1 Calculs dans C 2 Forme trigonométrique

Ensemble des nombres complexes
Exercices
1
Calculs dans C
Exercice 1 : Donner la forme algébrique des nombres complexes proposés :
1. z1 = (1 + i)(2 − 3i)(1 + i)
2. z2 = (2 + i)2 (1 − 2i)
4 − 6i
3. z3 =
3 + 2i
4
3 − 6i
+
4. z4 =
3+i
3−i
Exercice 2 : Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib ; calculer la partie réelle et la partie
imaginaire des nombres complexes suivants en fonction de a et b :
1. z1 = 2z 2 − 2z + 4
2. z2 = 2z̄ − 2 + 6i. Existe-t-il des nombres complexes z tels que z2 = z ?
5z − 2
3. z3 =
z−1
Exercice 3 : Résoudre dans C les équations suivantes (donner les solutions sous forme algébrique) :
1. 2z + 1 + i = iz + 2
z+1
= 2i
2.
z−1
z̄ − 1
3.
=i
z+1
Exercice 4 : Résoudre dans C les systèmes proposés :
3z + z ′ = 2 − 5i
1.
z − z ′ = −2 + i
3z + z ′ = 5 + 2i
2.
−z + z ′ = 1 − 2i
2
Forme trigonométrique
Exercice 5 : Trouver une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :
1. z1 = (1 − i)2
√
1−i 3
2. z2 =
1+i
√
3. z3 = (1 − i 3)(1 + i)
√
(1 − i 3)9
4. z4 =
(1 + i)1 2
Exercice 6 : Trouver une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :
π 6
π
1. z1 = cos + i sin
8
8
π
π
2. z2 = (1 + i) cos − i sin
9
9 √
2π
2π
+ i cos
3. z3 = − 3 sin
3
3
3
Représentation graphique
Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, représenter l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité
proposée :
1. |z| = 3
2. Re(z) = −2
3. Im(z) = 1
π
4. arg(z) = + 2kπ où k∈ Z
6
2π
+ kπ où k∈ Z
5. arg(z) = −
3
4
Forme exponentielle
Exercice 8 : Dans chacun des cas suivants, écrivre z sous forme exponentielle et en déduire la forme
1
algébrique de z̄ et de :
z
√
√
1. z1 = (2 3 + 6i)(1 − 2i)
6
2. z2 =
1+i
√
3. z3 = (1 + i 3)4
π
4. z4 = −12ei 4
√
1 i 3
Exercice 9 On pose z1 = −1 − i et z2 = +
;
2
2
z1
:
1. Ecrire
z2
a. sous forme algébrique ;
b. sous forme exponentielle.
2. En déduire le module et un argument de
3. En déduire les valeurs exactes de cos
z1
.
z2
11π
11π
et de sin
.
12
12
Exercice 10 z est le nombre complexe 1 + eiθ , avec θ dans l’intervalle ] − π; π] ;
θ
i θ2
−i 2
i θ2
1. a. Vérifier que z = e
e
+e .
b. En déduire le module et un argument de z.
1 + cos θ + i sin θ
; en utilisant les résultats précédents, trouver le module et un argument
2. On pose Z =
cos θ + i sin θ
de Z.
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Equations du second degré à coefficients réels
Exercice 11 : Résoudre dans C chacune des équations suivantes :
1. z 2 − 5z + 9 = 0
2. z 2 − 2z + 3 = 0
Exercice 12
1. Résoudre dans C l’équation
z 2 − 2z + 2 = 0
Préciser le module et un argument de chacune des solutions.
2. En déduire les solutions dans C de l’équation
(−iz + 3i + 3)2 − 2(−iz + 3i + 3) + 2 = 0
Exercice 13 On considère le polynôme :
P (z) = z 4 − 19z 2 + 52z − 40
où z est un nombre complexe.
1. Déterminer deux réels a et b tels que
P (z) = (z 2 + az + b)(z 2 + 4z + 2a)
2. Résoudre alors P (z) = 0 dans C .
Exercice 14 :
1. f est la fonction définie sur R par
f (x) = x3 + 5x2 + 5x + 4
Calculer f (−4) et en déduire que −4 est l’unique solution réelle de l’équation f (x) = 0.
2. On pose
P (z) = 2z 4 + (10 − i)z 3 + (10 − 5i)z 2 + (8 − 5i)z − 4i
a. L’équation P (z) = 0 admet une solution réelle et une seule. Utiliser la question 1. pour la trouver.
b. L’équation P (z) = 0 admet une solution imaginaire pure. Laquelle ? Déterminer deux réels a et b
tels que pour tout nombre complexe z :
P (z) = (2z − i)(z + 4)(z 2 + az + b)
c. Résoudre alors P (z) = 0.