Cité Scolaire Gambetta Terminale S – 2013 Année scolaire 2012-2013 Démonstrations exigibles 1) Théorèmes de comparaison : (un) et (vn) sont deux suites Si, à partir d’un certain rang, u n vn , et si lim vn -, alors lim u n Si, à partir d’un certain rang, vn u n , et si lim u n , alors lim vn n n n n 2) Théorème : Si une suite (un) est croissante et admet pour limite l, alors pour tout entier naturel n, u n l Si une suite (un) est décroissante et admet pour limite l, alors pour tout entier naturel n, u n l 3) Limite d’une suite géométrique : 4) Théorème : Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞. Toute suite décroissante non minorée a pour limite - ∞. Démonstration : pour une suite croissante non majorée : Il faut prouver que pour tout réel A aussi grand soit-il, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A. (un) n’est pas majorée, donc A ne peut être un majorant de la suite. Il existe donc un entier naturel p tel que up > A. Or (un) est croissante, donc pour tout entier n ≥ p, u n u p A . Ceci étant vrai quel que soit A, on a donc lim u n . n 5) Fonction exponentielle : Théorème : Il existe une et une seule solution f définie et dérivable sur telle que : f ' f et f (0) 1 . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note exp. Démonstration :(exigible) Existence : ADMIS Unicité Soit f une fonction dérivable sur telle que f ‘= f et f (0) 1 Pour tout réel x, on pose ( x) f ( x) f ( x) f étant dérivable sur , alors l’est aussi e t on a pour tout réel x '( x) f '( x) f ( x) f ( x) f '( x) '( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) '( x) 0 Donc est constante sur et (0) 1 et, par conséquent, pour tout réel x, ( x) 1 f ( x) f ( x) et donc f ( x) 0 Raisonnons par l’absurde Soit g une autre fonction dérivable sur telle que g '( x) g ( x) et g (0) 1 . g On a vu précédemment que f ( x) 0 ( également g ( x) 0 ) alors la fonction est f ' dérivable sur g g '( x) f ( x) g ( x) f '( x) et 0 2 f f ( x) g La fonction quotient est alors constante sur f g Or (0) 1 donc f g . Et, par conséquent, f est unique. f 6) Limites de la fonction exponentielle : Propriété : lim e x 0 et xlim e x . x Démonstration :(exigible) On considère la fonction f définie sur f est une fonction dérivable sur décroissante et sur 0, , par f ( x) e x x . On a f '( x) e x 1. Sur ;0 , f '( x) 0 donc f est f est croissante. De plus, f (0) 1 , donc f admet en 0 un minimum égal à 1. Par suite f ( x) 1 , donc f ( x) 0 sur , d’où e x x De plus lim x donc, par comparaison, lim e x x x Pour déterminer l’autre limite, on pose X x , alors lim X x lim e x Xlim e X Xlim x 1 0 car Xlim e X X e 7) Indépendance : Théorème : Si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour les événements : 1) A et B 2) A et B 3) A et B Démonstration exigible : A et B sont indépendants, donc P A B P A P B (*) Or, A et A sont deux événements incompatibles dont la réunion est l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales : P B P A B P A B . Ainsi P A B P B 1 P A P A P B ; donc A et B sont indépendants. D’où P A B P B P A B soit d’après (*) P A B P B P A P B . Pour le 2) il suffit de changer les rôles de A et B. Pour le 3), d’après 1) A et B sont indépendants, donc d’après 2) A et B sont indépendants. 8) Théorème du toit : 9) Loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire : 10) Espérance de la loi exponentielle : 11) Loi normale : Théorème : si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0 ; 1), alors pour tout réel 0;1 , il existe un unique réel u 0 tel que P u X u 1 . Démonstration : u Par symétrie de la courbe de f, P u X u 2 P 0 X u 2 f x dx 2G u 0 où G est la primitive de f sur qui s’annule en 0. G est continue et strictement croissante (car f > 0) sur 0; . 1 2 De plus lim G u (vu précédemment). u Donc la fonction 2G est continue strictement croissante sur 0; à valeurs dans [0 ; 1]. Or pour tout 0;1 , 1 0;1 , donc d’après le théorème de la bijection, il existe un unique réel u 0 tel que 2G u P u X u 1 .