Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle Fonction racine nième (n☻IN, nÃ2) I. Racine nième. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit fn la fonction définie sur [0;+õ[ par fn (x)=x n . fn est définie, dérivable et donc continue sur [0;+õ[ et ┐x>0, fn ′(x)=nx n−1 fn ′(x) est donc toujours du signe de x d’où fn est strictement croissante sur [0;+õ[. fn (0)=0 n =0 et lim fn (x)= lim x n =+õ x↔+ õ x↔+ õ Donc d’après un corollaire du TVI, ┐a☻[0;+õ[ l’équation fn (x)=a admet une solution unique dans [0;+õ[. Définition : Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2. L’unique réel positif γ solution de l’équation fn (x)=a c'est-à-dire l’unique réel positif γ tel que fn (γ)=a, c'est-à-dire tel que γ n =a est appelé la racine n-ième de a. On note γ = n a. Exemples : n 3 0 =0 car 0n =0 8 =2 car 23=8 Propriétés : Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2. ° Si a=0, n n a = 0 =0 ° Si a>0, n 1 a =a n Démonstration : Si a>0, x n =a ñ lnx n =lna ñ nlnx=lna ñ lnx= Exemple : II. 3 1 1 1 lna(car ný0) ñ lnx=lna n ñ x=a n n 1 8 =8 3 =2 Etude de la fonction racine nième 1. Définition Soit n un entier supérieur ou égal à 2, 1 0 si x=0 n On appelle fonction racine nième la fonction gn définie sur [0;+õ[ par gn (x)= x =x n = n1 lnx si x>0 e 2. Dérivée 1 1 n lnx 1 ┐x>0, posons u(x)= lnx alors ┐x>0, gn (x)= x =x n =e n =e u( x). n Sur ]0;+õ[, la fonction gn est dérivable comme composée de fonctions dérivables et 1 n1 lnx 1 ┐x>0, gn ′(x)=u′(x)e u( x)= e >0 car >0 et e u( x)>0 nx nx Etude de la dérivabilité en 0. 1 1 1− n 1− n −1 lnh g (0+h)−g n (0) g (h)−g n (0) h n −0 τ0( h)= n = n = =h n =h n =e n h h h 1−n nÃ2 donc 1−n<0 donc <0 n lim lnh=-õ donc lim 1−n lnh=+õ h↔0 h↔0 D’où lim τ0(h)= lim Fonction racine nième h↔0 n e X =+õ X↔+ õ donc gn n’est pas dérivable en 0. Page 1 sur 2 3. Continuité gn est dérivable sur ]0;+õ[ donc gn est continue sur ]0;+õ[ Etude de la continuité en 0. 1 lim gn (x)= lim e n x↔0 x>0 lnx x↔0 x>0 = lim e X =0. Or gn (0)=0 donc lim gn (x)=gn (0) donc gn est continue en 0. X↔- õ x↔0 En conclusion : gn est continue sur [0;+õ[ 4. Tableau de variations Les informations des questions précédentes permettent de déterminer le tableau des variations de f : x +∞ −∞ + signe de f ′(x) +õ f 0 5. Représentation graphique n Dans un repère orthonormal, les courbes des fonctions fn : x→x n et gn : x → x définies sur [0;+õ[ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x. y Βf3 y=x Βg3 Exemple : pour n=3 1 f3 : x→x 3 sur [0;+õ[ 3 g3 : x → x sur [0;+õ[ 0 III. 1 2 x Exercices Exercice 1 Simplifier les écritures des nombres suivants : 3 A= 64 3 3 B= 2 × 25 C= 4 256 3 ( 3) D= 6 4 E= 10 a 2 5 Exercice 2 Etudier les fonctions ci-dessous : (a) f : x→ 2 4 x 3 (a) f : x→ x 2 +1 Fonction racine nième Page 2 sur 2 F= a