AC (onduleurs)

GENIE ELECTRIQUE
Conversion statique d’énergie
Michel Piou
Conversion DC → AC
(onduleurs)
Chapitre III
Edition 24/11/2010
Extrait de la ressource en ligne PowerElecPro sur le site Internet
Table des matières
1 POURQUOI ET COMMENT ? ................................................................................................................. 1
2 CONVERTISSEUR DC ↔ AC ENTRE UNE SOURCE TENSION CONSTANTE « E » ET UNE CHARGE R.L.
SERIE..................................................................................................................................................... 2
3 ONDULEUR DE TENSION MONOPHASE A MODULATION DE LARGEUR D'IMPULSION .............................. 6
4 ONDULEUR DE TENSION MONOPHASE EN DEMI-PONT ......................................................................... 8
5 ONDULEUR DE TENSION AVEC TRANSFORMATEUR A POINT MILIEU (PUSH-PULL) ............................. 10
6 ONDULEUR DE TENSION TRIPHASE EN PONT A UN CRENEAU PAR ALTERNANCE ................................ 11
7 ONDULEURS DE COURANT ................................................................................................................ 13
8 PROBLEMES ET EXERCICES............................................................................................................... 14
Chap 3. Exercice 1 : Onduleur monophasé. ............................................................................... 14
Chap 3. Exercice 2 : Four à induction alimenté par un onduleur autonome .............................. 16
Chap 3. Exercice 3 : Onduleur assisté monophasé..................................................................... 19
9 ANNEXE : LES SERIES DE FOURIER ................................................................................................... 21
9.1 La série de Fourier d’une fonction périodique ........................................................................ 21
9.2 Puissance active dans un dipôle lorsque v(t) et i(t) sont périodiques de même période. ........ 24
9.3 Valeur efficace ........................................................................................................................ 25
10 CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE............................................................................................. 26
11 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS ........................................................................................... 27
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Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes - FRANCE
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 1
1 POURQUOI ET COMMENT ?
Prérequis :
Le premier chapitre « introduction à l’électronique de puissance » et le second chapitre
« Conversion DC→DC. Convertisseurs à liaison directe et indirecte »
Objectifs :
Dans les chapitres précédents, nous avons découvert une démarche pour déterminer la structure des
convertisseurs à liaison directe et indirecte. Nous allons continuer à exploiter cette méthode pour
d’autres situations.
Dans ce chapitre, nous mettrons également l’accent sur l’utilisation des « séries de Fourier ».
Méthode de travail :
L’utilisation des séries de Fourier constituera l’élément nouveau de ce chapitre. On retrouvera les
connaissances à assimiler sur ce sujet dans l’
Annexe : les séries de Fourier.
Un certain nombre de résultats sont présentées dans cette annexe. Il est important de les apprendre
par cœur dès maintenant car ces connaissances sont aujourd’hui fondamentales dans le métier
d’électronicien de puissance.
Comme les précédents, ce chapitre mobilise les connaissances sur les bases de l’électricité. Il est
donc important de le travailler page après page pour acquérir l’entraînement à l’utilisation de ces
lois dans des contextes divers.
Travail en autonomie :
Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questions du cours sont
données en fin de document.
On trouvera des compléments dans la ressource en ligne « PowerElecPro »
Temps de travail estimé pour un apprentissage de ce chapitre en autonomie : 20h
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 2
LA CONVERSION DC ↔ AC
2 CONVERTISSEUR DC ↔ AC ENTRE UNE SOURCE TENSION CONSTANTE « E » ET
UNE CHARGE R.L. SERIE.
(Etude en régime permanent périodique)
ie
Convertisseur
à liaison
directe
E
ic
uc
L
A partir d’une source tension constante
« E », on veut alimenter en régime
alternatif une charge R.L. série.
R La charge R.L. constituant une charge
courant, on utilise un convertisseur à
liaison directe.
La tension u c ( t ) doit vérifier le graphe
suivant (1):
uc
+E
0
to
T
t
-E
a) Etude des courants ic ( t ) et ie ( t ) en régime périodique:
Déterminer la valeur de U c moy , en déduire la valeur de I c moy .
(Réponse 1:)
Le courant ic ( t ) est constitué de morceaux d’exponentielles. Représenter ci-dessous son allure en
régime périodique en indiquant les expressions des asymptotes. (On pose ic ( − t o ) = − Io ).
Le convertisseur à liaison directe conservant la puissance instantanée, en déduire l’allure de ie ( t ) .
(Réponse 2:)
ic
+ Io
0
to
T
t
T
t
- Io
ie
+ Io
0
to
- Io
(T1) L’origine des temps a été fixée de façon à constituer une fonction impaire (ce qui présentera un
intérêt pour la suite).
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 3
b) Etude du convertisseur à liaison directe (réalisant la fonction « onduleur »).
Sélectionner parmi les trois situations suivantes celles qui sont nécessaires à la réalisation de la
tension u c ( t ) . En déduire la structure du convertisseur à mettre en œuvre. (Réponse 3:)
ic
ic
uc
E
Pas d’échange d’énergie
situation N°1
ic
uc
E
Echange d’énergie
situation N°2
uc
E
Echange d’énergie
situation N°3
Sous le graphe de u c ( t ) ci-dessous, attribuer chaque intervalle de conduction à l’un des
interrupteurs (2). (Réponse 4:)
uc
+E
0
to
T
t
-E
(2 ) Le choix des intervalles est établi de façon à équilibrer le fonctionnement des interrupteurs et
simplifier leur commande.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 4
c) Etude harmonique de u c ( t ) et de ic ( t ) .
Les signaux u c ( t ) et ic ( t ) étant périodiques, il est possible d’en calculer la décomposition
harmonique (ou décomposition en série de Fourier).
Cette approche est d’un grand intérêt, car après avoir franchi la difficulté théorique, elle permet de
trouver très rapidement une approximation des grandeurs périodiques recherchées. L’étude plus
précise peut ensuite être effectuée au moyen de logiciels de simulation. (L’expérience montre que
l’utilisation de logiciels de simulation est inefficace si on ne possède pas au préalable une
estimation des grandeurs). Au besoin, on se reportera à l’
Annexe : les séries de Fourier page 21
Pour pouvoir comparer l’étude harmonique avec l’étude des signaux réels, on adopte le cas
particulier suivant :
L
L T
La constante de temps
=
est choisie telle que sa valeur soit de ½ période :
et la valeur de
R
R 2
T
t o est telle que t o = .
8
Par un calcul relativement long, on montre que dans ce cas
•
E
= 3,48.I o .
R
Sachant que ic ( − t o ) = − Io , représenter dans ce cas le graphe de ic ( t ) . (Utiliser les
asymptotes et les tangentes à l’origine). (Réponse 5:)
uc
+E
0
T
to
t
-E
ic
+ Io
0
•
•
T
to
αo
2π
- Io
t
θ
T
), calculer la décomposition en série
4
t
de Fourier de la fonction u c ( t ) en fonction de l'angle α o = ω .t o = 2π . o (en prenant l'origine
T
des temps ou des angles comme indiqué sur le graphe de u c ( t ) ). (On remarque que u c ( t ) est
une fonction impaire et présente une symétrie de glissement).
Dans le cas général (pour to quelconque tel que 0 ≤ t o ≤
Sur un même graphe, représenter l'amplitude crête des trois premiers harmoniques non nuls de
π⎞
⎛
u c ( t ) en fonction de α o . ⎜ 0 < α o < ⎟ .
2⎠
⎝
(Réponse 6:)
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 5
•
La fonction u c ( t ) aux bornes du circuit RL peut donc être remplacée par une somme de
fonctions alternatives sinusoïdales.
Pour déterminer ic ( t ) , il est possible d'utiliser le théorème de superposition (car le réseau
électrique considéré est linéaire) en calculant successivement les harmoniques de ic ( t ) engendrés
par les différents harmoniques de u c ( t ) :
ic
R
L
L
uc1 uc3
uc
ic1
R
ic
R
Lω
ic3
R
ucn
3Lω
icn
R
nLω
...
uc1
uc3
ucn
L'impédance du circuit RL a un module qui croît avec la fréquence. L'amplitude des harmoniques
de u c ( t ) reste limitée à une valeur maximum qui décroît avec la fréquence.
Pour α o =
π
(cas particulier retenu), le courant ic ( t ) est donc proche de son harmonique
4
fondamental (ou premier harmonique).
Toujours avec l'hypothèse
L T
= ,exprimer l'impédance Z1 du dipôle RL à la fréquence du
R 2
fondamental en fonction de R. En déduire le fondamental ic1 ( t ) de la fonction ic ( t ) pour α o =
π
4
en fonction de E et R.
(en prenant l'origine des temps ou des angles comme indiqué sur le graphe de u c ( t ) ).
Sachant que
E
= 3,48.I o , représenter l'allure de ic1 ( t ) sur le même graphe que ic ( t ) .
R
ic1 ( t ) constitue l'approximation de ic ( t ) "au premier harmonique" (on se contente souvent de
cette approximation). (Réponse 7:)
Exprimer l'amplitude Ic3max du second harmonique non nul ic3 ( t ) pour α o =
et R, et calculer
(Réponse 8:)
Ic3max
Ic1max
dans ce cas.
π
4
en fonction de E
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 6
3 ONDULEUR DE TENSION MONOPHASE A MODULATION DE LARGEUR D'IMPULSION
(3) (Etude en régime permanent périodique)
La loi de commande utilisée dans l'onduleur précédent offrait un seul degré de liberté (le paramètre
α o ) (4). Ce degré de liberté était utilisé pour faire varier le fondamental ic1 ( t ) .
ie
ik1
vk1
E
k1
ik’1
vk’1
k’1
ik2
ic
L
R
vk2
uc
k2
ik’2
vk’2
k’2
Si on veut en plus annuler les
harmoniques de rang 3, 5 et 7 (de
façon que le courant ic(t) soit plus
proche d'une sinusoïde), il faut
créer trois nouveaux degrés de
libertés
(5) en effectuant un
découpage plus complexe de la
tension uc(t).
La loi de commande adoptée est donnée sur la feuille de réponse ci-après. (intervalles de fermeture
des interrupteurs en traits forts)
a) Représenter sur cette feuille la tension u c ( ω .t ) . (la variable ω.t (avec ω . =
2π
) a été préférée à
T
la variable "t" pour faciliter les calculs ultérieurs)
b) Exprimer la valeur efficace de u c ( ω .t ) en fonction de θ 1 , θ 2 , θ 3 , θ 4 .et E.
c) Cette tension u c ( ω .t ) peut être obtenue en effectuant la somme de quatre fonctions à un
créneau par alternance: u ca ( θ 1 ,ω .t ) − u cb ( θ 2 ,ω .t ) + u cc ( θ 3 ,ω .t ) − u cd ( θ 4 ,ω .t ) .
u ca ( θ 1 ,ω .t ) est représentée sur la feuille de réponse ci-jointe. Représenter u cb ( θ 2 ,ω .t )
u cc ( θ 3 ,ω .t ) et u cd ( θ 4 ,ω .t ) .
(Réponse 9:)
(3) dit "onduleur MLI" ou "onduleur PWM" (pour Pulse Width Modulation)
(4) degré de liberté: paramètre dont on peut choisir la valeur.
(5) Donc au total quatre degrés de liberté que nous nommerons: θ 1 , θ 2 , θ 3 et θ 4 .
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 7
Onduleur monophasé à modulation de largeur d'impulsion (réponses)
k1
k’1
k2
k’2
uc
E
0
π/2
θ1 θ2 θ3
θ4
3π/2
π
2π
θ = ωt
-E
uca
E
0
θ = ωt
-E
ucb
E
0
θ = ωt
-E
ucc
E
0
θ = ωt
-E
ucd
E
0
-E
θ = ωt
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 8
d) Exprimer la décomposition en série de Fourier de la fonction u ca ( θ 1 ,ω .t ) .
En déduire la décomposition en série de Fourier de u c ( ω .t ) en fonction de θ 1 , θ 2 , θ 3 , θ 4 , E et
2π
ω. =
.
T
Etablir les relations entre θ 1 , θ 2 , θ 3 et θ 4 . permettant d'annuler les harmoniques de rang 3, 5 et 7
de la tension u c ( ω .t ) . (On ne demande que les relations et non pas la résolution de ces équations).
(6) (Réponse 10:)
4 ONDULEUR DE TENSION MONOPHASE EN DEMI-PONT
Nous avons précédemment établi la structure de principe d'un convertisseur à liaison directe
généralisé.
Cette structure permet d’attribuer trois
ie
valeurs à u ch : u ch = + E , u ch = − E ou
u ch = 0 . Lorsque la loi de commande
+
L
k1 ich
k2 est convenable, cette structure peut
R
A
B
devenir un "onduleur en pont".
E
u
ch
-
k’1
A
k1
ich
L
R
uch
k’1
k’2 Nous aurions pu également envisager de
fixer le point B à une valeur à michemin entre le + et le - de la tension
+ E d'alimentation constante E, ce qui
permet, d’attribuer deux valeurs à u ch :
2
E
E
B
u ch = + ou u ch = − .
+ E
2
2
-
2
Lorsque cette structure fonctionne en
onduleur: k1 et k’1 (qui sont
nécessairement complémentaires) sont fermés alternativement pendant la moitié de la période
chacun.
E
par une structure plus économique
Dans ce cas, il est possible de remplacer les deux sources
2
avec une seule alimentation et deux condensateurs C1 et C2 identiques :
(6) Les résultats obtenus par la résolution de ces équations peuvent être calculés à l'avance, puis
implantés dans la mémoire de la commande électronique de l'onduleur. Cela permet de faire varier
le fondamental de la tension uc(ωt) tout en facilitant le filtrage dans le but de rendre le courant ic(t)
presque sinusoïdal.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 9
ie
ik1
E
vk1
k1
A
ik’1
vk’1
ich
L
R
uch
k’1
vc1
vc2
ic1
C1
B
ic2
C2
Nous allons montrer que dans le cas
où la charge est équivalente à une
résistance R en série avec une
inductance L, si la capacité de
C1 = C2 est grande, on a un
fonctionnement
onduleur
avec:
E
vc1 ( t ) ≈ vc 2 ( t ) ≈
.
2
a) En utilisant la loi des nœuds en B, montrer qu'en régime périodique, on a nécessairement
ichmoy = 0 .
b) Représenter vk' 1 ( t ) (en fonctionnement onduleur donc à rapport cyclique 1/2). En déduire que
E
la tension moyenne aux bornes de C2 est: vc 2moy =
.
2
c) Sachant que E est constant, et que C1 = C2, montrer que ich ( t ) = 2.ic 2 ( t ) .
d) ich ( t ) ayant une valeur finie ⇒ ic 2 ( t ) = C 2 .
d [vc 2 ( t )]
E
→ 0 ⇒ vc 2 ( t ) ≈ cte = vc 2moy = .
dt
2
d [vc 2 ( t )]
a une valeur finie ⇒ si C2 est grand:
dt
E
, représenter u ch ( t ) en précisant les intervalles de
2
conduction de k1 et de k’1. (rapport cyclique = 1/2).
e) Dans l'hypothèse où vc 2 ( t ) ≈ cte =
f) Représenter l'allure de son harmonique fondamental.
g) Représenter l'allure de l'harmonique fondamental ich1 ( t ) du courant ich ( t ) si la fréquence f de
fonctionnement est telle que Lω = R (avec ω = 2πf). (Faire attention au déphasage entre le
fondamental de u ch ( t ) et celui de ich ( t ) )
(Réponse 11:)
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 10
5 ONDULEUR DE TENSION AVEC TRANSFORMATEUR A POINT MILIEU (PUSH-PULL)
Voici une autre structure d’onduleur mettant en oeuvre un transformateur. Cette structure permet
d’isolée galvaniquement l’entrée de la sortie.
Sur une période T de fonctionnement,
K et K' sont fermés alternativement
pendant 1/2 période chacun.
ϕ
K
v1
E
N1
2
N2
v'1
N1
2
v2
R
Le bobinage primaire de N1 spires est
constitué de deux demi-bobinages
identiques.
Le bobinage secondaire comporte N2
spires.
K'
Le montage est alimenté par une f.e.m.
E constante
En négligeant les résistances et les inductances de fuite des trois bobinages, représenter l'allure de
v1(t), v’1(t) et v2(t), et préciser les valeurs maximums (Justifier brièvement).
(Réponse 12:)
(Cet onduleur présente l'intérêt de pouvoir fixer l'amplitude de la tension v2 par le choix du
transformateur. Il apporte également une isolation galvanique entre l'entrée et la sortie. Mais il
n'offre que deux valeurs possibles à la tension v2(t)).
Attention, nous venons de procéder à une étude sommaire de ce montage. Dans la réalité, les
inductances de fuite du transformateur peuvent engendrer de fortes surtensions dont il convient de
le protéger les interrupteurs.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 11
6 ONDULEUR DE TENSION TRIPHASE EN PONT A UN CRENEAU PAR ALTERNANCE
Afin de réaliser un onduleur triphasé, on peut utiliser trois onduleurs monophasés en pont, mais
cela nécessite 4x3 interrupteurs. Il est plus économique d'utiliser trois onduleurs monophasés en
demi-pont (2x3 interrupteurs).
K1
K2
K3
charge
triphasée
E
= cte
K'1
K'2
K'3
On constate que les condensateurs sont en parallèles trois par trois. La structure peut donc être
simplifiée:
E
2
c
K1
K2
K3
u12
E
= cte
E
2
u23
K'1
c
K'2
K'3
v1
v2
i1
u31 i2
i3
charge
triphasée
v3
La source V1 étant une source "tension" et le convertisseur étant "direct", la charge est
nécessairement "courant". On a donc nécessairement : K'1 = K1 ; K'2 = K2 ; K'3 = K3 .
Pour obtenir une tension v1 alternative (fonctionnement en onduleur), les durées de fermeture de K1 et
de K'1 doivent être identiques sur une période.
K1 et K'1 sont donc fermés pendant une demi période chacun.
Il en va de même pour K2 et K'2, ainsi que pour K3 et K'3.
Pour obtenir un fonctionnement en "onduleur triphasé", les commutations des interrupteurs de
chaque "bras d'onduleur" (K1,K'1), ('K2,K'2) et (K3,K'3) doivent être décalés de 1/3 de période les
uns par rapport aux autres. On parle d’un onduleur à « trois bras ».
Si on se limite à deux commutations par période pour chaque interrupteur, le cycle des intervalles
de fermeture de ceux-ci est le suivant:
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 12
K1 fermé
K'2fermé
K'1 fermé
K2 fermé
K'3 fermé
v1
0
v2
0
v3
0
u12
K'2 fermé
K3 fermé
K'1 fermé
K2 fermé
K'3 fermé
K3
Déduire des intervalles de
conduction représentés cicontre les tensions v1(t),
v2(t) et v3(t); puis u12(t),
u23(t) et u31(t).
Représenter sur les courbes
l'harmonique fondamental
des tensions u12(t), u23(t)
et u31(t).
t (Réponse 13:)
Hypothèse:
La charge triphasée est
t équilibrée, et son
comportement est tel qu'on
peut négliger les
harmoniques des courants
i1, i2 et i3 autres que les
t fondamentaux i11(t), i21(t)
et i31(t).
Les fondamentaux des
tensions u12, u23 et u31
forment un système
triphasé équilibré et la
t charge est triphasée
équilibrée
0
u23
0
u31
0
K1 fermé
⇒ les fondamentaux des
courants sont triphasés
équilibrés
⇒
i1 ( t ) + i2 ( t ) + i3 ( t ) = 0
t On en déduit d'après la loi
des nœuds que le courant
dans la liaison entre la
charge triphasée et le
diviseur capacitif est nul.
On peut donc supprimer
ce dernier (constitué des
deux condensateurs c).
Remarque: comme pour les
t onduleurs monophasés, il
existe
des
onduleurs
triphasés MLI dans le but
d'améliorer la série de
Fourier
associée
aux
tensions de sortie.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 13
7 ONDULEURS DE COURANT
(on dit aussi "commutateurs de courant")
Les onduleurs "de tension" étudiés précédemment réalisaient des créneaux de tension alternatifs à
partir d'une source de tension continue. Les onduleurs "de courant" réalisent des créneaux de
courants alternatifs à partir d'une source de courant continu:
voici une structure possible (qui pourra être étudiée dans un problème):
L
ie ≈ constante
k1
u1
ve
k2
k3
ic
uc
k4
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 14
8 PROBLEMES ET EXERCICES.
Chap 3. Exercice 1 :
Onduleur monophasé.
ie
ik1
E
vk1
k1
ik3
is
ik2
vk2
k2
vk3
vs
k3
ik4
vk4
L'onduleur en pont ci-contre associe une
« source tension » produisant une tension
continue « E » de valeur constante avec une
« source courant » produisant un courant
alternatif sinusoïdal « is » (cf courbes ci-jointes).
Les interrupteurs sont supposés parfaits.
k4
a) Ce convertisseur est-il à « liaison directe »?
(Justifier en quelques mots).
b) Compte tenu du graphe de v s (t ) et de i s (t ) , attribuer les différents intervalles de conductions
(représentés sous les courbes ci-jointes) aux interrupteurs concernés.
A partir de l’analyse des contraintes auxquelles doivent répondre les interrupteurs, on obtient, par
une méthode hors programme, le schéma suivant :
ie
Chaque interrupteur peut être réalisé avec un
thyristor associé à une diode en antiparallèle. Il peut
également être réalisé avec un transistor équipé
is
a
a
d’une commande automatique de blocage lors de
E
l’annulation du courant le traversant, associé à une
diode en antiparallèle.
vs
a
a
c) Représenter, sur la feuille de réponse, le graphe du courant ie ( t ) et de la puissance instantanée
échangée par la source E (avec deux couleurs différentes).
Estimer, sans calcul, la puissance active dans la source « E ».
L’énergie électrique échangée dans ce convertisseur va-t-elle de la source « E » vers la source
« is » ou l’inverse ? (justifier en quelques mots).
d) Représenter, sur la feuille de réponse, une estimation du fondamental v s1 ( t ) de v s (t ) et
préciser la valeur du déphasage de v s1 ( t ) par rapport à i s (t ) .
On sait que, si la tension et le courant dans un dipôle sont périodiques de même période T, la
puissance active dans ce dipôle s’exprime par :
P = Vmoy .I moy + V1eff .I 1eff .cos(ϕ 1 ) + V2eff .I 2eff .cos(ϕ 2 ) + ... + Vneff .I neff .cos(ϕ n ) + ... et on
sait que l’amplitude des harmoniques non nuls de v s (t ) est de valeur
4.E
⎛ π⎞
. cos⎜ n. ⎟ .
n.π
⎝ 6⎠
En déduire la puissance active dans la source « is » en fonction de E et Imax. sans utiliser le
calcul intégral.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 15
Imax
+E
vs
0
is
θ
-E
ie et pe
0
θ
vs1
0
θ
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 16
Chap 3. Exercice 2 :
Four à induction alimenté par un onduleur autonome
(d'après un BTS électrotechnique)
(On étudiera uniquement le régime permanent).
-A-
Un four à induction est équivalent à un circuit composé d'une inductance pure L = 60 µH en série
avec une résistance R = 10 mΩ . Ce four en série avec un condensateur de capacité 1080 µF est
alimenté par un onduleur monophasé. Celui-ci est alimenté par une batterie de force électromotrice
E = 100 V. Il est constitué de quatre interrupteurs fonctionnant simultanément deux par deux avec
un rapport cyclique de 1/2 et une fréquence de 600 Hz.
k3
Les quatre interrupteurs sont
bidirectionnels, tels que :
k 2 = k1 et k 4 = k 3
k4
Les interrupteurs sont fermés
alternativement chaque demi-période,
comme indiqué ci-dessous
ik1
four
k1
L
R
i
E
C
u
k2
k1 et k4 fermés
k1 et k4 fermés
k2 et k3 fermés
k1 et k4 fermés
k2 et k3 fermés
t
0
I Etude de la tension u(t) et du courant i(t).
On prendra pour instant origine la fermeture de k1 et k4.
1.1 Représenter la tension u(t) aux bornes de la charge RLC. (et réserver la place pour i(t), ik1(t),
vk1(t) et is(t)).
1.2 En prenant pour instant origine la fermeture de k1 et k4, cette tension u(t) a pour développement
en série de Fourier l'expression suivante:
u (t ) =
4.E
π
. sin (ω.t ) +
4.E
4.E
4.E
. sin (3.ω.t ) +
. sin (5.ω.t ) +
. sin (7.ω.t ) + ...
3π
5π
7π
avec ω = 2π.f, et f = 600 Hz.
Exprimer la valeur efficace du premier harmonique du courant i, ainsi que la valeur efficace de son
harmonique 3. En déduire que l'on peut considérer que le courant i(t) dans le circuit est
pratiquement sinusoïdal et égal à son premier harmonique. Exprimer ce premier harmonique i1(t) en
prenant pour origine l'instant de fermeture de k1 et k4.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 17
II Etude de l'onduleur autonome.
2.1 Représenter i(t), ik1(t), vk1(t) .
A partir de l’analyse des contraintes auxquelles doivent répondre les interrupteurs, on obtient, par
une méthode hors programme, le schéma suivant :
is
Chaque interrupteur peut être réalisé avec
un thyristor associé à une diode en
antiparallèle. Il peut également être
réalisé avec un transistor (ou un IGBT)
L
a
a
R
C
i
équipé d’une commande automatique de
E
blocage lors de l’annulation du courant le
u
traversant, associé à une diode en
antiparallèle.
a
a
2.2 Représenter is(t) et calculer la puissance active fournie par la batterie E..
Comment peut-on vérifier le graphe de is(t) en utilisant la notion de convertisseur à liaison directe ?
-Bt
k3
Les quatre interrupteurs sont
bidirectionnels, tels que :
k 2 = k1 et k 4 = k 3
k4
Les interrupteurs sont fermés
alternativement chaque demi-période,
comme indiqué ci-dessous
ik1
four
k1
R
i
E
L
u
k2
k1 et k4 fermés
k2 et k3 fermés
k1 et k4 fermés
k1 et k4 fermés
k2 et k3 fermés
0
t
Alimentation directe du four (le condensateur C étant supprimé) ; f = 600 Hz.
I Etude de u(t) et i(t).
On prendra pour instant origine la fermeture de k1 et k4.
1.1 Représenter la tension u(t) aux bornes de la charge RL. (et réserver la place pour i(t), ik1(t),
vk1(t) et is(t)). En déduire les équations différentielles relatives à chaque demi-période permettant
de déterminer la loi du courant i(t) dans le four. En déduire que les morceaux d'exponentielles qui
constituent i(t) peuvent être approchés par leur tangente à l'origine.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 18
1.2 Calculer Imoy.
1.3 représenter i(t) et calculer sa valeur maximum.
II Etude de l'onduleur autonome.
2.1 Représenter ik1(t), vk1(t) .
A partir de l’analyse des contraintes auxquelles doivent répondre les interrupteurs, on obtient, par
une méthode hors programme, le schéma suivant :
is
Chaque interrupteur peut être réalisé
avec un transistor (ou un IGBT) équipé
d’une
commande
automatique
L
d’amorçage
lors
de
la
conduction
de la
R
b
b
i
diode en antiparallèle.
E
u
b
b
2.2 Représenter is(t) et calculer la puissance active fournie par la batterie E.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 19
Chap 3. Exercice 3 :
Onduleur assisté monophasé.
On désire transférer de l'énergie électrique entre une source "courant" continue et une charge
"tension" alternative sinusoïdale (ligne d'alimentation alternative sinusoïdale )
L'étude sera faite en régime permanent périodique de période T.
La source "courant" est réversible en tension et non réversible en courant (ie ≈ Io = cte >0). La
charge "tension" alternative sinusoïdale uc est réversible en courant et en tension, d'où l'utilisation
d'une structure en pont :
Pour qu'il y ait transmission de puissance moyenne, ic(t) doit nécessairement avoir un de ses
harmoniques de même fréquence que uc(t). On commandera donc les interrupteurs de façon que
l'harmonique fondamental de ic(t) soit de même fréquence que uc(t): f = 1/T
L
ie ≈ Io = constante > 0
ik1
R
ve
k1
vk2
Justifier les affirmations suivantes:
vk3
ic
ik2
U
.
a)
vk1
ik3
uc
k2
k3
ik4
vk4
k4
k 3 = k1 et k 4 = k 2
b) L'inductance L est suffisamment grande pour qu'on puisse considérer ie(t) ≈ Io = Cte.
Montrer en considérant toutes les combinaisons possibles d'interrupteurs passants, que ic(t) ne peut
prendre que quelques valeurs; que l'on précisera.
c)
La loi de commande adoptée pour les interrupteurs est la suivante:
k1 et k4 fermés sur une même demi période. k2 et k3 fermés sur l'autre demi période.
Représenter ic(t), ainsi que l'allure de son harmonique fondamental ic1(t) en précisant les intervalles
de fermeture des différents interrupteurs. (ne pas utiliser la feuille de réponse pour cette question)
(
)
r
r
d) Soit ϕ1 l'angle orienté: I c1 , Uc . Représenter sur la feuille de réponses ci-jointe: vk1(t), ic(t)
et ik1(t) pour ϕ1= - π/3 (attention au déphasage avec la tension uc(t). (uc(t) est déjà représentée sur
la feuille de réponse). Le convertisseur qui répond au cahier des charges est le suivant :
Le schéma ci-contre est repris sur la
L
feuille de réponses d'une manière
différente; Le compléter avec les
thyristors k1, k2, k3 et k4
R
k1 i c
k3
U
k2
uc
k4
e)
Représenter ve(t) sur la feuille
de réponse ci-jointe.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 20
+ Io
ic ik1
t
0
- Io
Ucmax vk1
uc
0
Ucmax
t
ve
uc
0
t
ie ≈ Io = constante > 0
ic
U
ve
uc
R
L
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 21
9 ANNEXE : LES SERIES DE FOURIER
9.1 La série de Fourier d’une fonction périodique
En électricité, on sait assez bien étudier le régime continu et le régime alternatif sinusoïdal.
Or une fonction périodique est égale à sa valeur moyenne plus une somme de fonctions alternatives
sinusoïdales (7)
Cette somme est appelée "série de Fourier" de la fonction :
•
Toute fonction f ( t ) périodique de période T (fréquence f =
1
) peut se mettre sous la forme:
T
f ( t ) = Fmoy + [ A1 . cos(ω .t ) + B1 . sin(ω .t )] + [ A2 . cos(2.ω .t ) + B2 . sin(2.ω .t )]
+ [ A3 . cos(3.ω .t ) + B3 . sin(3.ω .t )] + ... + [ An . cos(n.ω .t ) + Bn . sin(n.ω .t )] + ...
avec ω = 2π . f =
et avec An =
2π
T
2 to + T
f ( t ).cos(n.ω .t ).dt
T ∫to
et
Bn =
2 to + T
f ( t ). sin(n.ω .t ).dt
T ∫to
(to quelconque)
Si f ( t ) est une fonction paire ⇒ f ( t ). sin(n.ω .t ) est une fonction impaire.
T
En choisissant to = −
et sachant que l’aire sous la courbe d’une fonction impaire sur
2
•
+
T
2
T⎤
2
⎡ T
⎢⎣− 2 , + 2 ⎥⎦ est nulle ⇒ Bn = T ∫ T f ( t ). sin(n.ω .t ).dt = 0 ⇒ : Bn = 0
−
2
... et f ( t ).cos(n.ω .t ) est une fonction paire ⇒ An =
•
4
T
+
∫0
T
2
f ( t ).cos(n.ω .t ).dt
(
)
Si la composante alternative de f ( t ) est une fonction impaire ⇒ f ( t ) − Fmoy .cos(n.ω .t )
est une fonction impaire
+
⇒
T
2
(
+
)
T
2
+
T
2
2
2
2
f (t ) − Fmoy . cos(n.ω.t ).dt = ∫
f (t ). cos(n.ω.t ).dt − ∫
Fmoy . cos(n.ω.t ).dt
∫
T
T
T
T
T
T
−
−
−
2 44244443 144
2 44244443
2 44442444444
144
3 144
An
0
⇒
0
An = 0
(7) …sous réserve que la somme converge (ce qui sera généralement le cas en électricité).
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 22
•
(
Si la composante alternative de f ( t ) : f alt ( t ) = f ( t ) − Fmoy
)
présente une symétrie de
(c’est
à
dire
si
glissement
Exemple:
T
f alt ( t + ) = − f alt ( t ) ), alors tous les
2
termes de la série de Fourier de rang
pair sont nuls:
t
A2 = A4 = A6 = … = 0
B2 = B4 = B6 = … = 0
•
Autre écriture d’une série de Fourier :
Le terme général [An .cos(n.ω .t ) + Bn . sin(n.ω .t )] est la somme de deux fonctions alternatives
sinusoïdales de même fréquence. Cette somme peut donc s’effectuer en utilisant les complexes ou
les vecteurs de Fresnel. On obtient alors :
B
An . cos(n.ω .t ) + Bn . sin(n.ω .t ) = An 2 + Bn 2 . cos(n.ω .t − ϕ n ) avec ϕ n = arctg n
An
La série de Fourier peut donc s’écrire :
f ( t ) = Fmoy + F1max . cos(ω .t − ϕ 1 ) + F2max .cos(2.ω .t − ϕ 2 )
+ F3max . cos(3.ω .t − ϕ 3 ) + ... + Fnmax . cos(n.ω .t − ϕ n ) + ...
La fonction f 1 ( t ) = F1max . cos(ω .t − ϕ 1 ) est appelée 1er harmonique
(ou harmonique fondamental).
La fonction f n ( t ) = Fnmax . cos(n.ω .t − ϕ n ) est appelée harmonique de rang n.
Les amplitudes Fmax des harmoniques sont indépendantes de l'origine choisie sur
l'axe des abscisses, on aura donc intérêt à choisir celle-ci de façon à rendre la fonction
étudiée paire ou impaire lorsque c'est possible.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 23
On démontre que F1max et ϕ 1 sont tels que:
to + T
∫to
[ f ( t ) − Fmoy − F1max .cos(ω .t − ϕ 1 )]2 .dt est minimum.
On peut dire que la fonction f 1 ( t ) = F1max . cos(ω .t − ϕ 1 ) est la sinusoïde qui suit "au plus près" la
composante alternative de la fonction f(t)...
Ou que la fonction f ' ( t ) = F1max .cos(ω .t − ϕ1 ) + Fmoy suit "au plus près" la fonction f ( t ) (8)
Sur les deux exemples suivants, représenter une estimation de la valeur moyenne et de la somme
« valeur moyenne + fondamental » de la fonction périodique. (Réponse 14:)
u
t
i
0
t
(8) Cette formulation n'est pas très "mathématique", mais elle peut nous aider à donner une
dimension plus intuitive à la notion de série de Fourier, et à situer le fondamental d'une fonction
périodique avant tout calcul.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 24
9.2 Puissance active dans un dipôle lorsque v(t) et i(t) sont périodiques de même
période.
i
v
Si la tension et le courant dans un dipôle sont périodiques de même période T, ils
2.π
peuvent être décrits par des séries de Fourier avec la même pulsation: ω =
T
v( t ) = Vmoy + V1max .cos(ω .t + α 1 ) + V2max .cos(2.ω .t + α 2 ) + ... + Vnmax .cos(n.ω .t + α n ) + ...
i( t ) = I moy + I 1max .cos(ω .t + β 1 ) + I 2max .cos(2.ω .t + β 2 ) + ... + I nmax .cos(n.ω .t + β n ) + ...
En développant l’expression de la puissance active P =
1 to + T
v( t ).i( t ).dt , on obtient
T ∫to
l’expression suivante:
P = Vmoy .I moy + V1eff .I 1eff .cos(ϕ 1 ) + V2eff .I 2eff .cos(ϕ 2 ) + ... + Vneff .I neff .cos(ϕ n ) + ...
avec Vneff =
Vnmax
2
, I neff =
inmax
2
et ϕ n = α n − β n (déphasage de l'harmonique n de la tension par rapport à l'harmonique n du
courant.
Cette relation s’ajoute à celles qui ont déjà été rencontrées dans les cours précédents. Elle doit être
connue par cœur.
Retrouver à partir de l'expression générale de P les cas particuliers
* v( t ) = Vo = cons tan te
* i( t ) = I o = cons tan te
* v( t ) et i( t ) alternatifs sinusoïdaux de même période
* v( t ) alternatif sinusoïdal et i( t ) périodique de même période
* i( t ) alternatif sinusoïdal et v( t ) périodique de même période
(Réponse 15:)
On peut démontrer que dans le cas où la tension et le courant sont périodiques de même période, le
P
P
facteur de puissance (9) k = =
du dipôle est toujours inférieur ou égal à 1 (ce
S Veff .I eff
résultat sera admis):
(9 ) Sur certains appareils de mesure, le facteur de puissance est désigné par les lettres « pf » pour
« power factor ».
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 25
9.3 Valeur efficace
Par définition, la valeur efficace d’une fonction f ( t ) est « la Racine carrée de la valeur Moyenne
de la fonction f ( t ) au Carré ». (En anglais : Racine se dit Root, Moyenne se dit Mean et Carré se
dit Square) d’où le sigle « RMS » pour les appareils qui mesurent les valeurs efficaces.
Feff =
1 to + T
f ( t ) 2 .dt
∫
to
T
Si la série de Fourier de f ( t ) est :
f ( t ) = Fmoy + F1max . cos(ω .t − ϕ 1 ) + F2max . cos(2.ω .t − ϕ 2 ) + ... + Fnmax .cos(n.ω .t − ϕ n ) + ...
On peut montrer que
Feff =
avec Fneff =
Fnmax
2
(Fmoy )2
( ) + (F )
+ F1eff
2
2eff
2
( )
+ ... + Fneff
2
+ ...
.
Cette relation doit être connue par cœur.
De la relation précédente, on déduit que Feff ≥ Fmoy et que l’écart entre Feff et Fmoy croit avec
l’importance des harmoniques.
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 26
10 CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE.
Comme les précédents, ce chapitre mobilise les connaissances sur les bases de l’électricité. Il est
donc important de le travailler page après page pour acquérir l’entraînement à l’utilisation de ces
lois dans des contextes divers.
La réponse aux questions suivantes permet de vérifier si certaines connaissances sont acquises,
mais elle ne permet pas de vérifier l’aptitude à les utiliser dans une situation inédite.
a) Représenter le schéma de principe (avec des interrupteurs) d’un onduleur monophasé en pont,
d’un onduleur monophasé en demi-pont, d’un onduleur monophasé à transformateur à point
milieu et d’un onduleur triphasé à trois bras.
b) Que signifient les sigles « MLI » et « PWM » ?
c) Quel est l’intérêt d’une modulation de largeur d’impulsion ?
d) Quel est le théorème des réseaux électriques linéaires qui est mis en œuvre pour calculer le
courant dans un dipôle linéaire à partir de la série de Fourier de la tension à ses bornes ?
e) Que signifie « approximation au 1er harmonique » ? Quel est son intérêt ?
f) Quelle est la propriété remarquable de la série de Fourier d’une fonction paire ?
g) Quelle est la propriété remarquable de la série de Fourier d’une fonction dont la composante
alternative est impaire ?
h) Qu’est-ce qu’une « symétrie de glissement » pour un signal périodique ? Quelle est la propriété
remarquable de la série de Fourier d’une fonction dont la composante alternative présente une
symétrie de glissement ?
i) Comment peut-on estimer graphiquement le fondamental d’une série de Fourier ?
j) Donner l’expression de la puissance active dans un dipôle en régime périodique, à partir des
séries de Fourier de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse. Définir clairement les
termes employés.
k) Comment se simplifie l’expression précédente si la tension est alternative sinusoïdale de même
fréquence que le fondamental du courant ?
l) Quelle est la relation qui lie la valeur efficace d’un signal et sa série de Fourier ?
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 27
11 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS
Réponse 1:
En considérant l’aire sous la courbe u c ( t ) sur un intervalle d’une période, on constate que
U c moy = 0
d (ic ( t ))
+ R.ic ( t ) , on en déduit que U c moy = 0 + R.I c moy . (car la valeur
dt
moyenne d’une somme est la somme des valeurs moyennes, et la valeur moyenne de la tension aux
bornes d’une inductance est nulle)
Sachant que u c ( t ) = L.
Donc I c moy = 0 Retour
Réponse 2:
E
R
ic
+ Io
0
to
T
t
to
T
t
- Io
ie
+ Io
0
Retour
Réponse 3:
i1
ik1
k1
E
ik2
k2
ik3
ic
L
R
uc
k3
ik4
k4
Sachant que la tension u c ( t ) doit prendre
les trois valeurs : 0, + E et – E, on doit
utiliser le convertisseur en pont.
Retour
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 28
Réponse 4:
uc
+E
0
T
to
t
-E
k1
k1
k2
k3
k2
k3
k4
k4
Par une méthode hors programme, on peut montrer que la structure du convertisseur réalisant ce
cahier des charges pour une fonction onduleur est la suivante :
b
E
b
ic
L
R
b
uc
b
Retour
Réponse 5:
E
uc
to
0
T – to
2
T
t
-E
ic
Io
0
Retour
T
t
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 29
Réponse 6:
u c ( t ) est une fonction impaire ⇒ An = 0
u c ( t ) présente une symétrie de glissement ⇒ Les harmoniques de rang pair sont nuls.
Bn
2 π −αo
2.E
E . sin(n.θ ).dθ =
= .∫
.[− cos(nπ − nα o ) + cos(nα o )]
n = 1,3,5... π α o
n.π
Bn
2.E
4.E
.[cos(nα o ) + cos(nα o )] =
=
. cos(nα o )
n = 1,3,5... n.π
n.π
⇒ u c (t ) =
⎤
cos(3α o )
cos[(2.k + 1)(α o )]
4. E ⎡
.⎢cos(α o ). sin (ω.t ) +
. sin (3.ω.t ) + ... +
. sin[(2.k + 1)ω.t ] + ...⎥
(2.k + 1)
3
π ⎣
⎦
On voit ci-dessous la « carte harmonique » de u c ( t ) . On constate, par exemple, que si on règle
4E
π
Amplitude de l’harmonique 1
Amplitude de l’harmonique 3
4E
5π
4E
3π
0
α o à la valeur
π
6
Amplitude de l’harmonique 5
π/2
αo
, il n’y a pas d’harmonique 3.
L’harmonique N°1 (ou harmonique fondamental) (ou « fondamental ») est la sinusoïde qui suit la
courbe u c ( t ) « au plus près ». Voir ci-après.
On constate qu’en sommant l’harmonique 1 avec l’harmonique 3 et l’harmonique 5, on approche la
courbe u c ( t ) . Voir ci-après.
E
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 30
Fondamental
(harmonique 1)
uc
to
0
αo
T – to
2
π – αo
T
t
2π
θ
T
t
-E
E
harmonique 1
+ harmonique 3
uc
harmonique 1
+ harmonique 3
+ harmonique 5
0
-E
Retour
Réponse 7:
L T
L.ω T .ω
= ⇔
=
= π ⇒ Z 1 = R + j .L.ω = R.(1 + j .π ) = R. 3 ,3.e j .1,262
R 2
R
2
(
)
⎛π ⎞
.cos⎜ ⎟
Uc1
π
⎝ 4 ⎠ = 0 ,273. E .e − j .1,262 ⇒ ic ( t ) = 0 ,273. E . sin(ω .t − 1,262 )
Ic1 =
=
1
R
R
Z1
R. 3,3.e j .1,262
1
424
3
4E
(
)
0 ,95.Io
ic
Io
0
Fondamental
(harmonique 1)
T
t
On constate graphiquement que ic1 ( t ) constitue une bonne approximation de ic( t ) en régime
permanent périodique. C’est ce qu’on appelle « l’approximation au premier harmonique ».
Cette approximation permet d’évaluer assez rapidement un signal avant d’utiliser éventuellement
un logiciel de simulation pour une description plus précise.
Retour
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 31
Réponse 8:
L T
L.3ω T .3ω
= ⇔
=
= 3π
R 2
R
2
(
Z 3 = R + j .L.3.ω = R .(1 + j .3.π ) = R. 9 ,48.e j .1,464
)
4E
⎛ 3.π ⎞
. cos⎜
⎟
E
E
3.π
4 ⎠
⎝
=
= − 0,0316. .e − j.1,464 ⇒ ic3 (t ) = − 0,0316. . sin (3ω.t − 1,464 )
Ic3 =
R
R
Z3
R. 9,48.e j.1,464
14243
Uc3
(
)
0,11.Io
L’amplitude de l’harmonique 3 représente 11% de l’amplitude du fondamental.
On constate qu’en prenant en compte les harmoniques 1 et 3 on approche un peu plus ic( t ) mais
on pouvait, sans doute, se contenter d’une approximation au premier harmonique.
ic
Io
0
Retour
harmonique 1
+ harmonique 3
T
t
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 32
Réponse 9:
k1
k’1
k2
k’2
uc
E
0
π/2
θ1 θ2 θ3
θ4
3π/2
π
2π
θ = ωt
-E
uca
E
0
θ = ωt
-E
ucb
E
0
θ = ωt
-E
ucc
E
0
θ = ωt
-E
ucd
E
0
-E
Uceff =
Retour
θ = ωt
(uc ( t )2 )moy = E. π2 .(θ 2 − θ1 + θ 4 − θ 3 )
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 33
Réponse 10:
Dans le paragraphe Etude harmonique de u c ( t ) et de ic ( t ) . Page 4, on a déjà rencontré une
fonction du type u ca ( t ) dont on a calculé sa série de Fourier. Donc :
⇒ u ca ( t ) =
⎤
cos(3θ 1 )
cos[(2.k + 1)(θ 1 )]
4.E ⎡
.⎢cos(θ 1 ). sin(ω .t ) +
. sin(3.ω .t ) + ... +
. sin[(2.k + 1)ω .t ] + ...⎥
(2.k + 1)
3
π ⎣
⎦
⇒ u c ( t ) = u ca ( t ) − u cb ( t ) + u cc ( t ) − u cd ( t ) =
⎤
cos(3θ 1 )
cos[(2.k + 1)(θ 1 )]
4.E ⎡
.⎢cos(θ 1 ). sin(ω .t ) +
. sin(3.ω .t ) + ... +
. sin[(2.k + 1)ω .t ] + ...⎥
(2.k + 1)
π ⎣
3
⎦
−
⎤
cos(3θ 2 )
cos[(2.k + 1)(θ 2 )]
4.E ⎡
. sin(3.ω .t ) + ... +
. sin[(2.k + 1)ω .t ] + ...⎥
.⎢cos(θ 2 ). sin(ω .t ) +
(2.k + 1)
π ⎣
3
⎦
⎤
cos(3θ 3 )
cos[(2.k + 1)(θ 3 )]
4.E ⎡
.⎢cos(θ 3 ). sin(ω .t ) +
. sin(3.ω .t ) + ... +
. sin[(2.k + 1)ω .t ] + ...⎥
(2.k + 1)
π ⎣
3
⎦
⎤
cos[(2.k + 1)(θ 4 )]
cos(3θ 4 )
4.E ⎡
. sin[(2.k + 1)ω .t ] + ...⎥
. sin(3.ω .t ) + ... +
−
.⎢cos(θ 4 ). sin(ω .t ) +
(2.k + 1)
π ⎣
3
⎦
+
La série de Fourier de u c ( t ) est donc :
⇒ uc ( t ) =
4.E
π
.[cos(θ 1 ) − cos(θ 2 ) + cos(θ 3 ) − cos(θ 4 )]. sin(ω .t )
4.E
.[cos(3θ 1 ) − cos(3θ 2 ) + cos(3θ 3 ) − cos(3θ 4 )]. sin(3.ω .t )
3.π
4.E
.[cos(5θ 1 ) − cos(5θ 2 ) + cos(5θ 3 ) − cos(5θ 4 )]. sin(5.ω .t )
+
5.π
4.E
+
.[cos(7θ 1 ) − cos(7θ 2 ) + cos(7θ 3 ) − cos(7θ 4 )]. sin(7.ω .t ) + ...
7.π
+
Pour que les harmoniques 3, 5 et 7 soient nuls il faut que θ 1 , θ 2 , θ 3 et θ 4 vérifient les équations
suivantes :
[cos(3θ 1 ) − cos(3θ 2 ) + cos(3θ 3 ) − cos(3θ 4 )] = 0
[cos(5θ 1 ) − cos(5θ 2 ) + cos(5θ 3 ) − cos(5θ 4 )] = 0
[cos(7θ 1 ) − cos(7θ 2 ) + cos(7θ 3 ) − cos(7θ 4 )] = 0
Retour
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 34
Réponse 11:
a) ich ( t ) = ic 2 ( t ) − ic1 ( t ) ⇒ I ch moy = I 2moy − I c1moy
En régime périodique, le courant moyen dans un condensateur est nul, donc : I ch moy = 0 − 0 = 0 .
vk'1 ( t )
b)
E
0
k1 fermé
Vk'1moy =
E
⎡ d (i ( t )) ⎤
+ Vc 2moy = 0 + 0 + Vc 2moy
= R.I chmoy + ⎢ L. ch
⎥
2
dt
⎦ moy
⎣
c) ich ( t ) = ic 2 ( t ) − ic1 ( t ) = C 2 .
ich ( t ) = 2.C 2 .
E/2
0
t
k’1 fermé k1 fermé
d (v ( t ))
d (E − vc 2 ( t ))
d (vc 2 ( t ))
− C1 .
= (C 2 + C1 ). c 2
dt
dt
dt
d (vc 2 ( t ))
= 2.ic 2 ( t )
dt
u ch ( t )
d) et e)
A la fréquence du fondamental,
l’argument de l’impédance du
Fondamental de u ch ( t )
t
k1 fermé
dipôle RL est de
k’1 fermé k1 fermé
4
(car
Lω = R par hypothèse).
Le fondamental de u ch ( t ) est
Fondamental de ich ( t )
0
π
donc déphasé de
t
π
4
par rapport
au fondamental du courant
ich ( t ) .
Par une méthode hors programme, on peut montrer que la structure du convertisseur réalisant ce
cahier des charges pour une fonction onduleur est la suivante :
b
E
b
Retour
ic
L
R
uc
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 35
Réponse 12:
D’après la loi de Faraday :
N d (ϕ ( t ))
N d (ϕ ( t ))
d (ϕ ( t ))
; v'1 ( t ) = 1 .
; v2 ( t ) = N 2 .
v1 ( t ) = 1 .
2
dt
2
dt
dt
v2 ( t )
v1( t ) = v'1 ( t )
Donc v1 ( t ) = v'1 ( t )
et v 2 ( t ) =
E
0
t
k1 fermé
Retour
k’1 fermé k1 fermé
2.N 2
. v1 ( t )
N1
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 36
Réponse 13:
K1 fermé
K'2fermé
K'1 fermé
K2 fermé
K'3 fermé
E/2
K'2 fermé
K3 fermé
K'1 fermé
K2 fermé
K'3 fermé
K3
v1
0
t
- E/2
E/2
K1 fermé
v2
0
t
- E/2
E/2
v3
0
t
- E/2
E
u12
0
t
-E
E
u23
0
t
-E
E
0
-E
u31
t
PowerElecPro Chapitre 3 - Conversion DC → AC . Onduleurs - 37
K1
K2
K3
u12
E
= cte
u23
K'1
K'2
i1
u31 i2
i3
K'3
Schéma de principe à trois bras d’onduleurs
Retour
Réponse 14:
u
Valeur moyenne
t
i
0
t
Retour
Réponse 15:
* v( t ) = Vo = cons tan te : P = Vo .I moy + 0 + 0 + ... + 0 + ... = Vo .I moy
* i( t ) = I o = cons tan te : P = Vmoy .I o + 0 + 0 + ... + 0 + ... = Vmoy .I o
* v( t ) et i( t ) alternatifs sinusoïdaux de même période ;
P = 0 + V1eff .I 1eff .cos(ϕ 1 ) + 0 + ... + 0 + ... = Veff .I eff . cos(ϕ )
* v( t ) alternatif sinusoïdal et i( t ) périodique de même période :
P = 0 + V1eff .I 1eff .cos(ϕ 1 ) + 0 + ... + 0 + ... = Veff .I 1eff .cos(ϕ 1 )
* i( t ) alternatif sinusoïdal et v( t ) périodique de même période :
P = 0 + V1eff .I 1eff .cos(ϕ 1 ) + 0 + ... + 0 + ... = V1eff .I eff .cos(ϕ 1 )
Retour
charge
triphasée