Feuille d`exercices n˚13 Calculs dans l`ensemble des nombres

TB1 − 2011-2012
Mathématiques
L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
Feuille d’exercices n˚13
Calculs dans l’ensemble des nombres complexes
√
2
2
+i
. Calculer z n pour tout n ∈ N.
Exercice 196 : Soit z = −
2
2
√
Exercice 197 : Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
z1 = (1 − i)(1 − 2i)(1 − 3i)
;
z2 = (2 + i)5
;
z3 =
1
12 − 5i
;
z4 =
1−i
3 + 2i
√
3
1
.
Exercice 198 : On pose j = − +
2
2
1. Calculer j 2 .
2. En déduire les relations suivantes.
a)
1 + j + j2 = 0
b) j 3 = 1
c)
1
= j2 = j
j
Exercice 199 : Débusquer l’intrus parmi les nombres complexes suivants.
z1 = (2 − i)3
z2 = 8 + i
z3 =
9 + 13i
i−1
z4 = 2 − 11i
z5 =
4
9
+
1+i
i
3−i
3+i
et β =
. Démontrer sans calcul que α + β est un nombre réel et que
5 + 7i
5 − 7i
α − β est un nombre complexe imaginaire pur.
Exercice 200 : Soit α =
Exercice 201 : Résoudre dans C les équations suivantes.
1
=3+i
z+i
(E1 ) : (3 + 5i)z = 1 − z
(E2 ) :
(E4 ) : iz = 1 − i
(E5 ) : (iz + 1)(z + 3i) = 0
(E3 ) :
z+1
= 2i
z−1
(E6 ) :
1 + 2iz
z−1
=i
1 + 2z
z+3
Exercice 202 : Résoudre dans C le système linéaire (S) défini par :
(1 + i) z1 − 2i z2
= 2+i
(S) :
.
2i z1
− (1 − i) z2 = 3i
1
Exercice 203 : Montrer que la matrice A =
i
2−i
1
1−i
∈ M2 (C) est inversible et calculer A−1 .
Exercice 204 : Résoudre dans C les équations suivantes.
(E1 )
(E3 )
(E5 )
(E7 )
F
:
:
:
:
z 2 + 106 = 0
z2 = √
z−1
z 2 − 3 z + 31 = 0
(z 2 + 1)(z 2 + 2) . . . (z 2 + 10) = 0
(E2 )
(E4 )
(E6 )
(E8 )
:
:
:
:
z2 = z + 1
z 2 + 2z + 5 = 0
z 2 − 4z + 13 = 0
(z 2 − 6z + 10)(z 2 + 3z + 1) = 0
Exercice 205 : Le but de cet exercice est de résoudre dans C l’équation
√
√
√
(E) : z 4 − (1 + 2) z 3 + (2 + 2) z 2 − (1 + 2) z + 1 = 0.
1. Résoudre dans C l’équation :
√
√
z 2 − (1 + 2) z + 2 = 0.
p
√
√
√
√
√
On pourra utiliser l’identité 3 − 2 2 = 2−1, qui découle du fait que 2−1 > 0 et ( 2−1)2 = 3−2 2.
2. Résoudre dans C les équations :
z+
1
=1
z
et
z+
1 √
= 2.
z
3. Pour tout z ∈ C, on pose
P (z) = z 4 − (1 +
√
2) z 3 + (2 +
√
2) z 2 − (1 +
P (z)
1
en fonction de Z = z + .
2
z
z
(b) Résoudre l’équation (E).
(a) Soit z ∈ C∗ . Exprimer
2
√
2) z + 1.