7 Nombres complexes : Forme trigonométrique et forme exponentielle La forme algébrique des nombres complexes permet de mettre en relation tout point du plan complexe dont on connaît les coordonnées cartésiennes avec un nombre complexe . La forme trigonométrique permettra de créer le même lien pour un point M donné par ses coordonnées polaires . Dans tout ce chapitre, O , u ; v désigne un repère orthonormé direct du plan . 1. Forme trigonométrique d’un nombre complexe : 1.1. Existence : ________________________________________ PROPRIETE Soit z un nombre complexe non nul . Alors il existe un réel strictement positif r et un réel tel que : z r (cos i sin ) . Démonstration : Soit z quelconque et a i b sa forme algébrique . Soit M le point d’affixe z . Comme z est différent de 0, M est distinct de O . Il admet donc un couple de coordonnées polaires que l’on nommera ( r ; ) .Rappelons que r a ² b² et que est un réel défini à un multiple de 2 près par les égalités a b cos et sin . r r Alors a r cos et b r sin . D’où : z a i b r cos ir sin r (cos i sin ) . 1.2. pas d’unicité : ______________________________________________ PROPRIETE Soient z et z’ deux nombres complexes tels que z r (cos i sin ) et z ' r ' (cos 'i sin ' ) avec r et r’ strictement positifs . Alors : z z' r r ' et ' 2 . Démonstration : Si r r ' et ' 2 , alors il est évident que r (cos i sin ) r ' (cos 'i sin ' ) et donc que z z ' . Inversement, supposons que z z ' . Alors les points M et M’ d’affixes respectives z et z’ seront confondus . On aura alors OM² = OM’² . D’où (r cos )² ( r sin )² ( r ' cos ' )² (r ' sin ' )² soit encore r ²(cos ² sin ² ) r '²(cos ² ' sin ² ' ) , ce qui implique que r ² r '² . Mais r et r’ étant positifs, on en déduit que r r ' . Rappelons alors que z z ' c’est-à-dire que r cos i sin r ' cos 'i sin ' . D’où : cos i sin cos 'i sin ' . La forme algébrique d’un nombre complexe étant unique, on en déduit que cos cos ' et que sin sin ' . D’où l’égalité de et de ' à un multiple de 2 près . DEFINITION L’écriture de z sous la forme z r (cos i sin ) où r est un réel strictement positif et un réel quelconque s’appelle forme trigonométrique de z . r a ² b² a b cos et sin r r z r ( cos i sin ) z a ib a r cos b r sin Exemples : Ecrivons sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : 3 Si z 3 , alors a 3 et b 0 . Donc r 3² 0² 3 , cos 1 et 3 0 sin 0 , ce qui donne 0 2 . On en conclut que la forme 3 trigonométrique de z est : z 3 (cos 0 i sin 0) . 4 1 et Si z 4 , alors a 1 et b 0. Donc r (4)² 0² 4 , cos 4 0 sin 0 , ce qui donne 2 . On en conclut que la forme 4 trigonométrique de z est : z 4 (cos i sin ) . 0 Si z 2i , alors a 0 et b 2 . Donc r 0² 2² 2 , cos 0 et 2 2 sin 1 , ce qui donne 2 . On en conclut que la forme 2 2 trigonométrique de z est : z 2 (cos i sin ) . 2 2 Si z 1 i , alors a 1 et b 1 . Donc r (1)² 1² 2 , 3 2 1 2 2 . On en et sin , ce qui donne 4 2 2 2 2 3 3 i sin ). conclut que la forme trigonométrique de z est : z 2 (cos 4 4 cos 1 2. Module d’un nombre complexe : DEFINITION Soit z un nombre complexe quelconque de forme algébrique z a ib . On appelle module de z le nombre réel noté z défini par : z a² b² . PREMIERES PROPRIETES Pour tout nombre complexe z, 2 z zz z est toujours positif et z 0 z 0 . z z z Si z est un nombre réel, alors le module de z coïncide avec la valeur absolue de z . Si z est un imaginaire pur, alors le module de z est égal à la valeur absolue de sa partie imaginaire. Si M est le point d’affixe z, alors OM z . Si z est un nombre complexe non nul de forme trigonométrique z r (cos i sin ) , alors z r . Démonstration : Si z r (cos i sin ) , alors a r cos et b r sin . Donc z 2 (r cos ) 2 (r sin ) 2 r ² (cos ² sin ² ) r ² . Le module de z et r étant tous deux positifs, on en déduit que z r . Si z est réel alors b 0 et z a . Donc z a² a . Exemples : 3 4i 3² 4² 25 5 5 2i 2 . PROPRIETES GEOMETRIQUES v z Soit v un vecteur quelconque d’affixe z . Alors Soient A et B deux points d’affixes respectives z A et z B . Alors : AB z B z A . Démonstration : Soit M le point du plan complexe tel que : OM v . Alors z est à la fois l’affixe de M et celle de v . Donc : v OM z . y Le vecteur AB a pour affixe z B z A . Par conséquent : AB v z B z A . Exemple : Soient A et B les points d’affixes 2 3i et 5 i . Etudions la nature du triangle OAB : OA z A 2² (3)² 13 o x OB z B 5² (1)² 26 B AB z B z A (5 i) (2 3i ) . 3 2i 3² 2² 13 A On remarque ainsi que : OA=AB et OB²=OA²+AB² . Le triangle OAB est donc rectangle isocèle rectangle en A PROPRIETES ALGEBRIQUES Pour tous nombres complexes z et z’ , on a : 1. z z' z z' 2. Pour tout entier naturel n, 3. Si z 0 , alors 1 1 z z 4. Si z ' 0 , alors z z z' z' 5. zn z n z z' z z' Démonstration : 1. Pour démontrer cette 1ère propriété, utilisons que z z z' 2 ( z z ' ) ( z z ') z z z ' z ' z 2 z' 2 2 zz : z z' 2 . z z ' et z z' ont donc le même carré ; or ils sont tous deux positifs donc ils sont égaux . 2. Soit (u n ) la suite de terme général u n z n . Alors pour tout entier naturel n, u n 1 z n 1 z z n z z n z u n . Donc la suite (u n ) est géométrique de raison q z et de 1er terme u 0 z 0 1 1 . Donc pour tout entier naturel n, u n u 0 q n z . n On a donc à la fois : u n z n z . n 3. Soit z un nombre complexe non nul . Alors z 1 1 z d’une part et z z 1 1 1 1 d’autre part . Donc z 1 et comme z 0 , on peut z z 1 1 conclure que : . z z z z z 1 1 1 . z z z z' z' z' z' z' 5. Soient M et M’ les points d’affixes respectives z et -z’ . Alors : z z' z ( z' ) M ' M , z OM et z' z' OM ' . Or , d’après l’inégalité triangulaire, MM ' OM OM ' , ce qui s’écrit aussi : z z' z z' . 4. Si z ' 0 , alors Exemples : A l’aide de ces propriétés, calculons les modules des nombres complexes suivants : 3 i 1 i 3 i 1 i 3² 1² 1² (1)² 10 2 2 5 . 2 i 4 1 1 1 1 5i 5i 5² (1)² 26 3i 3i 3² 1² 10 5 1 i 1 i 1² (1)² 2 2i 4 2² 1² 4 25 Exercice : 1) Déterminer l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : z 5i 6 Soit A le point d’affixe z A 5i . Alors , pour tout nombre complexe z, z 5i z z A . Donc : z 5i 6 z z A 6 AM 6 . On en conclut que l’ensemble des points M répondant à la question est le cercle de centre A et de rayon 6. 2) Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z 3z i 3 vérifie : z 1 i Il faut tout d’abord éliminer le point A d’affixe 1 i , car pour cette valeur de z le quotient précédent n’existe pas . Ensuite, pour tout z 1 i , on peut écrire : 3z i 3z i i 3 3 3z i 3 z 1 i 3 z 3 z 1 i z 1 i z 1 i 3 z i z 1 i 3 i , la dernière égalité équivaut à : BM = AM . On en 3 conclut que l’ensemble des points M cherché est la médiatrice du segment [AB] privée éventuellement du point A qui a été exclu dès le début . Mais comme A , l’ensemble des solutions est toute la droite . En appelant B le point d’affixe 3. Argument d’un nombre complexe non nul : DEFINITION Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan complexe d’affixe z . On appelle argument de z , tout réel tel que : u ; OM 2 . On note alors arg ( z ) = 2 . Remarques : Arg ( z ) n’est pas unique : il est défini à un multiple de 2 près . Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument . Si z a pour forme trigonométrique z r ( cos i sin ) , alors arg( z) Exemple : 1 i 2 cos i sin , donc : arg(1 i ) 2 . 4 4 4 Cas particuliers : arg(1) 0 2 , arg( 1) 2 , arg( i ) 2 2 , arg( i) 2 2 PROPRIETE Soit z quelconque . Alors : z arg( z ) 0 arg( z) arg( z) 2 et z i arg( z ) et arg( z ) arg( z ) 2 2 Démonstration : z * M (Ox ) et M O OM non nul et colinéaire à u u ; OM 0 2 . 2 . z i* M (Oy ) et M O OM non nul et orthogonal à u u ; OM 2 2 Si z r (cos i sin ), , alors arg( z) 2 et z r (cos i sin ) r ( cos i sin ) r (cos( ) i sin( ) . Ce qui implique que arg( z) 2 . Si z r (cos i sin ) , alors arg( z) 2 et z r (cos i sin ) r (cos( ) i sin( ) . Ce qui implique que arg( z ) 2 PROPRIETES (ARGUMENT ET OPERATIONS) Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls et n un entier naturel quelconque . Alors : arg( z z ' ) arg( z ) arg( z ' ) 2 arg( z n ) n arg( z ) 2 1 arg arg( z ) 2 z z arg arg( z ) arg( z ' ) 2 z' Démonstration : Soient z r (cos i sin ) et z ' r ' (cos 'i sin ' ) les formes trigonométriques de z et z’ , avec arg( z) 2 et arg( z' ) ' 2 . Alors : z z ' r (cos i sin ) r ' (cos 'i sin ' ) rr ' cos i sin (cos 'i sin ' ) rr ' (cos cos ' sin sin ' ) i (cos sin ' cos ' sin ) rr ' cos( ' ) i sin( ' ) On en déduit que : arg( z z' ) 2 . Admis 1 1 Comme z 1 , alors arg z arg(1) 0 2 . Donc : z z 1 1 arg( z ) arg 0 2 . D’où arg arg( z ) 2 . z z z 1 Comme z , alors z' z' z 1 1 arg arg z arg( z ) arg arg( z ) arg( z ' ) 2 z' z' z' CONSEQUENCE : Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul . Alors : arg( z ) 2 si k 0 arg( k z ) arg( z ) 2 si k 0 Exemples : Soient z 1 i et z ' 3 i . z 1. Calculons arg( z ) , arg( z ' ) , arg( zz ' ) et arg : z' Comme z 1² 1² 2 , alors 2 1 2 1 2 cos i sin . D’où z 2 i i 2 2 4 4 2 2 2 arg( z ) 2 . 4 2 De même z ' 3 (1) 2 2 . Alors : 3 1 z ' 2 i 2 cos( ) i sin( . D’où arg( z ' ) 2 . 6 2 6 6 2 Il en découle que arg( z z ' ) arg( z ) arg( z ' ) 12 2 et que 5 z 2 . arg arg( z ) arg( z ' ) 12 z' 2. Les calculs précédents permettent alors de calculer le cosinus et le sinus de 5 . Pour cela, il suffit de déterminer les formes algébriques et 12 z trigonométriques de z z ' et de : z' et 12 de Comme z z ' z z ' 2 2 et que arg( z z ' ) 12 2 , alors la forme trigonométrique de z z ' est : z z ' 2 2 cos i sin . Mais sa forme 12 12 algébrique est z z ' 1 i 3 i 3 1 i 3 1 . Par identification, on obtient alors : cos 3 1 3 1 . 2 2 z 2 5 5 En suivant la même démarche, on a : i sin cos d’une part et z' 2 12 12 z 1 i (1 i)( 3 i) 3 1 3 1 d’autre part . En identifiant, on i z' 4 4 3 i ( 3 i)( 3 i) 12 conclut alors que cos 2) Calculons Donc : 3 i 6 12 5 3 1 5 3 1 et que sin 12 12 2 2 2 2 6 3 i en déterminant son module et un de ses arguments : 3 i 3 i 2 2 et sin 6 6 2 6 64 et arg ( 3 i ) 6 6 arg( 3 i ) 6 ( ) 6 64 cos i sin 64 . 2 PROPRIETES GEOMETRIQUES Pour tous points A, B, C et D du plan complexe distincts deux à deux, on a : z zC ( AB ; CD) 2 arg( z B z A ) ( u ; AB ) 2 et arg D zB z A Démonstration : Soit M le point du plan tel que OM AB . Alors : z B z A z z z M zO z M . Donc AB OM arg( z B z A ) arg( z M ) ( u ; OM ) ( u ; AB ) 2 z zC arg( z D z C ) arg( z B z A ) ( u ; CD) ( u ; AB) ( AB ; CD ) 2 arg D zB z A d’après la relation de Chasles sur les angles orientés . y Exemple : Soient A, B et C les points du plan complexe d’affixes respectives z A 1 3i , z B 3 i et z C 4 2i . Démontrons que ABC est un triangle rectangle . La figure semble indiquer que l’angle droit est au sommet B . C’est pourquoi nous allons calculer : z zB (4 2i) (3 i) arg ( BA ; BC ) arg C (1 3i) (3 i) z A zB A C B (1 i)( 2 2i) 1 i arg arg 2 2i (2 2i)( 2 2i) 4i 1 arg( i) arg 2 2 (2)² 2² Le triangle ABC est donc rectangle en B . o 2 Remarque : Dans le chapitre précédent, on a donné une interprétation géométrique de l’addition dans à l’aide de la somme des vecteurs du plan complexe . Nous sommes en mesure à ce stade du chapitre de donner une image de la multiplication dans dans le plan complexe . En effet, z et z’ étant deux nombres complexes non nuls et M, M’, P désignant les points d’affixes respectives z, z’ et z z ' , on a : OP z z' z z' OM OM ' et ( u ; OP ) arg( z z ' ) arg( z ) arg( z ' ) ( u ; OM ) ( u ; OM ' ) 2 4. Forme exponentielle d’un nombre complexe : 4.1. Exponentielle complexe : __________________________ Soit f la fonction définie de dans par f ( ) cos i sin . Alors : f ( ) f ( ' ) (cos i sin )(cos 'i sin ' ) cos cos ' sin sin 'i (sin cos ' sin ' cos ) cos( ' ) i sin( ' ) f ( ' ) Cette fonction f possède donc la propriété caractéristique des fonctions exponentielles . Pour cette raison, on posera : DEFINITION Soit un réel quelconque . On appelle exponentielle de i le nombre complexe noté e i défini par e i cos i sin . Les nombres de la forme e i sont appelés exponentielles complexes . Exemples : e i 3 cos 3 i sin 3 i 1 3 2 2 i i , e 4 cos( ) i sin( ) . 2 2 4 4 2 2 Cas particuliers : e i 0 1 , e i 1 , e i 2 i et e i 2 i . CONSEQUENCE : Pour tout réel , e i 1 et arg( e i ) 2 . 4.2. Propriétés des exponentielles complexes : PROPRIETE : Pour tous réels et ' et pour tout entier naturel n , on a : 1. e i e i 2. e i ( ) e i 3. e i e i ' e i ( ') 4. e i n e in e i 5. i ' e i ( ') e Démonstration : 1. e cos i sin cos i sin cos( ) i sin( ) e i 2. e i ( ) cos( ) i sin( ) cos i sin 3. Déjà démontré en introduction i __ 4. Posons Z e i . Alors Z (e i ) n e i n n 1n 1 car e i 1 . De plus, arg( Z ) arg (e i ) n n arg( e i ) n 2 Donc Z a pour forme algébrique : Z cos( n ) i sin( n ) et par conséquent Z e in . 1 5. Posons Z i .Alors e 1 1 1 Z i i 1 et arg( Z ) arg i arg( e i ) 2 . e e e Donc Z a pour forme algébrique : Z cos( ) i sin( ) et par suite Z e i . e i 1 6. i ' e i i ' e i e i ' e i ( ') e e Remarques : La propriété 3 permet de retrouver rapidement les formules d’addition des sinus et cosinus, ceci en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres : e i e i ' e i ( ') (cos i sin ) (cos 'i sin ' ) cos( ' ) i sin( ' ) cos cos ' sin sin ' cos( ' ) cos sin ' cos ' sin ' sin( ' ) La propriété 4 , pour n 2 , permet par identification des parties réelles et imaginaires des deux membres, de retrouver les formules de duplication : cos 2 sin 2 cos( 2 ) (e i )² e i 2 (cos i sin ) 2 cos( 2 ) i sin( 2 ) 2 sin cos sin( 2 ) La propriété 4 est connue sous le nom de formule de Moivre ; elle peut aussi s’écrire : (cos i sin ) n cos(n ) i sin( n ) . Exemple : 5 1 3 en utilisant son écriture exponentielle : Calculons i 2 2 i 1 3 e 3 , alors Comme i 2 2 5 5 i i 1 3 5 5 1 3 5 3 i (e ) e 3 cos( ) i sin( ) i 2 2 3 3 2 2 PROPRIETE (FORMULES D’EULER) Pour tout réel , on a : cos e i e i e i e i et sin 2 2i Démonstration : Il suffit d’écrire les formules z z 2 Re ( z ) et z z 2i Im( z ) pour z e i . En effet, pour z e i , z e i , Re ( z ) cos et Im( z ) sin . Exemple : Soit Z 1 e i avec i Z e 2 (e i 2 i 2 i 2 . Ecrivons Z sous forme trigonométrique : e 2 ) e 2 2 cos 2 cos (cos 2 i sin trigonométrique de Z car, étant compris entre 2 et 2 ) , ce qui est la forme , 2 cos est strictement 2 positif et est donc bien égal au module de Z . 4.3. Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul : __ Soit z un nombre complexe non nul et z r (cos i sin ) sa forme trigonométrique ,avec r 0 . Alors, avec les notations introduites précédemment, on peut aussi écrire que z r e i . DEFINITION Soit z un nombre complexe non nul . Notons r z et arg( z) 2 . Alors l’écriture de z sous la forme z r e i s’appelle forme exponentielle de z . Exemple : i i 2 2e i 0 , 3 3e i , 5i 5e 2 , 1 i 2 e 4 . Les propriétés énoncées ci-dessous sont faciles à mémoriser du fait de leur similarité avec les propriétés des puissances . De plus, elles permettent de résumer conjointement les propriétés des modules et des arguments ; il suffit d’avoir à l’esprit que lorsque la forme exponentielle de z est z r e i (avec r 0 ), cela signifie que z r et que arg( z) 2 PROPRIETES Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls de formes exponentielles z r e i et z ' r ' e i ' et soit n un entier naturel non nul . Alors : z r e i z r e i ( ) z z ' rr ' e i ( ') z n r n e in 1 1 i e z r z r i ( ') e z' r' Exemple : En utilisant ces propriétés, déterminons la forme exponentielle des nombres complexes suivants : 3 i (1 i ) 2 e 4 8 2 2i 3 i 2 2e 2e i i 6 8 2 e 4 8 i 24 4 2 4 e 6i 16 e i 0 2e i( ) 4 6 2e i 5 12