Feuille d`exercices n˚4 Nombres complexes et trigonométrie (partie 1)

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Feuille d’exercices n˚4
Nombres complexes et trigonométrie (partie 1)
Exercice 13 (Équations trigonométriques)
1. Soit (E) l’équation
√
2
cos(3x) = −
2
d’inconnue x.
(a) Résoudre l’équation (E) sur R.
(b) Résoudre (E) sur ] − π, π].
2. Résoudre l’équation
cos(x) = sin(5x)
d’inconnue x ∈ R.
3. Résoudre l’équation
2 sin2 (x) + 5 cos(x) = 4
d’inconnue x ∈ R.
4. Résoudre l’équation
sin(2x) = cos2 (x)
d’inconnue x ∈ ] − π, π].
Exercice 14 (Inéquations trigonométriques)
1. Résoudre l’inéquation
cos(x) ≤
1
2
d’inconnue x ∈] − π, π].
2. Résoudre l’inéquation
sin(2x) ≥
i π πi
d’inconnue x ∈ − , .
2 2
3. Résoudre l’inéquation
√
3
2
√
2
cos(x) ≤
2
d’inconnue x ∈ R.
4. Résoudre l’inéquation
cos2 (x) ≤ sin2 (x)
d’inconnue x ∈ [0, π].
5. Résoudre l’inéquation
i π πi
d’inconnue x ∈ − , .
2 2
6. Résoudre l’équation
cos(x) + cos(3x) ≥ 0
sin(2x) + sin(4x) = sin(3x)
d’inconnue x ∈ R.
1
Exercice 15 (Primitives de produits de fonctions mettant en jeu cosinus et sinus)
1. Donner une primitive de la fonction f : R → R ; x 7→ cos(4x) sin(5x).
2. Donner une primitive de la fonction g : R → R ; x 7→ sin(3x) sin(7x).
Exercice 16 (Transformation d’une différence de deux cosinus en un
2
1. Soit (p, q) ∈ R . Écrire cos(p) − cos(q) comme un
≪
≪
produit ≫)
produit ≫.
2. Résoudre l’équation
cos(7x) − cos(5x) = sin(6x)
d’inconnue x ∈ R.
Exercice 17 (Tangente de l’angle moitié)
θ
est bien défini et montrer que :
1. Soit θ ∈ ] − π, π[. Justifier que le nombre t = tan
2
cos(θ) =
1 − t2
1 + t2
et
sin(θ) =
2t
.
1 + t2
2. Soit (E) l’équation
x2 + y 2 = z 2
d’inconnue (x, y, z) un triplet de nombres entiers naturels non nuls. Donner dix solutions de (E).
Exercice 18 (Résolution d’une équation mettant en jeu des modules et forme trigonométrique)
Résoudre le système d’équations
1
|z| = = |1 + z|
z
d’inconnue z ∈ C et représenter graphiquement les solutions.
2