DEVOIR DE SYNTHESE N°2 Modèle Section : 4 ème Sciences Techniques N°01 Épreuve : Mathématiques Durée : 2 h EXERCICE N°1 www.TakiAcademy.com 4ème SC-TECH 3 points Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant la réponse. 1°) lim x − ln ( x + 1) = 0 . x →+ ( ) 2°) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O , i , j , k . On donne le plan P : x − y + z + 2 = 0 , x = 2 + 2t et la droite D : y = 1 − 2t z = 2 + 2t 3°) La fonction F : x avec t IR . On a alors P et D sont parallèles. 1 x ²ln x − x ² est une primitive de f : x 2 x ln ( x ²) sur 0,+ . 6 points L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j , k ) . EXERCICE N°2 On considère les points A (3, 0, 0) ; B (0, 3, 0) ; C (0, 0, 3) et D (2, 2, 2) . 1°) a) Calcules les composantes du vecteur AB AC . b) En déduire que les points A, B et C déterminent un plan P . c) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : x + y + z − 3 = 0 . 2°) a) Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. b) Calculer le volume du tétraèdre ABCD. 3°) a) Montrer que la droite ( OD ) est perpendiculaire à P . b) Donner une représentation paramétrique de la droite ( OD ) . c) Soit H le projeté orthogonal de D sur P . Vérifier que H (1,1,1 ) puis en déduire la distance de D à P. 4°) a) Calculer l’aire du triangle ABC. b) Retrouver le volume du tétraèdre ABCD. EXERCICE N°3 5 points 2 I- Soit f ( x ) = ln ( x ) − ln ( x ) + 1 ; x 0, + et Cf ( ) sa courbe dans un repère orthonormé O , i , j . 1°) a) Déterminer lim+ f ( x ) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu. x →0 1 📱: 23390248 - 29862267 Tous droits réservés © TakiAcademy.com S2M1 4ème SC-TECH b) Déterminer lim f ( x ) et lim x →+ x →+ f (x) x . Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2°) a) Montrer que pour x 0, + , f '( x ) = 2ln ( x ) − 1 x . b) Dresser le tableau de variation de f. 3°) Tracer Cf . II- Soit ABCDEFGH un cube d'arrêt 1. L'espace est muni d'un repère orthonormé direct A, AB , AD , AE . ( ) 1°) Déterminer les coordonnées des points C et F. 2°) Soit 0, + et J ( ln2 ; ln ( ) ; −1) . a) Montrer que le volume de tétraèdre ACFJ est V ( ) = b) Préciser le point J pour lequel, V ( ) est minimal. EXERCICE N°4 1 f ( ) . 6 6 points I– Soit g la fonction définie sur 0,+ par : g ( x ) = x + 1 − x ln x . 1°) Etudier les variations de g . 2°) a) Montrer que l’équation : g( x ) = 0 admet une solution unique dans 0,+ . b) Vérifier que : 3 4 . c) En déduire que g ( x ) 0 si x 0, et g ( x ) 0 si x , + . 1 x ² ln ( x ) . 2 3°) a) Déterminer la fonction dérivée sur 0,+ de la fonction h : x 3 b) Vérifier que pour tout x 0, + , g ( x ) = 1 + x − h'( x ) . 2 c) En déduire la primitive de g qui s’annule en 1 . II– On considère la fonction f définie sur 0,+ par f ( x ) = ( ln ( x ) ) x +1 et soit Cf sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé O , i , j . 1°) Déterminer lim+ f ( x ) et lim f ( x ) . x →+ x →0 2°) a) Monter que f est dérivable sur 0,+ et que : f '( x ) = g( x ) x ( x + 1) ² . b) Dresser le tableau de variation de f . 3°) a) Montrer que f ( ) = 1 . b) Ecrire une équation de la tangente (T ) à 4°) Tracer (T ) et 2 Cf au point A d’abscisse 1 . Cf . 📱: 23390248 - 29862267 Tous droits réservés © TakiAcademy.com S2M1 4ème SC-TECH