DS n˚1 : Nombres complexes - correction

ULCO-IUT GTE
Durée : 2H
2012-2013
DUT FI 1
DS n˚1 : Nombres complexes - correction
Il sera tenu compte de la qualité de rédaction.
Tout calcul injustifié, même s’il conduit à un résultat juste, ne sera pas pris en compte.
Exercice 1.
Soit z = x + iy l’écriture algébrique de z.
a) Résoudre l’équation z 2 = −7 − 24i.
(
(
2
2
x
−
y
=
−7
x2 − y 2 = −7
z 2 = x2 − y 2 + 2ixy et on est ramené à résoudre le système
⇔
2xy = −24
x2 y 2 = 122
2
2
ceci conduit à x = 9 et y = 16 le produit xy étant négatif, il y a deux solutions : z = ±(3 − 4i)
b) Vérifier l’exactitude des solutions trouvées.
z 2 = 9 − 16 − 24i = −7 − 24i
c) Résoudre l’équation z 4 = −7 − 24i.
Posons W = z 2 de sorte que W 2 = −7 − 24i. De la première question, nous savons que cela entraı̂ne
W = ±(3 − 4i) et donc, soit z 2 = 3 − 4i (1), soit z 2 = −3 + 4i (2).
Remarquons que l’équation (2) peut s’écrire (iz)2 = 3−4i (
de sorte qu’il nous suffit de résoudre équation (1).
x2 − y 2 = 3
qui a pour solutions z = ±(2−i).
En procédant comme pour a), nous obtenons le système :
2xy = −4
Finalement l’équation z 4 = −7 − 24i admet 4 solutions :
z1 = 2 − i, z2 = −z1 , z3 = iz1 , z4 = −iz1 .
Exercice 2. Résoudre les équations suivantes. On exprimera les solutions sous forme algébrique et polaire :
a) z 2 − (1 + i)z + i = 0 Le disriminant de cette équation est :
3π
∆ = (1 + i)2 − 4i = −2i = 2ei 2 . Les deux racines carrées du discriminant sont ainsi les nombres
√ 3π
(1 + i) ± (1 − i)
δ± = ± 2ei 4 = ±(1 − i). Les deux solutions sont finalement les nombres z± =
, c’ est à
2
dire z+ = 1 et z− = i.
b) z 2 − 2z + 2 = 0
Le disriminant de cette équation est :
∆ = −4 ; ses deux racines carrées sont δ± = ±2i.
2 ± 2i
Ainsi, les deux solutions sont les nombres z± =
, c’ est à dire z+ = 1 + i et z− = 1 − i.
2
c) z 3 − z 2 + z − 1 = 0 On remarque que z0 = 1 est une solution évidente. Ceci nous conduit à rechercher
deux réels a et b tels que z 3 − z 2 + z − 1 = (z − 1)(z 2 + az + b). En développant puis en procédant par
identification, on trouve z 3 − z 2 + z − 1 = (z − 1)(z 2 + 1). Finalement, z0 = 1 z+ = i et z− = −i sont les
trois solutions recherchées.
1
2
Exercice 3.
Exprimer cos5 (x) comme une combinaison linéaire des 6 réels cos(kx), avec 0 ≤ k ≤ 5.
5
ix
1 (eix + e−ix )5
e + e−ix
5
=
. Mais, on vérifie :
On peut écrire cos (x) =
2
16
2
5
5
4
3 2
2 3
4
5
(a + b) = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b ce qui, en regroupant les termes conjugués aboutit à
5 cos(x) 5 cos(3x) cos(5x)
cos5 (x) =
+
+
8
16
16
Exercice 4.
Soit z ∈ C. On définit Z = (1 − z)(1 − iz).
Montrer que l’ensemble des nombres complexes z tels que Z ∈ R est la réunion de deux droites dont on
déterminera les équations et que l’on représentera graphiquement.
Z ∈ R si et seulement si Z = Z̄, c’est à dire lorsque (1 − z)(1 − iz) = (1 − z̄)(1 + iz̄). En développant, cela
s’écrit 0 = (z − z̄) + i(z + z̄) − i(z 2 + z̄ 2 ) (1).
Soit z = x + iy, l’écriture algébrique de z.
L’équation (1) s’écrit 0 = 2i(x + y) − 2i(x2 − y 2 ) ⇔ 0 = (x + y)(1 − x + y). Il s’agit de la réunion des droites
d’équation y = −x et y = x − 1.