soient ρ > 0 et θ ∈ R, on note ρeiθ , le nombre complexe
z = ρ cos(θ) + iρ sin(θ) = ρeiθ .
Cette notation est appelée « forme trigonométrique » , ou forme exponentielle.
′
On a ρeiθ = ρ′ eiθ si et seulement si ρ = ρ′ et θ ≡ θ ′ [2π].
Attention, ρ doit être strictement positif.
Exemple:
π
1+i
ei0 = 1
ei 4 = √
2
π
ei 2 = i
eiπ = −1.
Remarque: On a eiθ = 1 ⇐⇒ θ ≡ 0[2π].
La forme exponentielle est utile car elle permet de modéliser le comportement du module et de
l’argument dans le cas d’un produit.
Proposition 5. Si ρ et ρ′ sont deux nombre strictement positifs, et θ et θ ′ sont deux réels, alors on
a
′
(ρeiθ )(ρ′ eiθ ) = (ρρ′ )eiθ+θ
ρeiθ
−1
=
′
1 −iθ
e
ρ
ρeiθ = ρe−iθ
Démonstration.
ρeiθ × ρ′ eiθ
′
= ρρ′ cos(θ) + i cos(θ)
cos(θ ′ ) + i cos(θ ′ )
!
= ρρ′ cos(θ) cos(θ ′ ) − sin(θ) sin(θ ′ ) + i cos(θ) sin(θ ′ ) + sin(θ ′ ) cos(θ)
= ρρ′ cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ )
= ρρ′ eiθ+θ
′
La deuxième relation se déduit de la première : il suffit de vérifier que ρeiθ × 1ρ e−iθ = 1.
Enfin :
ρeiθ = ρ cos(θ) − sin(θ) = ρ cos(−θ) + sin(−θ) = ρe−iθ
Ce qui signifie que :
– le module du produit est le produit des modules,
– un argument du produit est la somme des deux arguments,
On trouve par exemple facilement les propriétés de l’argument.
Note: On note arg(z) un argument d’un nombre complexe z. Cette notation est donc ambiguë, l’argument
est défini à 2π près. Autant que possible il faut éviter cette notation.
Proposition 6. Soient z et z ′ deux nombres complexes non nul, θ (resp. θ ′ ) un argument de z (resp.
z ′ ).
On a :
– un argument de zz ′ est θ + θ ′ .
– Pour n ∈ N, un argument de z n est nθ.
– Un argument de z1 est −θ.
– Un argument de zz′ est θ − θ ′ .
– Un argument de z est −θ.
Note: z1 et z ont donc les mêmes arguments, ce qui est évident puisque :
arguments de λz sont les mêmes que z.
Remarquons que le plan trigonométrique peut s’écrire :
n
o
U = eiθ θ ∈ R .
1
z
=
z
|z|2
et que si λ > 0, les
II.4
Interprétation géométrique de la multiplication
On a vu qu’ajouter des nombres complexes, revient à ajouter les vecteurs correspondants. La notation trigonométrique a, de plus, l’avantage de donner un sens à la multiplication de deux complexes :
Proposition 7. Soit z ∈ C et M le point d’affixe z, et θ ∈ R, alors le point M ′ d’affixe zeiθ est
l’image de M par la rotation de centre 0 (l’origine) et d’angle θ.
Démonstration. Tout simplement : si z = reiα , alors z ′ = zeiθ = rei(θ+α) . En regardant les points
correspondants dans le plan complexe, on obtient le résultat.
II.5
⋆
Applications : formule d’Euler et de Moivre
Formule d’Euler
On a les formules d’Euler :
Proposition 8 (Formules d’Euler). Pour θ ∈ R, on a :
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
sin(θ) =
et
Démonstration. C’est une ré-écriture de ℜ(z) =
z+z
2
eiθ − e−iθ
.
2i
pour z = eiθ .
La formule d’Euler permet de linéariser des cos(x)n , en les exprimant sous la forme de cos(kx) et
sin(kx), pour k = 1 . . . n.
Par exemple, on a
cos(x) sin(x) =
=
=
=
1 ix
(e + e−ix )(eix − e−ix )
4i
1 i2x
(e + 1 − 1 − e−i2x )
4i
1 i2x
(e − e−i2x )
4i
1
sin(2x)
2
Remarque:
– La formule d’Euler permet d’exprimer un nombre réel cos(θ) en fonction d’un nombre a priori
iθ
−iθ
.
complexe e +e
2
– Dans l’exemple ce n’est pas un hasard si les termes de degré 0 se simplifie : on sait depuis le
début que l’on manipule un nombre réel, donc que l’on va tomber sur la formule d’Euler pour
« revenir » dans R.
⋆
Factorisation par l’angle de moitié
Une technique importante liée à la formule d’Euler est la factorisation par l’angle de moitié :
a+b
si on considère eia + eib , alors on peut factoriser par ei 2 , pour obtenir :
eia + eib = ei
a+b
2
ei
a−b
2
+ ei
b−a
2
a + b i a+b
= 2 cos
e 2
2
Remarque:
– La factorisation par l’angle de moitié à une interprétation géométrique : en dessinant les deux
vecteurs correspondants sur le cercle, on voit que l’argument de la somme est l’angle « au
milieu ».
h
i a+b
i
h
ei 2 . Le module n’est pas forcément 2 cos a+b
car ce
– dans l’écriture : eia + eib = 2 cos a+b
2
2
nombre peut être négatif.
Néanmoins, cette écriture permet facilement d’avoir le module, la partie réelle et imaginaire (ce
qui est souvent le but).
– La dernière remarque permet d’expliquer pourquoi on parle d’angle de moitié et non d’angle
moyen.
– Cette formule permet de retrouver les formules trigonométriques.
Formule de Moivre
⋆
Ensuite de (eiθ )n = einθ , on déduit les formules de Moivre :
Proposition 9 (Moivre). Pour θ ∈ R, et n ∈ Z, on a :
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
Ces formules permettent de passer d’un cos(nx) à une somme de cos(x)k et sin(x)k , pour des
k = 1 . . . n.
Exemple:
cos(3x) + i sin(3x) =
3
cos(x) + i sin(x)
= cos3 (x) + 3i cos2 (x) sin(x) − 3 cos(x) sin2 (x) − i sin3 (x)
=
cos3 (x) − 3 cos(x) sin2 (x) + i 3 cos2 (x) sin(x) − sin3 (x)
D’où
cos(3x) = cos3 (x) − 3 cos(x) sin2 (x)
sin(3x) = 3 cos2 (x) sin(x) − sin3 (x)
Remarque:
– La formule de Moivre est très lié à la formule de Newton, qui permet de développer (cos θ +
i sin θ)n , souvent on mettra la puissance du k sur le i sin(θ), et on séparera les cas où k est pair
/ impair pour isoler la partie réelle et imaginaire.
– On la couple aussi souvent avec la formule cos2 x + sin2 x = 1, de manière à ne plus avoir que
des cosinus ou des sinus dans le résultat final.
Exemple: En utilisant cos2 x+sin2 x = 1 on obtient les formule de cos(3x) en fonction uniquement
de cos(x) :
cos(3x) = cos3 (x) − 3 cos(x)(1 − cos2 (x)) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x)
Exemple: Voici le calcul le plus difficile avec Moivre :
cos nθ + i sin nθ =(cos θ + i sin θ)n
=
=
!
n
X
n
cosn−k (θ)ik sink (θ)
k
k=0
n
X
!
k=0
k
n
X
n
cosn−k (θ)ik sink (θ) +
k
pair
k=0
k
impair
!
n
cosn−k (θ)ik sink (θ)
k
On choisit ici de mettre la puissance du k sur le i, pour isoler la partie réelle et imaginaire.
Si k est pair, il s’écrit sous la forme : 2p et ik = i2p = (−1)p , tandis que si k est impair il s’écrit
sous la forme : 2p et ik = i2p+1 = i(−1)p . On obtient alors
cos nθ + i sin nθ =
!
!
X
n
n
(−1)p cosn−2p (θ) sin2p (θ) + i
(−1)p cosn−2p+1 (θ) sin2p+1 (θ).
2p
2p
+
1
062p+16n
X
062p6n
D’où on déduit les deux relations :
X
cos nθ =
062p6n
!
n
(−1)p cosn−2p (θ) sin2p (θ)
2p
!
n
(−1)p cosn−2p+1 (θ) sin2p+1 (θ).
2p + 1
X
sin nθ =
062p+16n
Note: On peut même prolonger le calcul en utilisant la relation cos2 θ + sin2 θ = 1.
II.6
Exponentielle d’un nombre complexe
Définition 7. Soit z = x + iy un
on définit l’exponentielle d’un nombre
nombre complexe,
z
x
iy
x
complexe, comme e = e e = e cos(y) + i sin(y) .
On définit ainsi l’exponentielle de z = x + iy comme le nombre complexe dont
– le module est ex
– un argument est y.
L’avantage de cette notation est que l’exponentiel complexe hérite de la propriété fondamentale
de l’exponentiel sur R : elle transforme une somme en produit.
Proposition 10. On a :
′
∀(z, z ′ ) ∈ C, ez+z = ez × ez
′
Démonstration.
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
ez+z = ex+x +i(y+y ) = ex+x ei(y+y ) = ex ex eiy eiy = ex+iy ex +iy = ez × ez .
On a
Proposition 11. L’application exp : C 7→ C∗ est surjective. Autrement dit : si Z ∈ C∗ , alors il existe
z ∈ C tel que : Z = ez .
Cette proposition est à re démontrer si elle est utilisée. Elle est dans le cours que pour montrer
l’inexistence de la fonction logarithme dans C∗ .
Démonstration. On écrit Z sous la forme ρeiθ (car Z non nul), z = ln(ρ) + iy convient alors.
Cette fonction n’est pas injective, car ei0 = ei2π , donc elle n’a pas de bijection réciproque et ln
n’existe pas sur C.
Autre manière de voir : on ne peut pas définir ln(ρeiθ ) comme ln(ρ) + iθ, car θ est définit à 2π
près.
III
III.1
Résolution d’équations
Factorisation dans C
On a vu que si n est pair, on ne peut pas factoriser a2 + b2 dans R. Dans C, la situation est
différente, car on peut écrire : a2 + b2 = a2 − (ib)2 , ce qui amène à : a2 + b2 = (a + ib)(a − ib).
Ainsi, même si n est pair, on peut factoriser an + bn
Application 1 Écrire la formule correspondante.
III.2
Équations du second degré à coefficients réels
Dans C, l’équation x2 = −1 a deux solutions i, et −i. On va voir que dans C toute équation
à coefficient réel du second degré admet deux solutions (voir le chapitre ?? sur les polynômes. Ces
solutions sont réelles si le discriminants est positif (cas vu en terminal), complexes conjugués si le
discriminants est négatifs.
Proposition 12. Soient a, b, c des réels, avec a 6= 0, on considère l’équation :
ax2 + bx + c = 0,
(E) :
on note ∆ = b2 − 4ac le discriminant de l’équation (E), ∆ est donc un nombre réel.
– Si ∆ > 0, l’équation admet deux racines réelles distinctes :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
,
et x2 =
2a
2a
– si ∆ = 0, cette équation admet une unique racine réelle (on dit une racine double) :
x=−
b
2a
– si ∆ < 0, cette équation admet deux racines complexes (non réelles) distinctes et conjugués :
p
−b + i |∆|
,
x1 =
2a
et
p
−b − i |∆|
x2 =
2a
En fait, si on note δ une solution de δ2 = ∆, les deux racines sont alors :
x1 =
−b + δ
,
2a
et
x2 =
−b − δ
.
2a
Cette écriture est plus simple, elle permet de traiter directement le cas complexe.
– Si ∆ = 0, alors δ = 0 et les deux racines sont confondues,
√
– Si ∆ > 0, alors δ = ± ∆, δ est alors un réel,
p
– Si ∆ < 0, alors δ = ±i |∆|, δ est alors complexes (en fait imaginaire pur).
Notons que dans les deux derniers cas, on peut choisir la solution que l’on veut, cela ne change pas
les racines.
Il faut aussi connaître les formules classiques :
– la somme des racines : x1 + x2 = − ab
– le produit des racines x1 x2 = ac .
Il y a deux applications :
– Si l’on connaît une des deux racines (par exemple si l’une est « solution évidente » alors on
connaît l’autre,

ab = P
, alors a et b sont solution de l’équation
– Si on a deux nombres a et b tel que
a + b = S
x2 − Sx + P = 0.
Dernier point, on a la factorisation :
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Note: Ne pas oublier que si les coefficients sont réels, et ∆ < 0 les racines ne sont pas réelles, mais sont
complexes conjuguées.
Démonstration. La démonstration se fait comme dans R : on écrit :
c
b
az 2 + bz + c = a(z 2 + z + )
a
a
!
b2
c
b 2
= a (z + ) − 2 +
2a
4a
a
b
b2 − 4ac
= a (z + )2 −
2a
4a2
= a (z +
b 2
∆
) − 2
2a
4a
!
Soit δ, un nombre complexe tel que δ2 = ∆, si ∆ > 0, on choisit δ =
p
δ = i |∆|.
√
∆, sinon on choisit
On a alors :
b 2
∆
) − 2
2a
4a
2 !
b
δ
a (z + )2 −
2a
2a
δ
b
δ
b
− )(z +
+ )
a (z +
2a 2a
2a 2a
b+δ
b−δ
)(z +
)
a (z +
2a
2a
a(z − z1 )(z − z2 )
az 2 + bz + c = a (z +
=
=
=
=
b+δ
avec les deux racines : z1 = − b−δ
2a et z2 = − 2a .
b
.
Dernier cas : si ∆ = 0, on a alors δ = 0, et une racine double − 2a
La preuve donne aussi un moyen de factoriser les polynômes de degré 2.
III.3
Équations du second degré à coefficients complexes
Si on reprend la preuve, on obtient :
Proposition 13. Soit a, b, c trois nombres complexes, avec a 6= 0, on considère l’équation :
(E)
az 2 + bz + c = 0,
on note ∆ = b2 − 4ac, ∆ est donc maintenant un nombre complexe. Si on dispose de δ ∈ C tel
que δ2 = ∆, alors les solutions de l’équation (E) sont :
z1 =
−b + δ
,
2a
et
z2 =
−b − δ
2a
(si ∆ = 0, les deux solutions sont confondues). De plus on les mêmes formulles que dans R : la
somme des racines z1 + z2 = − ab , et le produit z1 z2 = ac .
Il reste plus qu’à prouver que pour tout nombre complexe ∆ il existe δ tel que δ2 = ∆.
III.4
⋆
Racines n-ième de l’unité
Racines dans C
Déjà on remarque que l’équation z 2 = 1 admet deux solutions dans C : i et −i.
Proposition 14. Soit ∆ un nombre complexes non nul, l’équation :
(E)
x2 = ∆,
d’inconnue x a alors deux solutions opposées dans C, i.e. il existe δ ∈ C tel que : S = {δ, −δ}.
√
Attention, la notation · n’existe pas dans C, en effet, comme aucune des deux ne peut être
qualifiée de positive, on ne peut pas en choisir l’une des deux (comme c’est le cas dans R). Autre
manière de voir : on a posé i solution de x2 = −1, mais on aurait aussi bien prendre −i à la place. Il
n’y a donc aucun moyen de différencier les deux.
Démonstration. Comme ∆ est non nul, on peut l’écrire sous forme trigonométrique ∆ = ρeiθ . Soit x
solution de l’équation (E), on a alors x 6= 0, donc x peut s’écrire reiα . On a :
x2 = ∆ ⇐⇒ r 2 ei2α = ρeiθ
⇐⇒
⇐⇒

r 2 = ρ
2α ≡ θ [2π]

r = √ρ
α ≡
⇐⇒ x =
√
θ
2
[π]
θ
ρei 2
ou
x=
√
θ
√ θ
ρei 2 +π = − ρei 2
Réciproquement ces deux valeurs sont bien solution.
Remarque:
– Démonstration à savoir refaire.
– On voit en particulier que pour résoudre x2 = ∆, on doit écrire ∆ sous forme trigonométrique.
⋆
Racine n-ième
Partie en exercice. La démonstration sera à refaire (en l’adaptant) au cas de chaque exercice.
Proposition 15. Soit n ∈ N∗ , l’équation
(E)
zn = 1
admet n solutions. Plus précisément :
n
S= e
2ikπ
n
o n
2(n−1)iπ o
4iπ
2iπ
k ∈ [[0, n − 1]] = 1, e n , e n , . . . , e n
Démonstration. Soit z solution de l’équation, on a alors z non nul, donc z s’écrit sous la forme ρeiθ ,
et :
z n = 1 ⇐⇒ ρn einθ = 1

ρn = 1
⇐⇒
nθ ≡ 0 [2π]

ρ = 1
⇐⇒
θ ≡ 0 [ 2π ]
n
⇐⇒ ∃j ∈ Z, z = e
Réciproquement tout complexe de la forme : z = e
2ijn
π
.
est solution. On a donc :
o
2ijπ S = e n j ∈ Z .
n
2ijn
π
il est donc pas évident a priori que l’on puisse se ramener à k ∈ [[0, n − 1]].
Soit donc j ∈ Z, on effectue la division euclidienne de j par n, on écrit donc j = qn + k avec
k ∈ [[0, n − 1]]. On a alors :
2ijπ
2ikπ
2ikπ
=
+ 2qπ ≡
[2π].
n
n
n
En conséquence : e
2ijπ
n
=e
2ikπ
n
. Ce qui prouve que :
n
e
2ijπ
n
o n 2ikπ o
j ∈ Z = e n k ∈ [[0, n − 1]]
Remarque:
– Pour n = 2, les racines deuxième de l’unité sont 1 et −1,
– Pour n = 3, les racines troisième de l’unité sont
2π
2π
2iπ 2iπ + i sin
,
et j = j 2 = e−i 3 .
1,
j = ei 3 = cos
3
3
– Pour n = 4, les racines quatrième de l’unité sont 1, i, −1, −i.
– Sur le cercle, les n racines n-ième de l’unité sont placées régulièrement.
Note: j est un nombre complexe important.
⋆
Applications
Proposition 16. Soit a ∈ C, avec a 6= 0, l’équation z n = an admet alors n solution :
n
S = ae
2ikπ
n
o
k ∈ [[0, n − 1]] .
2ikπ
Démonstration.
Déjà, il est clair que si z = ae n , alors z n = an . D’autre part, soit z solution, alors
n
z
= 1. Ainsi, d’après le résultat précédent, on a :
a
2ikπ
z
∃k ∈ [[0, n − 1]] ,
=e n .
a
D’où le résultat.
La proposition suivante peut être résumé en disant que « la somme des racine n-ième de l’unité
est nulle »
Proposition 17. Soit z une racine n-ième de l’unité différente de 1. On a alors :
n−1
X
z k = 0.
k=0
i 2π
n
En appliquant ce résultat à z = e
z
, on obtient :
X
t.q.
z
=
n−1
X
ei
2kπ
n
=
0.
k=0
z n =1
Démonstration. La démonstration est évidente car il s’agit d’une série géométrique :
n−1
X
zk =
k=0
Note: On déduit en particulier que 1 + j + j 2 = 0.
1 − zn
1−z
Feuille d’exercices nombres complexes
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
\
$
CC
BY:
=
Exercice 1 Soient z1 et z2 deux nombres complexes de norme 1
Quelle relation y-a-t-il entre (z1 )−1 et z1 ?
z1 + z2
Montrer que Z =
est réel.
1 + z1 z2
|a| + |b|
6 |z| 6 |a| + |b|.
Exercice 2 Soit z = a + ib, montrer que : √
2
Exercice 3 Exprimer −ρeiθ sous forme exponentielle,
Exercice 4 Quelles sont les conditions sur l’argument de z pour que z soit un nombre réel strictement positif, strictement négatif, imaginaire pur ?
Exercice 5 Déterminer les parties réelles et les parties imaginaires des nombres complexes suivants :
3−i
1 + 2i
3−i
3+i
+
1 + 2i 1 − 2i
3+
2
i
i
2−i
Exercice 6 Déterminer le module et un argument des nombres complexes :
√
√
√
1
− 1 + i 3 (−1 + i √ )6 .
1. 1 + i 3 2 − 2i 3 + i 3
3
iθ
iθ
iα
iβ
iα
iβ
iα
−iβ
2. 1 + e
1−e
e +e
e −e
e + e , où θ, α et β sont des réels quelconques.
3. (cos(α) + i sin(α))4
Exercice 7
suivantes.
1. Sn (x) =
2. An (x) =
cos(−α) + i sin(α)
sin(α) + i cos(α)
1 + i tan(α)
Soient x ∈ R, et n ∈ N. En utilisant l’exponentiel complexe, simplifier les expressions
n
X
k=0
n
X
k=0
cos(kx) et Tn (x) =
n
X
sin(kx),
k=0
!
!
n
X
n
n
cos(kx) et Bn (x) =
sin(kx).
k
k
k=0
1 + λi
est de module 1.
1 − λi
n
1 + λi o
.
Déterminer l’ensemble : E = z ∈ C∃λ ∈ R, z =
1 − λi
Exercice 9 Égalité du parallélogramme
Soient z et z ′ deux nombres complexes. Montrer que :
Exercice 8
Montrer que ∀λ ∈ R,
2(|z|2 + |z ′ |2 ) = |z + z ′ |2 + |z − z ′ |2 .
Interpréter géométriquement.
Exercice 10 Résoudre dans C l’équation : (z + i)6 = (i − z)6 en utilisant les racines n-ième de
l’unité.
2π
Exercice 11 On considère le nombre complexe : w1 = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ).
1. Calculer w15 , et 1 + w1 + w12 + w13 + w14 ,
2. On note α = w1 + w14 . Vérifier : α2 + α − 1 = 0,
3. Déterminer la forme trigonométrique de w14 et la comparer avec w1 .
4. Résoudre l’équation z 2 + z − 1 = 0.
5. En déduire une valeur exacte de cos( 2π
5 ).
Exercice 12
n
o
Soit l’ensemble A = z ∈ C|z| = |z + 1| en faisant un dessin, déterminer A, ensuite
n
o
démontrer par le calcul. Soit B = z ∈ C|z| = 1 , déterminer A ∩ B.
Exercice 13
Exercice 14
Résoudre z 4 + 2z 2 + 4 = 0.
Soit n ∈ N, calculer la somme S =
1 n
.
ment de 1 + i √
3
Exercice 15 On veut calculer les somme :
C = cos
On note ω = ei
2π
7
2π 7
+ cos
4π 7
+ cos
8π 7
X
062p+16n
et
1
−
3
S = sin
p
2π 7
et σ = ω + ω 2 + ω 4 .
1. (a) Résoudre dans C l’équation z 7 = 1.
(b) Calculer la somme des solutions de l’équation précédente.
(c) Exprimer ω, ω2 , et ω 4 en fonction des puissances ω.
2. (a) Montrer que σ + σ = −1 et σσ = 2.
(b) σ et σ sont ainsi racines de quel polynôme ?
(c) Démontrer que S est positif et en déduire C et S.
!
n
, à l’aide du développe2p + 1
+ sin
4π 7
+ sin
8π 7