Nombres complexes

7
Nombres complexes :
Forme trigonométrique et
forme exponentielle
La forme algébrique des nombres complexes permet de mettre en relation tout point du
plan complexe dont on connaît les coordonnées cartésiennes avec un nombre complexe .
La forme trigonométrique permettra de créer le même lien pour un point M donné par ses
coordonnées polaires .
 


Dans tout ce chapitre,  O , u ; v  désigne un repère orthonormé direct du plan .


1. Forme trigonométrique d’un nombre complexe :
1.1. Existence :
________________________________________
PROPRIETE
Soit z un nombre complexe non nul . Alors il existe un réel strictement positif r et un réel
 tel que : z  r (cos   i sin  ) .
Démonstration :

Soit z   
quelconque et a  i b sa forme algébrique .
Soit M le point d’affixe z . Comme z est différent de 0, M est distinct de O . Il admet
donc un couple de coordonnées polaires que l’on nommera ( r ; ) .Rappelons que
r  a ²  b² et que  est un réel défini à un multiple de 2 près par les égalités
a
b
cos 
et sin   .
r
r
Alors a  r cos et b  r sin  . D’où :
z  a  i b  r cos  ir sin   r (cos   i sin  ) .
1.2. pas d’unicité :
______________________________________________
PROPRIETE
Soient z et z’ deux nombres complexes tels que
z  r (cos   i sin  ) et z '  r ' (cos  'i sin  ' ) avec r et r’ strictement positifs . Alors :
z  z'  r  r ' et    ' 2  .
Démonstration :
 Si r  r ' et    ' 2 , alors il est évident que
r (cos   i sin  )  r ' (cos  'i sin  ' ) et donc que z  z ' .
 Inversement, supposons que z  z ' . Alors les points M et M’ d’affixes
respectives z et z’ seront confondus .
On aura alors OM² = OM’² . D’où
(r cos )²  ( r sin  )²  ( r ' cos ' )²  (r ' sin  ' )² soit encore
r ²(cos ²  sin ² )  r '²(cos ² ' sin ² ' ) , ce qui implique que r ²  r '² . Mais r et r’
étant positifs, on en déduit que r  r ' .
Rappelons alors que z  z ' c’est-à-dire que r cos  i sin    r ' cos 'i sin  ' .
D’où : cos  i sin   cos 'i sin  ' . La forme algébrique d’un nombre complexe
étant unique, on en déduit que cos  cos ' et que sin   sin  ' . D’où l’égalité
de  et de  ' à un multiple de 2 près .
DEFINITION
L’écriture de z sous la forme z  r (cos   i sin  ) où r est un réel strictement positif et 
un réel quelconque s’appelle forme trigonométrique de z .
r  a ²  b²
a
b
cos   et sin  
r
r
z  r ( cos  i sin  )
z  a  ib
a  r cos
b  r sin 
Exemples :
Ecrivons sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
3
 Si z  3 , alors a  3 et b  0 . Donc r  3²  0²  3 , cos   1 et
3
0
sin    0 , ce qui donne   0 2  . On en conclut que la forme
3
trigonométrique de z est : z  3 (cos 0  i sin 0) .
4
 1 et
 Si z  4 , alors a  1 et b  0. Donc r  (4)²  0²  4 , cos 
4
0
sin    0 , ce qui donne    2  . On en conclut que la forme
4
trigonométrique de z est : z  4 (cos   i sin  ) .
0
 Si z  2i , alors a  0 et b  2 . Donc r  0²  2²  2 , cos   0 et
2
2

sin    1 , ce qui donne   2  . On en conclut que la forme
2
2


trigonométrique de z est : z  2 (cos  i sin ) .
2
2
 Si z  1  i , alors a  1 et b  1 . Donc r  (1)²  1²  2 ,
3
2
1
2
2  . On en
et sin  
, ce qui donne  

4
2
2
2
2
3
3
 i sin
).
conclut que la forme trigonométrique de z est : z  2 (cos
4
4
cos 
1

2. Module d’un nombre complexe :
DEFINITION
Soit z un nombre complexe quelconque de forme algébrique z  a  ib . On appelle module
de z le nombre réel noté z défini par : z  a²  b² .
PREMIERES PROPRIETES
Pour tout nombre complexe z,
2
z  zz


z est toujours positif et z  0  z  0 .

z  z  z



Si z est un nombre réel, alors le module de z coïncide avec la valeur absolue de z .
Si z est un imaginaire pur, alors le module de z est égal à la valeur absolue de sa partie
imaginaire.
Si M est le point d’affixe z, alors OM  z .

Si z est un nombre complexe non nul de forme trigonométrique z  r (cos   i sin  ) ,
alors z  r .
Démonstration :
 Si z  r (cos   i sin  ) , alors a  r cos et b  r sin  .
Donc z
2
 (r cos ) 2  (r sin  ) 2  r ² (cos ²  sin ² )  r ² . Le module de z et r
étant tous deux positifs, on en déduit que z  r .

Si z est réel alors b  0 et z  a . Donc z  a²  a .
Exemples :
3  4i  3²  4²  25
5  5
 2i  2 .
PROPRIETES GEOMETRIQUES


v  z

Soit v un vecteur quelconque d’affixe z . Alors

Soient A et B deux points d’affixes respectives z A et z B . Alors : AB  z B  z A .
Démonstration :



Soit M le point du plan complexe tel que : OM  v . Alors z est à la fois l’affixe

de M et celle de v . Donc :

v  OM  z .
y



Le vecteur AB a pour affixe z B  z A . Par conséquent : AB  v  z B  z A .
Exemple :
Soient A et B les points d’affixes 2  3i et
5  i . Etudions la nature du triangle OAB :
OA  z A  2²  (3)²  13
o
x
OB  z B  5²  (1)²  26
B
AB  z B  z A  (5  i)  (2  3i )
.
 3  2i  3²  2²  13
A
On remarque ainsi que :
OA=AB et OB²=OA²+AB² . Le triangle OAB est donc rectangle isocèle rectangle en
A
PROPRIETES ALGEBRIQUES
Pour tous nombres complexes z et z’ , on a :
1. z  z'  z  z'
2. Pour tout entier naturel n,
3. Si z  0 , alors
1
1

z
z
4. Si z ' 0 , alors
z
z

z'
z'
5.
zn  z
n
z  z'  z  z'
Démonstration :
1. Pour démontrer cette 1ère propriété, utilisons que z
z  z'
2
 ( z  z ' )  ( z  z ')  z  z  z ' z '  z
2
 z'
2
2
 zz :
  z  z'

2
.
z  z ' et
z  z' ont donc le même carré ; or ils sont tous deux positifs donc ils sont
égaux .
2. Soit (u n ) la suite de terme général u n  z n . Alors pour tout entier naturel n,
u n 1  z n 1  z  z n  z  z n  z  u n . Donc la suite (u n ) est géométrique
de raison q  z et de 1er terme u 0  z 0  1  1 . Donc pour tout entier naturel
n, u n  u 0 q n  z .
n
On a donc à la fois : u n  z n  z .
n
3. Soit z un nombre complexe non nul . Alors z 
1
1
 z  d’une part et
z
z
1
1
 1  1 d’autre part . Donc z   1 et comme z  0 , on peut
z
z
1
1
conclure que : 
.
z
z
z
z
z
1
1
1
.
 z  z 
 z 

z'
z'
z'
z'
z'
5. Soient M et M’ les points d’affixes respectives z et -z’ .
Alors : z  z'  z  ( z' )  M ' M , z  OM et z'   z'  OM ' . Or ,
d’après l’inégalité triangulaire, MM '  OM  OM ' , ce qui s’écrit aussi :
z  z'  z  z' .
4. Si z ' 0 , alors
Exemples :
A l’aide de ces propriétés, calculons les modules des nombres complexes suivants :
3  i 1  i   3  i 1  i  3²  1²  1²  (1)²  10  2  2 5 .




2  i 4

1
1
1
1



5i
5i
5²  (1)²
26

3i
3i
3²  1²
10



 5
1 i
1 i
1²  (1)²
2
 2i
4

2²  1²
4
 25
Exercice :
1) Déterminer l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : z  5i  6
Soit A le point d’affixe z A  5i . Alors , pour tout nombre complexe z,
z  5i  z  z A . Donc : z  5i  6  z  z A  6  AM  6 . On en conclut que
l’ensemble des points M répondant à la question est le cercle de centre A et de rayon
6.
2) Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z
3z  i
3
vérifie :
z 1 i
Il faut tout d’abord éliminer le point A d’affixe 1  i , car pour cette valeur de z le
quotient précédent n’existe pas . Ensuite, pour tout z  1  i , on peut écrire :
3z  i
3z  i
i
3
 3  3z  i  3 z  1  i  3 z   3 z  1  i
z 1 i
z 1 i
3
 z
i
 z 1 i
3
i
, la dernière égalité équivaut à : BM = AM . On en
3
conclut que l’ensemble des points M cherché est la médiatrice  du segment [AB]
privée éventuellement du point A qui a été exclu dès le début . Mais comme A   ,
l’ensemble des solutions est toute la droite  .
En appelant B le point d’affixe
3. Argument d’un nombre complexe non nul :
DEFINITION
Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan complexe d’affixe z . On appelle
  
argument de z , tout réel  tel que :    u ; OM   2  . On note alors arg ( z ) =


  2  .
Remarques :
 Arg ( z ) n’est pas unique : il est défini à un multiple de 2 près .
 Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument .
 Si z a pour forme trigonométrique z  r ( cos  i sin  ) , alors arg( z)  
Exemple :




1  i  2  cos  i sin  , donc : arg(1  i )   2  .
4
4
4

Cas particuliers :
arg(1)  0  2  , arg( 1)  
 2  ,
arg( i ) 

2
 2  , arg( i)     2 
2
PROPRIETE
Soit z    quelconque . Alors :

z    arg( z )  0  

arg(  z)    arg( z)

 2 
et
z  i  arg( z ) 

et arg( z )   arg( z )  2
2
 

Démonstration :


z  *  M  (Ox ) et M  O  OM non nul et colinéaire à
  
u   u ; OM   0  2  .



 2  .




z  i*  M  (Oy ) et M  O  OM non nul et orthogonal à

   
u   u ; OM    2 

 2
Si z  r (cos   i sin  ), , alors arg( z)    2  et
 z  r (cos   i sin  )  r ( cos  i sin  )  r (cos(   )  i sin(    ) . Ce qui
implique que arg( z)      2 .
Si z  r (cos   i sin  ) , alors arg( z)    2  et
z  r (cos   i sin  )  r (cos(  )  i sin(  ) . Ce qui implique que
arg( z )  
 2 
PROPRIETES (ARGUMENT ET OPERATIONS)
Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls et n un entier naturel quelconque . Alors :
arg( z  z ' )  arg( z )  arg( z ' )  2 
arg( z n )  n  arg( z )  2

1
arg     arg( z ) 2 
z
z
arg    arg( z )  arg( z ' )  2
 z' 

Démonstration :
 Soient z  r (cos   i sin  ) et z '  r ' (cos  'i sin  ' ) les formes trigonométriques
de z et z’ , avec arg( z)    2  et arg( z' )   '  2 . Alors :
z  z '  r (cos   i sin  )  r ' (cos  'i sin  ' )  rr ' cos   i sin    (cos  'i sin  ' )
 rr ' (cos  cos  ' sin  sin  ' )  i (cos  sin  ' cos  ' sin  )  rr ' cos(   ' )  i sin(    ' )
On en déduit que : arg( z  z' )      2  .
 Admis
1
1

 Comme z   1 , alors arg z    arg(1)  0  2  . Donc :
z
z

1
1
arg( z )  arg   0  2  . D’où arg    arg( z )  2  .
z
z
z
1
 Comme  z  , alors
z'
z'
z
1
 

1
arg   arg z    arg( z )  arg   arg( z )  arg( z ' )  2 
z' 
 z' 

 z' 
CONSEQUENCE :
Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul . Alors :
arg( z )  2  si k  0
arg( k  z )  
arg( z )    2  si k  0
Exemples :
Soient z  1  i et z '  3  i .
z
1. Calculons arg( z ) , arg( z ' ) , arg( zz ' ) et arg  :
 z' 
 Comme z  1²  1²  2 , alors
 2
1 
2


 1
  2  cos  i sin  . D’où
z  2
i
i
  2 

2 
4
4
2

 2
 2
arg( z ) 


 2  .
4
2
De même z ' 
3  (1) 2  2 . Alors :
 3

1



z '  2
 i   2 cos(  )  i sin(   . D’où arg( z ' )    2  .
6
2
6
6

 2

Il en découle que arg( z  z ' )  arg( z )  arg( z ' ) 

12
 2  et que
5
z
 2  .
arg   arg( z )  arg( z ' ) 
12
 z' 
2. Les calculs précédents permettent alors de calculer le cosinus et le sinus de
5
. Pour cela, il suffit de déterminer les formes algébriques et
12
z
trigonométriques de z  z ' et de
:
z'

et
12
de

Comme z  z '  z  z '  2 2 et que arg( z  z ' ) 

12
 2 , alors la forme

 

trigonométrique de z  z ' est : z  z '  2 2  cos  i sin  . Mais sa forme
12
12 

algébrique est z  z '  1  i  3  i  3  1  i 3  1 . Par identification, on


obtient alors : cos

3 1
 


3 1

.
2 2
z
2
5
5 
En suivant la même démarche, on a : 
 i sin
 cos
 d’une part et
z'
2 
12
12 
z
1 i
(1  i)( 3  i)
3 1
3 1
d’autre part . En identifiant, on



i
z'
4
4
3  i ( 3  i)( 3  i)
12
conclut alors que cos

2) Calculons


Donc : 
3 i
6


12
5
3 1
5
3 1
et que sin


12
12
2 2
2 2
6
3  i en déterminant son module et un de ses arguments :
3 i
3 i
2 2
et sin
 

6
6



 2 6  64 et arg ( 3  i ) 6  6 arg( 3  i )  6  ( )  
6
 64 cos   i sin    64 .
 2 
PROPRIETES GEOMETRIQUES
Pour tous points A, B, C et D du plan complexe distincts deux à deux, on a :
 
 z  zC   
  ( AB ; CD)  2 
arg( z B  z A )  ( u ; AB )  2  et arg D
 zB  z A 
Démonstration :



Soit M le point du plan tel que OM  AB . Alors :
z B  z A  z   z   z M  zO  z M . Donc
AB
OM




arg( z B  z A )  arg( z M )  ( u ; OM )  ( u ; AB )  2


 
 


 z  zC 
  arg( z D  z C )  arg( z B  z A )  ( u ; CD)  ( u ; AB)  ( AB ; CD )  2
arg D
 zB  z A 
d’après la relation de Chasles sur les angles orientés .
y
Exemple :
Soient A, B et C les points du plan complexe d’affixes
respectives z A  1 3i , z B  3  i et z C  4  2i .
Démontrons que ABC est un triangle rectangle .
La figure semble indiquer que l’angle droit est au
sommet B . C’est pourquoi nous allons calculer :


 z  zB 
 (4  2i)  (3  i) 
  arg

( BA ; BC )  arg C
 (1  3i)  (3  i) 
 z A  zB 
A
C
B
 (1  i)( 2  2i) 
 1 i 

 arg
  arg
  2  2i 
 (2  2i)( 2  2i) 
  4i 
1

  arg(  i)  
 arg
2
2
 (2)²  2² 
Le triangle ABC est donc rectangle en B .
o
 2 
Remarque :
Dans le chapitre précédent, on a donné une interprétation géométrique de l’addition dans
 à l’aide de la somme des vecteurs du plan complexe . Nous sommes en mesure à ce
stade du chapitre de donner une image de la multiplication dans  dans le plan complexe .
En effet, z et z’ étant deux nombres complexes non nuls et M, M’, P désignant les points
d’affixes respectives z, z’ et z  z ' , on a :
OP  z  z'  z  z'  OM  OM ' et






( u ; OP )  arg( z  z ' )  arg( z )  arg( z ' )  ( u ; OM )  ( u ; OM ' )  2


4. Forme exponentielle d’un nombre complexe :
4.1. Exponentielle complexe :
__________________________
Soit f la fonction définie de  dans  par f ( )  cos  i sin  . Alors :
f ( )  f ( ' )  (cos   i sin  )(cos  'i sin  ' )  cos cos  ' sin  sin  'i (sin  cos ' sin  ' cos )
 cos(   ' )  i sin(    ' )  f (   ' )
Cette fonction f possède donc la propriété caractéristique des fonctions exponentielles .
Pour cette raison, on posera :
DEFINITION
Soit  un réel quelconque . On appelle exponentielle de i le nombre complexe noté
e i défini par e i  cos  i sin  . Les nombres de la forme e i sont appelés exponentielles
complexes .
Exemples :
e
i

3
 cos

3
 i sin

3


i
1
3


2
2
i
i
, e 4  cos(  )  i sin(  ) 
.
2
2
4
4
2
2
Cas particuliers :
e i 0  1 , e i  1 , e
i

2
 i et e
i

2
 i .
CONSEQUENCE :
Pour tout réel  , e i  1 et arg( e i )    2  .
4.2. Propriétés des exponentielles complexes :
PROPRIETE :
Pour tous réels  et  ' et pour tout entier naturel n , on a :
1. e i  e i
2. e i (  )  e i
3. e i  e i '  e i (  ')
 
4. e i
n
 e in
e i
5. i '  e i (  ')
e
Démonstration :
1. e  cos  i sin   cos  i sin   cos( )  i sin(  )  e i
2. e i (  )  cos(   )  i sin(    )   cos  i sin 
3. Déjà démontré en introduction
i
__
4. Posons Z  e i  . Alors Z  (e i ) n  e i
n


n
 1n  1 car e i  1 . De plus,
arg( Z )  arg (e i ) n  n arg( e i )  n  2 
Donc Z a pour forme algébrique : Z  cos( n )  i sin( n ) et par conséquent Z  e in .
1
5. Posons Z  i .Alors
e
1
1
 1 
Z  i  i  1 et arg( Z )  arg  i    arg( e i )   2  .
e
e
e 
Donc Z a pour forme algébrique : Z  cos(  )  i sin(  ) et par suite Z  e  i .
e i
1
6. i '  e i  i '  e i  e i '  e i (  ')
e
e
Remarques :
 La propriété 3 permet de retrouver rapidement les formules d’addition des sinus et
cosinus, ceci en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires des deux
membres :
e i  e i '  e i (  ')  (cos   i sin  )  (cos  'i sin  ' )  cos(   ' )  i sin(    ' )
cos cos ' sin  sin  '  cos(   ' )

cos sin  ' cos ' sin  '  sin(    ' )
 La propriété 4 , pour n  2 , permet par identification des parties réelles et imaginaires
des deux membres, de retrouver les formules de duplication :
cos 2   sin 2   cos( 2 )
(e i )²  e i 2  (cos   i sin  ) 2  cos( 2 )  i sin( 2 )  
2 sin  cos  sin( 2 )
 La propriété 4 est connue sous le nom de formule de Moivre ; elle peut aussi s’écrire :
(cos  i sin  ) n  cos(n )  i sin( n ) .
Exemple :
5
1
3
 en utilisant son écriture exponentielle :
Calculons   i
2 
2

i
1
3
 e 3 , alors
Comme  i
2
2
5

5
i
i
1
3
5
5
1
3
5
3
 i
  (e )  e 3  cos( )  i sin( )   i
2

2 
3
3
2
2

PROPRIETE (FORMULES D’EULER)
Pour tout réel  , on a : cos 
e i  e i
e i  e i
et sin  
2
2i
Démonstration :
Il suffit d’écrire les formules z  z  2 Re ( z ) et z  z  2i Im( z ) pour z  e i . En
effet, pour z  e i , z  e i , Re ( z )  cos et Im( z )  sin  .
Exemple :
Soit Z  1  e i avec 
i

Z  e 2 (e
i

2
i


2
i
 

2
. Ecrivons Z sous forme trigonométrique :

 e 2 )  e 2  2 cos  2 cos (cos

2
 i sin
trigonométrique de Z car,  étant compris entre 

2
et

2
) , ce qui est la forme

, 2 cos est strictement
2
positif et est donc bien égal au module de Z .
4.3. Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul :
__
Soit z un nombre complexe non nul et z  r (cos   i sin  ) sa forme trigonométrique ,avec
r  0 . Alors, avec les notations introduites précédemment, on peut aussi écrire que
z  r e i .
DEFINITION
Soit z un nombre complexe non nul . Notons r  z et   arg( z)  2  . Alors l’écriture
de z sous la forme z  r e i s’appelle forme exponentielle de z .
Exemple :
i

i

2  2e i 0 ,  3  3e i , 5i  5e 2 , 1  i  2 e 4 .
Les propriétés énoncées ci-dessous sont faciles à mémoriser du fait de leur similarité avec
les propriétés des puissances . De plus, elles permettent de résumer conjointement les
propriétés des modules et des arguments ; il suffit d’avoir à l’esprit que lorsque la forme
exponentielle de z est z  r e i (avec r  0 ), cela signifie que z  r et que
arg( z)    2

PROPRIETES
Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls de formes exponentielles z  r e i et
z '  r ' e i ' et soit n un entier naturel non nul . Alors :
z  r e  i
 z  r e i (  )
z  z '  rr ' e i (  ')
z n  r n e in
1 1  i
 e
z r
z r i (  ')
 e
z' r'
Exemple :
En utilisant ces propriétés, déterminons la forme exponentielle des nombres
complexes suivants :
3
i


(1  i )   2 e 4

8
2  2i
3 i

2 2e
2e
i
i

6
8

 


 2 e

4
8
i
24
4
 2 4 e 6i  16 e i 0
 
 2e
i(  )
4 6
 2e
i
5
12