DS 1 EXERCICE 1 : On considère la suite (un) définie sur N∗ par : 1

DS 1
TS1/TS2
2011-2012
EXERCICE 1 :
On considère la suite (un ) définie sur N∗ par :

 u1 = 1
2
n+1
 u
un
=
n+1
2n
n
Démontrer que un = n pour tout n ∈ N∗
2
EXERCICE 2 :
La suite (un ) est définie par u0 = −3 et un+1 = 2un + u2n
, pour tout n de N.
1. Calculer u1 et u2 .
2. On donne en annexe le tracé dans un repère de la droite D d’équation y = x.
(a) Tracer dans ce même repère une partie de la courbe représentative de la fonction f définie par f (x) = 2x+x2 .
Donner préalablement la nature de cette fonction et les caractéristiques de sa courbe représentative.
(b) Sur l’axe des abscisses, placer u0 , u1 et u2 en laissant apparents les traits de constructions.
(c) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et la convergence de la suite (un ) ?
3. Démontrer que (un ) > 0, pour tout n ∈ N∗ .
4. En déduire les variations la suite (un ).
EXERCICE 3 :
On considère la suite de nombres réels (un ) définie sur N par :
u0 = −1, u1 =
1
1
et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − un .
2
4
1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. On définit la suite (vn ) en posant, pour tout entier naturel n :
1
vn = un+1 − un .
2
(a) Calculer v0 .
(b) Exprimer vn+1 en fonction de vn .
(c) En déduire que la suite (vn ) est géométrique de raison
1
.
2
(d) Exprimer vn en fonction de n.
EXERCICE 4 :
Calculer les limites suivantes :
lim
1 − 2x
+ 5x − 6
x→3 −x2
x>3
Lycée Bertran de Born
;
lim
1 − x3
+x+1
x→+∞ 2x3
1 sur 2
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y
=
x
Annexe
O
Lycée Bertran de Born
2 sur 2