1 Caractéristiques de la conique Afin de mieux spécifier les

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Caractéristiques de la conique
Afin de mieux spécifier les propriétés de la conique qui est décrite par le point M
autour du point A, on fait dans la suite intervenir une constante d’intégration liée
à l’énergie, en appliquant le théorème de l’énergie cinétique tel qu’il est matérialisé
par l’équation (I.9).
1
~ dt = 0
(II.36)
d mV 2 − F~ .V
2
~
~ sa vitesse par rapport à A (V
~ = dAM
Ici m désigne la masse du point M, V
) et F~
dt
désigne l’ensemble des forces qui s’exercent sur M et qui se réduisent ici à la seule
force de gravitation exercée par A. D’après (II.12) et (II.16) on peut écrire :
~
Km
d2 AM
~
= − 2 ~u
F =m
2
dt
r
(II.37)
ce qui permet d’écrire, en intégrant (II.36) et avec l’aide de (II.17) :
1
mV 2 +
2
Z
1
Km
Km dr
. .dt = mV 2 −
=E
2
r dt
2
r
(II.38)
où E désigne une constante. Posons :
h=
E
m
(II.39)
h est généralement appelée la constante des forces vives. (II.38) peut encore s’écrire :
V 2 = 2h +
2K
r
(II.40)
En utilisant (II.17), et (II.22) on peut exprimer la formule du carré de la vitesse
en coordonnées polaires, en ne faisant plus intervenir le temps t :
V2 =(
~ 2 dr 2 + r 2 dθ2
dAM
C 2 (dr 2 + r 2 dθ2 )
) =
=
dt
dt2
r 4 dθ2
(II.41)
2
L’association de (II.40) et (II.41) donne ainsi :
dr 2
1
2K
2h
+ 2 − 2 − 2 =0
4
2
r dθ
r
C r C
(II.42)
Pour résoudre cette équation, on effectue le changement de variable suivant :
u=
K
1
− 2
r C
1 dr
du
= − 2( )
dθ
r dθ
(II.43)
Ainsi, (II.42) est transformée en :
(
du 2
2h
K2
) + u2 −
+
dθ
C4
C2
=0
(II.44)
On suppose que la quantité entre parenthèses soit positive (autrement l’équation
n’admet pas de solution réelle) et on l’appelle H 2 . On obtient ainsi :
(
du 2
) = H 2 − u2
dθ
(II.45)
La résolution de cette équation est immédiate :
u = H cos(θ − θ0 )
(II.46)
où θ0 est une constante. En utilisant (II.43), cela donne :
1
K
= 2 1+
r
C
s
2C 2 h
1+
cos(θ − θ0
K2
(II.47)
On retrouve ainsi l’équation d’une conique dont le foyer est A, et dont les propriétés
vont dépendre des différentes constantes impliquées dans l’équation.
Paramètres de la conique
Pour mieux comprendre les propriétés de cette conique, on fait intervenir les
paramètres suivants :
3
p=
e=
s
C2
K
2C 2 h
1+
=
K2
(II.48)
s
1+
2hp
K
v = θ − θ0
(II.49)
(II.50)
Avec l’aide de ces substitutions, l’équation (II.47) devient :
r = AM =
p
1 + e cos v
(II.50)
p est appelé paramètre de la conique, e son excenticité. Son demi-grand axe
a s’obtient à l’aide de ces deux paramètres, suivant l’équation :
a=
p
(1 − e2 )
(II.51)
. L’angle v est appelé anomalie vraie. On remarque que la distance r est minimale
lorsque v = 0. M se trouve alors au périastre. La distance au périastre, souvent
appelée q, est donc :
p
= a(1 − e)
(II.52)
rmin = q =
1+e
A l’opposé, la distance r maximale, appelée Q, s’obtient lorsque le point M se trouve
à l’apoastre, ce qui correspond à v = π :
rmax = Q =
p
= a(1 + e)
1−e
(II.53)
Nature de la conique
La nature de la conique dépend uniquement de la valeur de h. C’est une ellipse,
une parabole ou bien une hyperbole selon que h est négatif, nul ou bien positif. En
effet, d’après (II.40), on a :
2h = V 2 −
2K
2K
= V02 −
r
r0
(II.54)
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où r0 et V0 sont respectivement le rayon vecteur et le module de la vitesse à un
instant quelconque t0 pris pour origine. Appelons Vp la quantité :
Vp =
s
2K
r0
(II.55)
Les cas de figure sont alors les suivants :
• Si V0 < Vp , h < 0 et la trajectoire est elliptique
• Si V0 = Vp , h = 0 et la trajectoire est parabolique
• Si V0 > Vp , h > 0 et la trajectoire est hyperbolique
On vérifie bien que l’équation (II.54) ne peut être vérifiée lorsque r → +∞, dans
le cas elliptique (h < 0), et que le cas limite (V → 0 quand r → +∞) correspond
au cas parabolique.
Relation entre demi-grand axe a et période de révolution T .
On définit ici T la période de révolution de M autour de A. L’aire d’une ellipse
étant égale à :
√
Aellipse = πab = πa2 1 − e2
(II.56)
D’après la définition de la constante des aires C et des égalités (II.23) et (II.24),
on obtient :
Z T
√
C
CT
(II.57)
dt =
= πa2 1 − e2
2
0 2
Soit :
√
2π 2 √
C=
a 1 − e2 = na2 1 − e2
(II.58)
T
Avec :
2π
(II.59)
n=
T
n, qui représente en fait la vitesse angulaire moyenne de M, est appelée le moyen
mouvement. Mais d’après (II.48),
C 2 = Kp = Ka(1 − e2 )
(II.60)
5
En élevant au carré les membres de l’équation (II.58), puis en identifiant avec
(II.60), on en déduit :
a3
4π 2 2 = K
(II.61)
T
Cette équation permet d’expliquer la troisième loi de Képler. En effet, si on
considère que chaque planète en interaction gravitationnelle avec le Soleil est une
illustration du problème de deux corps, le rapport du cube de son demi-grand axe
a3 sur le carré de son temps de révolution T 2 est égal à K qui dans ce cas de figure
vaut K = k(MS + mP ) où MS est la masse du Soleil et mP celle de la planète. Or ce
rapport en première approximation peut être supposé constant, égal à K ≈ kMS ,
et donc indépendant de la planète considérée, ceci du fait que la masse du Soleil est
bien plus grande que celle des planètes. On arrive alors à la conclusion que le rapport
du cube des demi-grands axes sur le carré des temps de révolution est constant, dans
les limites de l’approximation ci-dessus.
Enoncé des lois de Képler
Dans le chapitre précédent, on a vu que dans la cas du problème relatif des deux
corps que sont le Soleil de masse MS et une planète du système solaire de masse
mP , la constante K est égale à K = k(MS + mP ) ≈ kMS . Le point origine A
correspond au Soleil, alors que le point M dont on étudie le mouvement correspond
à la planète. Considérer le problème des deux corps dans ce cas revient à négliger
les perturbations gravitationnelles réciproques entre la planète et les autres planètes
du systême solaire. Dans les limites des approximations ci-dessus, et en vertu des
chapitres précédents, on peut énoncer les trois fameuses lois de Képler :
• Première loi de Képler
Les trajectoires des planètes autour du Soleil sont des courbes planes,
et leurs rayons vecteurs décrivent des aires proportionnelles au temps.
• Seconde loi de Képler
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Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe un
des foyers.
• Troisième loi de Képler
Les carrés des temps de révolution sidérale T des planètes autour
du Soleil sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes de leurs
orbites :
a3
= Cte
T2
II.6 Etude du mouvement elliptique
Jusqu’à maintenant la résolution des équations du problème des deux corps nous
a permis de déterminer la nature des trajectoires, selon la valeur de h, sans tenir
compte du mouvement de M sur cette trajectoire. Dans ce nouveau chapitre, on
considère le mouvement elliptique (h < 0) et on s’attache à déterminer le mouvement
du point M autour de A, ce dernier occupant un des deux foyers de l’ellipse.
Relations entre anomalie vraie et anomalie excentrique
On se réfère à la figure 1. On appelle O le centre de l’ellipse, P le périastre,
Γ le cercle principal de l’ellipse, autrement dit le cercle de centre O et de rayon
le demi-grand axe a. La droite (A, x) portée par les points O et P est appelée la
ligne des apsides (autrement dit la droite joignant le périastre à l’apoastre). On
dispose en outre de la relation : c = OA = ae. Définissons maintenant le point M ′
du cercle principal tel que la projection de M ′ sur (A, x) soit la même que celle de
M, et tel que M et M ′ soient situés du même côté par rapport à (A, x). L’angle
u défini par u = (OP, OM ′) est appelé anomalie excentrique. Appelons H la
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projection commune de M et de M ′ sur l’axe (A, x). On sait que la distance HM ′
√
est proportionnelle à HM, le rapport de proportionnalité étant 1 − e2 :
√
HM = HM ′ 1 − e2
(II.62)
Les projections de AM sur (A, x) et (A, y), respectivement AH et AI, peuvent alors
s’écrire à l’aide de deux jeux de paramètres, à savoir (r, v) d’une part, et (a, e, E)
d’autre part :
x = AH = r cos v = OH − OA = a cos u − ae = a(cos u − e)
√
y = AI = r sin v = HM = a 1 − e2 sin u
(II.63)
(II.64)
En prenant le carré des expressions ci-dessus, on trouve aisément :
r = a(1 − e cos u)
(II.65)
Et en substituant cette expression dans (II.63) on trouve une relation liant cos v et
cos u :
cos u − e
(II.66)
cos v =
1 − e cos u
Puis en utilisant la relation des angles moitiés :
tan2
v
1 − cos v
=
2
1 + cos v
(II.67)
On trouve, après substitution de cos v donnée par (II.66) :
v
1+e
tan ( ) =
2
1−e
2
u
1 − cos u
1+e
=
tan2 ( )
1 + cos u
1−e
2
(II.68)
Or, v et u sont toujours situés dans le même demi-plan, donc leurs moitiés sont
toujours situées dans lemême quadrant, et leur signe est le même. Donc on peut
transformer l’équation ci-dessus en :
v
tan( ) =
2
s
1+e
u
tan( )
1−e
2
(II.69)
8
En plus de l’anomalie vraie et de l’anomalie excentrique, introduisons une troisième
anomalie appelée anomalie moyenne M, définie de la manière suivante à l’aide du
moyen mouvement : n = 2π/T :
M=
2π
(t − t0 ) = n(t − t0 )
T
(II.70)
Ici on fait coincider le temps initial t0 avec l’instant du passage au périastre P .
Le moyen mouvement représente la vitesse angulaire moyenne de M, tandis que
l’anomalie moyenne serait l’angle parcouru pendant l’intervalle de temps t − t0 en
supposant que le mouvement soit circulaire uniforme, de période T . De plus, on sait
que par définition : p = a(1 − e2 ) et, en transformant l’équation (II.49),
2h =
K(e2 − 1)
p
(II.71)
La substitution de p dans cette dernière équation donne donc :
h=−
K
2a
(II.69)
En utilisant la définition de n, (II.58) et (II.60) deviennent :
C=
√
2π 2 √
a 1 − e2 = na2 1 − e2
T
(II.73)
Et :
n2 a3 = K
(II.74)
De plus,(II.54) nous donne :
2K
2 1
V = 2h +
=K
−
r
r a
2
Lois du mouvement : l’équation de Képler.
(II.75)
9
Connaı̂tre le mouvement de M revient à connaı̂tre à tout instant la valeur de u
(ou de v) en fonction du temps t, ou l’inverse. Utilisons la définition de C constante
des aires. L’aire balayée par le rayon vecteur AM entre les instants t0 (passage au
périastre) et t, autrement dit l’aire de la surface limitée par l’arc d’ellipse P M, les
segments rectilignes AM et AP , est égale à :
AP M A =
1
2
√
√
1
1
Cdt = na2 1 − e2 (t − t0 ) = Ma2 1 − e2
2
2
t0
Z
t
(II.76)
Or l’aire de la surface limitée par l’arc de cercle P M ′ , les segments rectilignes AM ′
√
et AP se déduit de la précédente d’un facteur 1/ 1 − e2 .
1
AP M ′A = a2 M
2
(II.77)
De plus, on peut décomposer cette dernière comme l’aire de la surface (OP M ′ )
limitée par le segment circulaire P M ′ , et les segments OP et OM ′ , ôtée de l’aire du
triangle (OM ′ A). Ce dernier a une hauteur de HM ′ = a sin u, et une base OA = ae.
Donc :
1
1
(II.78)
AP M ′A = AOP M ′ − AOM ′A = a2 u − a2 e sin u
2
2
En identifiant (II.77) avec (II.78), on trouve alors :
1 2
1
1
a M = a2 u − a2 e sin u
2
2
2
(II.79)
u − e sin u = M = n(t − t0 )
(II.80)
Soit :
Cette équation liant le temps à l’anomalie excentrique est appelée l’ équation de
Képler.