Université de Savoie 2003–04 Licence ST-1 Mathématiques Série 2 : Nombres complexes (1 séance). √ Exercice 1. On considère les deux nombres complexes z1 = 1 + i et z2 = 3 + i. Déterminer leurs modules et leurs arguments, les écrire sous forme exponentielle puis les représenter π π z1 graphiquement. Déduire cos et sin en utilisant . 12 12 z2 Exercice 2. Pour θ ∈ [0, 2π], on pose z = sin 2θ + i(1 + cos 2θ). Déterminer les module et argument de z en fonction de θ. z . 1−i 1. Calculer Re Z, Im Z, Re Z 2 , Im Z 2 en fonction de x et y. Exercice 3. Soient z = x + iy ,(x, y) ∈ R2 et Z = 2. Quelle relation doit lier x et y pour que Z 2 soit réel ? 3. Déterminer z tel que Re Z = 5 et Z 2 ∈ R. 4. Résoudre Z 2 = 4. Exercice 4. 5πi Représenter graphiquement e 12 et 2e −iπ 4 . Exercice 5. Trouver les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants : (1 + 2i)2 − (1 − i)3 (2 + i)3 + (1 − i)2 et . (3 + 2i)3 − (2 + i)2 1 + i + (2i − 1)2 Exercice 6. 1. z2 Résoudre dans C les équations suivantes : + z + 1 = 0; 2. (4 + 2i)z 2 − 2(3 + 2i)z + 2 − i = 0. 3. z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 4. z 2 − 2(1 + ia2 )z + (1 − a4 ) = 0, a ∈ R. (1 − i)p , où n et p sont des entiers naturels. (1 + i)n Exercice 7. Calculer z = Exercice 8. Résoudre : z n = 1 + ia , a ∈ R (poser a = tan α). 1 − ia Exercice 9. Trouver √tous les nombres complexes solutions de l’équation z 5 = 1. Même question avec z 3 = (1 + i 3)/2. Existe-t-il des solutions communes de ces deux équations ? Exercice 10. √ √ 1. Résoudre dans C l’équation : z 2 − (1 + 2)z + 2 = 0. 1 1 √ 2. Résoudre dans C les équations : z + = 1, et z + = 2. z √z √ √ 3. Soit P (z) le polynôme tel que : P (z) = z 4 − (1 + 2)z 3 + (2 + 2)z 2 − (1 + 2)z + 1. √ √ 1 2 P (z) 1 Vérifier que : ∀z ∈ C∗ , = (z + ) − (1 + 2)(z + ) + 2. z2 z z En utilisant ce qui précède, résoudre l’équation P (z) = 0. Exercice 11. On pose X = appartiennent à C. z − z0 1 − zz 0 z + z0 , Y = i , Z = où les nombres z et z 0 1 + zz 0 1 + zz 0 1 + zz 0 1. Montrer que X 2 + Y 2 + Z 2 = 1. 2. Montrer que X, Y et Z sont réels, si et seulement si, z 0 = z̄.