Trigonométrie
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Trigonométrie 7. Equations trigonométriques simples. Opérations de base. Il faut toujours s'arranger afin de revenir à l'une de ces 4 opérations de base. Sin x = sin a Cos x = Cos a Tg x = tg a Cotg x = cotg a La résolution d'une équation revient à rechercher la ou les valeurs possibles pour l'angle x. Résolution de ces équations de base. L'équation de base admet 2 solutions : sin x = sin a x = a + (k x 360°) ou x = 180° - a + (k x 360°) Ou k représente un réel entier (0, 1, 2, 3, 4,…) auquel on donnera successivement toutes ces valeurs lors de la recherche finale des solutions. L'équation de base admet 2 solutions : cos x =cos a x = a + (k x 360°) ou x = -a + (k x 360°). L'équation de base tg x = tg a admet une seule solution : x = a + (k x 180°) L'équation de base cotg x= cotg a admet une seule solution : x = a + (k x 180°) Changements de signes. Pour changer le signe d'un sinus ou d'un cosinus, il suffit d'ajouter 180° à l'angle. Ceci revient à travailler avec son angle supplémentaire. Exemple : - sin 30° = sin (30°+180°) = sin 210° Pour changer le signe d'une tangente ou d'une cotangente, il suffit de "transférer" le signe. Ceci revient à travailler avec son angle opposé. Exemple : - tg 30° = tg (- 30°) Exemples résolus. 1) Equation : cos x = ½. Il faut donc s'arranger pour arriver à cos x = cos a. Le membre de gauche (cos x) est déjà en cos x. Le membre de droite (1/2) doit être transformé en cos. Dans la table page 8 on trouve les valeurs de sin, cos, tg et cotg pour les angles (6. Valeurs numériques des nombres….) On y lit que ½ correspond au cosinus de l'angle 60°. Donc nous pouvons remplacer ½ par cos 60°. Ce qui nous donne : cos x = cos 60°. Nous sommes bien parvenu à une équation de base décrite ci-dessus (cos x = cos a). Cette équation amdet 2 solutions : x = a = (k x 360°) et x = - a + (k x 360°) Donc nous écrirons : x = 60° + (k x 360°) et x = -60° + (k x 360°) Donnons toutes les valeurs possibles pour k et calculons : X = 60° + (0 x 360°) = 60° x = - 60° + (0 x 360°) = - 60° X = 60° + (1 x 360°) = 420° x = - 60° + (1 x 360°) = 300° X = 60° + (2 x 360°) = 780° x = - 60° + (2 x 360°) = 660° Etc… Etc… Pour écrire la solution, il ne faut retenir que les valeurs comprises entre 0° et 360°. Ces valeurs sont 60° et 300°. Ces deux valeurs représentent les valeurs possibles de l'angle x pour un cos 60° (soit ½). Si on contrôle à la machine : 60° => cos = 0,5 et 300° => cos = 0,5. On constate également qu'il ne sert à rien de donner à k des valeurs qui vont faire dépasser la limite de 360°. 2) Equation : tg x/3 = -1 Il faut modifier le membre de gauche pour arriver à une équation de base (tg x = tg a) Dans le tableau page 8, on voit que 1 est la tangente de l'angle 45°. Donc 1 = tg 45° et donc – 1 = - tg 45°. Que l'on doit écrire tg (-45°) (voir ci-dessus : changement de signes) On écrira donc : tg x/3 = tg (-45°). Cette équation de base admet une seules solution : x = a + (k x 180°) On écrira donc x/3 = -45° + (k x 180°) On effectue x = -45° x 3 + (k x 180° x 3) X = - 135° + (k x 540°) En donnant les valeurs successives à k , on trouve les solutions suivantes (on arrête dès que la réponse dépasse 360°) X = - 135° + (0 x 540°) = - 135° X = - 135° + (1 x 540°) = 405° Les solutions sont donc – 135° et 405 ° (Dans le cas de tg et cotg, on peur prendre des angles négatifs et supérieurs à 360°. 3) Equation : sin (4 x + 180°) = sin (x – 90°). On a déjà la forme d'une équation de base, à savoir sin x = sin a x étant représenté par (4x + 180°) et a étant représenté par (x – 90°). Les 2 solutions admises sont x = a + (kx 360°) et x = 180° - a + (k x 360°) On écrira : 4x + 180° = (x – 90°) + (k x 360°) et 4x + 180° = 180° - (x – 90°) + (k x 360°) 4x = - 180° + x – 90° + k.360° 4x = -180° + 180° - x + 90° + k.360° 4x – x = - 270° + k.360° 4 x + x = 90° + k.360° 3x = - 270° + k.360° 5x = 90° + k.360° x = - 270°/3 + k. 360°/3 x = 90°/5 + k.360°/5 et enfin x = - 90° + k.120° x = 18° + k.72° en donnant les valeurs successives pour k (jusque max 360°) on trouve x = - 90° + 0 = - 90° x = 18° + 0 = 18° x = -90° + 120° = 30° x = 18° + 72° = 90° x = -90° + 240° = 150° x = 18° + 144° = 162° x = -90° + 360° = 270° x = 18° + 216° = 234° x = -90° + 480° = 390° x = 18° + 288° = 306° x = 18° + 360° = 378° on arrête ici car les réponses sont > 360° Donc les solutions comprises entre 0° et 360° sont, dans l'ordre : 18°, 30°, 90°, 150° , 162° , 234°, 270° et 306°. Exercices proposés. Sin (3a + 120°) = √3/2 √3/2 = sin de l'angle 60° sin (3a + 120°) = sin 60° solutions : x = a + k.360° et x = 180° - a + k.360° 3a + 120° = 60° + k.360° 3a + 120° = 180° - 60° + k.360° 3a = 60° - 120° + K.360° 3a = - 120° + 180° - 60° + k.360° 3a = - 60° + k.360° 3a = k.360° a = -60°/3 + k.360°/3 a = k.360°/3 a = -20° + k.120° a = k.120° En donnant à k toutes les valeurs successives (0,1,2,…) on trouve comme solutions a = -20°,100°,220° et 340° a = 0°, 120°, 240° et 360° En ne retenant que celles comprises entre 0° et 360° : (0°, 100°, 120°, 220°, 240°, 340°, 360°)
