Exercice n°1 On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par : 1 1 u0 = −1, u1 = et, pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛+2 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 2 4 1). Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique. 1 2). On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 2 a). Calculer v0. b). Exprimer vn+1 en fonction de vn. 1 c). En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison 2 d). Exprimer vn en fonction de n. 𝑢 3). On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : 𝑤𝑛 = 𝑛 𝑣𝑛 a). Calculer w0. 1 b). En utilisant l’égalité : 𝑢𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛 , exprimer wn + 1 en fonction de un et de vn. 2 c). En déduire que pour tout n de N, wn + 1 = wn +2. d). Exprimer wn en fonction de n. 2𝑛−1 4). Montrer que pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛 = 𝑛 2 5). Pour tout entier naturel n, on pose : 𝑆𝑛 = ∑𝑘=𝑛 𝑘=0 𝑢𝑘 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ . +𝑢𝑛 Démontrer par récurrence que pour tout n de lN : 2𝑛 + 3 𝑆𝑛 = 2 − 2𝑛 Exercice n°2 4𝑢 −1 Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par : 𝑢𝑛+1 = 𝑛 . 𝑢𝑛 +2 4𝑥−1 Si f est la fonction définie sur l’intervalle ]−2 ; +1[ par : 𝑓(𝑥) = , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, un + 1 = f (un). 𝑥+2 On donne en annexe 2 (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative C de la fonction f ainsi que la droite d d’équation y = x. 1). a). Sur l’axe des abscisses, placer u0 puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits de construction. b). Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un) ? 2). a). Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un −1 > 0. b). Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1). B). 3). Dans cette question, on se propose d’étudier la suite (un) par une autre méthode, en déterminant une expression de un en fonction de n. 1 Pour tout nombre entier naturel n, on pose : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 −1 1 a). Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique de raison 3 b). Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vn puis un en fonction de n. c). En déduire la limite de la suite (un).