Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires 1. Le radian Définition B AB =R R 1 radian O A R C Soit C un cercle de centre O. Dire que l’angle géométrique AOB a pour mesure 1 radian signifie que la longueur du petit arc AB est égal au rayon R du cercle. De même, la longueur d’un arc de cercle de rayon R et dont l’angle au centre a pour mesure α radians est α R . B AB = α R R α radians A O R C © http://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Correspondance entre mesures en degré et en radian Degré 0 Radian 0 30 45 60 90 π π π π 6 4 3 2 180 x π α Pour convertir les 2 unités de mesure d’angle, on utilise la formule 180α = π x , soit α = avec α mesure en radian et x mesure en degré. π 180 x 2. Orientations d’un cercle Sens direct Sens indirect 3. Cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est de rayon 1 et est orienté positivement dans le sens direct. + © http://www.bacdefrancais.net Page 2 sur 20 Angles orientés - trigonométrie II. Angles orientés 1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires ( ) Soient u et v deux vecteurs unitaires. Le couple u , v de ces 2 vecteurs définit un angle orienté. On a u = 1 et v = 1 B v u v A u AB . A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté 2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls Soient u1 et v1 deux vecteurs non nuls. On note u le vecteur unitaire colinéaire à u1 et de même sens que u1 et on note v le vecteur unitaire colinéaire à v1 et de même sens que v1 . L’angle u1 , v1 est par définition égal à l’angle u , v . ( ) ( ) 3. Mesure principale en radian d’un angle orienté Soient u et v deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de centre O tels que OM = u et OP = v . . On note a la mesure en radian de l’angle MOP La mesure principale de l’angle orienté des vecteurs u , v est le réel α appartenant à ( ) l’intervalle ]−π ; +π ] tel que α = a et dont le signe est défini de la manière suivante : © http://www.bacdefrancais.net Page 3 sur 20 Angles orientés - trigonométrie P v u α =a M u v α =π α = −a M P v u M P Si le sens de M vers P est le sur le petit arc MP sens direct, alors α = a Si le sens de M vers P est le sur le petit arc MP sens indirect, alors α = −a est plat, Si l’angle MOP alors α = π Exemple : ABC est un triangle équilatéral direct π ( AB; AC ) = 3 π ( BA; BC ) = − 3 π (CA; CB ) = 3 C A B Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d’un angle orienté de deux vecteurs non nuls u1 et v1 est la mesure principale de l’angle orienté u , v avec u et v qui sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à u1 et v1 et de même sens que ces vecteurs. u1 , v1 = u , v ( ) v1 v ( ) ( ) u u1 © http://www.bacdefrancais.net Page 4 sur 20 Angles orientés - trigonométrie 4. Mesures principales d’angles sur le cercle trigonométrique π 2 2π 3 π 3 3π 4 π 4 5π 6 π 6 π 0 5π − 6 7π 6 − 3π 4 11π 6 5π 4 − 4π 3 5π 3 3π 2 2π 3 − En rouge : mesure principale 7π 4 − − − π 6 π 4 π 3 π 2 En vert : la plus petite mesure positive Remarque importante : ( ) Si θ est une mesure (en radians) d’un angle de vecteurs u , v , toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme : θ + k .2π avec k ∈ ℤ Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l’intervalle ]−π ; π ] , c’est la mesure principale. © http://www.bacdefrancais.net Page 5 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Explication : 2π représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute 2π à une mesure d’angle, on retrouve donc la même mesure. Exemples : Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est α , puis donner la plus petite mesure positive : α =− 5π 6 Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = − 5π −5π + 12π 7π + 2π = = 6 6 6 5π −5π + 24π 19π + 2.2π = = Si k = 2 , x2 = − 6 6 6 7π La plus petite mesure positive de l’angle est . 6 5π + k .2π avec k ∈ ℤ 6 Si k = 1 , x1 = − α =− 3π 4 Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = − 3π −3π + 8π 5π + 2π = = 4 4 4 3π −3π + 16π 13π Si k = 2 , x2 = − + 2.2π = = 4 4 4 5π La plus petite mesure positive de l’angle est . 4 3π + k .2π avec k ∈ ℤ 4 Si k = 1 , x1 = − 5. Propriétés des angles orientés Colinéarité et orthogonalité : o Si u et v sont colinéaires et de même sens : u , v = 0 + k .2π avec k ∈ ℤ ( ) u v o Si u et v sont colinéaires et de sens contraires u , v = π + k .2π avec k ∈ ℤ ( ) © http://www.bacdefrancais.net v u Page 6 sur 20 Angles orientés - trigonométrie o Si u et v sont orthogonaux π u , v = + k .2π avec k ∈ ℤ 2 π ou u , v = − + k .2π avec k ∈ ℤ 2 ( ) ( ) v u v u Egalité entre deux angles : ( ( ) ) Deux angles de vecteurs u , v = θ et u ′, v′ = θ ′ sont égaux si : θ ′ = θ + k .2π 2π Exemple : u , v = − et 3 ( ) (u′, v′) = 103π avec k ∈ ℤ . Ces deux angles sont-ils égaux ? 10π 2π −2π + 12π =− + 4π = 3 3 3 Les deux angles sont égaux. Relation de Chasles : La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi : ( ) ( ) ( ) u , v + v, w = u , w Exemple : 7π Soient 3 vecteurs u , v et w non nuls et tels que u , v = et 6 Démontrer que les vecteurs u et w sont orthogonaux. ( ) ( v, w) = 43π Solution : ( ) ( ) ( ) D’après la relation de Chasles, on sait que : u , w = u , v + v, w 7π 4π 7π + 8π 15π 5π Donc u , w = + = = = 6 3 6 6 2 π u , w = + 2π donc u et w sont orthogonaux. 2 ( ) ( ) © http://www.bacdefrancais.net Page 7 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Egalités remarquables : o ( ) ( Angles égaux : u , v = −u , −v ) −u v u −v o ( ) ( ) Angles opposés : u , v = − v, u v u ( −u , v ) = ( u , v ) + π o Angles supplémentaires : v −u ( u, v ) π ( u , −v ) = ( u , v ) + π et π u v u −v III. Cosinus et sinus d’un angle orienté 1. Définition important ( ) Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe i, j , c’est-à π π dire que i, j = (dans une base indirecte, on a i, j = − ) 2 2 ( ) ( ) ( ) Soit un angle de vecteurs et M le point du cercle trigonométrique tel que OA; OM = θ Par définition, on a : cos θ = abscisse de M sin θ = ordonnée de M © http://www.bacdefrancais.net Page 8 sur 20 Angles orientés - trigonométrie 1 j M s in θ θ O A cos θ i 1 Remarquons également que OM = i cos θ + j sin θ Remarquons qu’on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : côté adjacent = côté adjacent car OM = 1 . hypothénuse côté opposé sin θ = = côté opposé car OM = 1 . hypothénuse cos θ = Remarque : Si θ est une mesure (en radians) d’un angle de vecteurs u , v , on a : θ = θ + k .2π avec k ∈ ℤ ( ) Donc : cos x = cos( x + k .2π ) avec k ∈ ℤ sin x = sin( x + k .2π ) avec k ∈ ℤ 2. Formules essentielles important cos 2 x + sin 2 x = 1 −1 ≤ cos x ≤ 1 −1 ≤ sin x ≤ 1 © http://www.bacdefrancais.net Page 9 sur 20 Angles orientés - trigonométrie 3. Signes et valeurs particulières de cos x et sin x π 2π 3 2 π 3 3π 4 π 4 5π 6 π 6 π 0 En rouge : valeurs de x x 0 cos x 1 sin x 0 π π π π 6 3 2 1 2 4 2 2 2 2 3 1 2 2 3 2 π 0 -1 1 0 Tableau de signe : x -π cos x sin x -1 0 − π 2 0 -1 - π 0 + - 1 0 2 0 1 + + π + -1 0 1 −π − π π 2 2 0 π sin x cos x -1 © http://www.bacdefrancais.net Page 10 sur 20 Angles orientés - trigonométrie IV. Calculs trigonométriques 1. Angles associés cos(− x) = cos x cos(π − x) = − cos x cos(π + x) = − cos x π cos − x = sin x 2 sin(− x) = − sin x sin(π − x) = sin x sin(π + x) = − sin x π sin − x = cos x 2 Exemples d’utilisation : Calculons des valeurs particulières de cos x et sin x à partir de valeurs connues (cf. III.3.) : 3π π π = cos π − = − cos = − 4 4 4 5π π π 1 sin = sin π − = sin = 6 6 6 2 7π π π cos = cos π + = − cos = − 6 6 6 cos cos 2 2 3 2 7π π π 2 π = cos 2π − = cos − = cos = 4 4 4 2 4 2. Formules d’addition cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin(a − b) = sin a.cos b − cos a.sin b © http://www.bacdefrancais.net Page 11 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Remarque : on peut retrouver toutes les formules à partir de la 2ème formule (la plus simple) : cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Retrouvons cos(a + b) : cos(a + b) = cos(a − (−b)) = cos a.cos(−b) + sin a.sin(−b) cos(a + b) = cos a.cos b + sin a.(− sin b) cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b Retrouvons sin(a + b) : π π sin(a + b) = cos − (a + b) = cos − a − b 2 2 π π sin(a + b) = cos − a cos b − sin − a sin b 2 2 sin(a + b) = sin a.cos b − cos a.sin b Retrouvons sin(a − b) : sin(a − b) = sin(a + (−b)) = sin a.cos(−b) + sin(−b).cos a sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a Exemples d’utilisation : Trouver les valeurs exactes de cos π 12 et sin π 12 . Solution : Essayons de décomposer cos On sait que π 12 = π 3 − π 12 et sin π 12 en valeurs que nous connaissons : π 4 π π π π π π = cos − = cos .cos + sin .sin 12 3 4 3 4 3 4 π 1 2 3 2 2 + 3. 2 cos = . + . = 12 2 2 2 2 4 π 2+ 6 cos = 12 4 Donc cos π © http://www.bacdefrancais.net Page 12 sur 20 Angles orientés - trigonométrie π π π π π π = sin − = sin .cos − cos .sin 12 3 4 3 4 3 4 π 3 2 1 2 6− 2 − . = sin = . 12 2 2 2 2 4 sin π 3. Formules de duplication sin 2a = 2.sin a.cos a Pour retrouver la formule : sin 2a = sin(a + a ) = sin a.cos a + cos a.sin a cos 2a = cos ² a − sin ² a Pour retrouver la formule : cos 2a = cos(a + a ) = cos a.cos a − sin a.sin a = cos ² a − sin ² a cos 2a = 1 − 2sin ² a cos 2a = 2 cos ² a − 1 car sin ² a + cos ² a = 1 4. Formules de linéarisation 1 − cos 2a 2 1 + cos 2a cos ² a = 2 sin ² a = Pour retrouver les formules : 1 − cos 2a 2 cos 2a + 1 cos 2a = 2 cos ² a − 1 donc 2 cos ² a = cos 2a + 1 donc cos ² a = 2 cos 2a = 1 − 2sin ² a donc 2 sin ² a = 1 − cos 2a donc sin ² a = © http://www.bacdefrancais.net Page 13 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Utilisation de ces formules : π Calculer la valeur exacte de cos 12 et sin π 12 en utilisant les formules de linéarisation. Solution : D’après les formules de linéarisation, on sait que : π π 3 2+ 3 1 + cos 2 1 + cos 1+ π π 12 donc cos 2 6 = 2 = 2 = 2+ 3 cos 2 = = 12 2 12 2 2 2 4 De plus, on sait que 0 < π < 12 π 2 donc cos π 12 > 0 . On peut « passer sous la racine » l’égalité précédente : cos 2 π 12 = 2+ 3 π 2+ 3 donc cos = 4 12 2 Calculons maintenant sin π : 12 D’après les formules de linéarisation, on sait que : π 1 − cos 2 1 − cos π 1 − 3 2 − 3 π 12 = 6 = 2 = 2 = 2− 3 sin 2 = 12 2 2 2 2 4 De même, on sait que 0 < π 12 < π 2 donc sin π 12 > 0 . On peut « passer sous la racine » l’égalité précédente : sin π 12 = 2− 3 2 Autre exemple d’utilisation des formules de linéarisation : Factoriser les expressions suivantes : A( x) = 1 + cos 2 x + cos x B ( x) = 1 − cos 2 x + sin x x C ( x) = 1 + cos x + cos 2 D( x) = 1 + cos x + sin x © http://www.bacdefrancais.net Page 14 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Solutions : D’après les formules de linéarisation : A( x) = 2 cos 2 2 x + cos x Donc A( x) = cos x(2 cos x + 1) D’après les formules de linéarisation : B ( x) = 2sin 2 2 x + sin x Donc B ( x) = sin x(2 sin x + 1) x x x 1 + cos 2 x x 1 + cos x = 2 cos 2 + cos car cos ² x = donc cos ² = 2 2 2 2 2 2 x x C ( x) = cos 1 + 2 cos 2 2 C ( x) = 1 + cos x + cos x + sin x 2 x x x Or sin x = sin 2 = 2.sin .cos 2 2 2 x x x x x x Donc D( x) = 2 cos 2 + 2.sin .cos = 2 cos cos + sin 2 2 2 2 2 2 D( x) = 1 + cos x + sin x = 2 cos 2 V. Equations trigonométriques 1. Equation du type cos A(x) = cos B(x) Théorème B ( x) = A( x) + 2kπ B ( x) = − A( x) + 2kπ avec k ∈ ℤ cos A( x) = cos B ( x) signifie que ou a + 2kπ j a cos(a + 2kπ ) = cos(−a + 2kπ ) i 0 -a − a + 2 kπ © http://www.bacdefrancais.net Page 15 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Exemples d’utilisation du théorème Résoudre dans ]−π ; π ] les équations suivantes : (1) cos x = 0 1 2 (3) cos 2 x = 1 (4) cos 3 x = 1 (2) cos x = − Solutions : (1) cos x = 0 Cette équation équivaut à cos x = cos Donc la solution est x = π 2 π 2 . + 2kπ ou x = − π 2 + 2kπ avec k ∈ ℤ . Si on prend k = 0 pour se placer dans ]π ; −π ] , on obtient x = π π Donc S = − ; 2 2 (2) cos x = − 1 2 Cette équation équivaut à cos x = cos π 2 ou x = − π 2 2π . 3 2π 2π + 2kπ ou x = − + 2kπ avec k ∈ ℤ . 3 3 2π 2π Si on prend k = 0 pour se placer dans ]π ; −π ] , on obtient x = ou x = − 3 3 2π 2π Donc S = − ; 3 3 Donc la solution est x = (3) cos 2 x = 1 Cette équation équivaut à cos x = cos 0 . Donc la solution est 2 x = 2kπ avec k ∈ ℤ . Donc x = kπ Pour k = 0 , on a x = 0 et pour k = 1 , on a x = π Donc S = {0; π } © http://www.bacdefrancais.net Page 16 sur 20 Angles orientés - trigonométrie (4) cos 3 x = 1 Cette équation équivaut à cos 3 x = cos 0 . Donc la solution est 3 x = 2kπ avec k ∈ ℤ . 2 kπ Soit x = 3 2π . Pour k = −1 , on a x = − 3 Pour k = 0 , on a x = 0 . 2π Pour k = 1 , on a x = . 3 2π 2π Donc S = − ;0; 3 3 2. Equation du type sin A(x) = sin B(x) Théorème B ( x) = A( x) + 2kπ B ( x) = π − A( x) + 2kπ avec k ∈ ℤ sin A( x) = sin B ( x) signifie que ou π − a + 2 kπ a + 2kπ j π −a a 0 i Exemples d’utilisation du théorème Résoudre dans ]−π ; π ] les équations suivantes : (1) sin x = 0 (2) sin 2 x = 1 1 (3) sin 3 x = 2 © http://www.bacdefrancais.net Page 17 sur 20 Angles orientés - trigonométrie Solutions : (1) sin x = 0 équivaut à sin x = sin 0 Donc, d’après le théorème précédent, x = 0 + 2kπ ou x = π − 0 + 2kπ On obtient x = 2kπ ou x = π + 2kπ = (2k + 1)π Si k = 0 , on a x = 0 ou x = π Si k = 1 , on a x = 2π ou x = 3π Si k = 2 , on a x = 4π ou x = 5π … La solution de l’équation est donc x = kπ , et dans ]−π ; π ] on a S = {0; π } (2) sin 2 x = 1 équivaut à sin 2 x = sin On obtient 2 x = Donc x = π 4 π 2 π 2 π + 2kπ ou 2 x = π − 2 + 2 kπ = π 2 + 2 kπ + kπ 3π π Dans ]−π ; π ] on a S = − ; 4 4 (3) sin 3 x = 1 π équivaut à sin 3 x = sin 2 6 On obtient 3 x = π + 2kπ ou 3 x = π − π 6 6 2 5π 2 Soit x = + kπ ou x = + kπ 18 3 18 3 π 5π + 2 kπ 6 5π 18 18 13π 17π Si k = 1 , on a x = ou x = 18 18 11π 7π Si k = −1 , on a x = − ou x = − 18 18 11π 7π π 5π 13π 17π Dans ]−π ; π ] on a S = − ;− ; ; ; ; 18 18 18 18 18 18 Si k = 0 , on a x = π + 2 kπ = ou x = © http://www.bacdefrancais.net Page 18 sur 20 Angles orientés - trigonométrie VI. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus 1. Fonction sinus On pose f ( x) = sin x L’ensemble de définition de f est D f = ℝ Propriétés particulières de la fonction : On sait que sin(− x) = − sin x donc f (− x) = − f ( x) La fonction sinus est impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’origine. On sait également que sin( x) = sin( x + 2π ) La fonction sinus est périodique, de période 2π . Il est donc suffisant d’étudier la fonction sur [ 0; π ] pour avoir toute la courbe. Il faudra ensuite effectuer une symétrie par rapport à l’origine et des translations de vecteurs 2kπ i . Dérivée de la fonction : Si f ( x) = sin x , alors f ′( x) = cos x Tableau de variation : x π 0 f ′( x) = cos x 2 0 + π - 1 f ( x) = sin x 0 0 période = 2π Représentation graphique de la fonction f ( x) = sin x © http://www.bacdefrancais.net Page 19 sur 20 Angles orientés - trigonométrie 2. Fonction cosinus On pose f ( x) = cos x L’ensemble de définition de f est D f = ℝ Propriétés particulières de la fonction : On sait que cos(− x) = cos x donc f (− x) = f ( x) La fonction cosinus est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On sait également que cos( x) = cos( x + 2π ) La fonction cosinus est périodique, de période 2π . Il est donc suffisant d’étudier la fonction sur [ 0; π ] pour avoir toute la courbe. Il faudra ensuite effectuer une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées et des translations de vecteurs 2 kπ i . Dérivée de la fonction : Si f ( x) = cos x , alors f ′( x) = − sin x Tableau de variation : x π 0 2 - f ′( x) = − sin x π 1 f ( x) = cos x 0 -1 période = 2π Représentation graphique de la fonction f ( x) = cos x © http://www.bacdefrancais.net Page 20 sur 20 Angles orientés - trigonométrie