Notions de trigonométrie

Notions de trigonométrie
1) Introduction .
Le sens du mot « trigonométrie » signifie « mesure des triangles »
La particularité de la trigonométrie est que les relations trigonométriques font intervenir , à la
fois, des COTES et des ANGLES des triangles
B
a
c
C
A
b
-
L’angle et son amplitude seront toujours désigné par une lettre majuscule qui désigne
son sommet.
La longueur du côté sera notée par une minuscule et le côté correspondra au sommet
opposé. (voir la figure ci-dessus)
2) Définitions
(Ces définitions sont à retenir)
B
a
c
C
A
b
La tangente de l’angle C est égale à c/b , le cosinus de C sera égal à b/a et le sinus de C
est égal à c/a
En d’autres termes :
Notions de trigo (Math 4 Technique)
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La tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égale au rapport du côté de l’angle
droit opposé à cet angle et celle du côté de l’angle droit adjacent à cet angle.
Le cosinus est égal au rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur
de l’hypoténuse.
Le sinus est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et celle de l’hypoténuse
Le cosinus d’un angle est égal au sinus de son complémentaire et inversément
Ex. cos C = sin B = b/a et cos B = sin C = c/a
Cosinus est en fait le sinus de l’angle complémentaire
3) Transformation des formules
B
a
c
C
A
b
En transformant les formules on obtient :
cos B = c/a  c= a. cos B
sin B = b/a  b= a . sin B
tg B = b/c  b = c. tg B
Notions de trigo (Math 4 Technique)
cos C = b/a  b = a. cos C
sin C = c/a c= a . sin C
tg C = c/b  c = b . tg C
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4) Formules de base
B
a
c
C
A
b
Formule 1 :
tg C = sin C / cos C
(à admettre)
Formule 2 :
cos 2 C + sin 2 C = 1
5) Quelques valeurs trigonométriques particulières
1) 45 °
tg 45 ° = 1
cos 45 ° = 2 / 2
sin 45 ° = 2 / 2
Dans un demi-carré , on a tg 45 ° a/a = 1
Cos 45 ° = a/b
or si on utilise le théorème de Pythagore b 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 donc b2 = 2
a2  b = a 2
Cos 45° = a / a
2 = 1/
2 =
2/ 2. 2=
2/2
Et sin 45 ° = cos 45 °  la valeur des sinus et cosinus sont identiques
Représentons cette démonstration sous forme « graphique »
Notions de trigo (Math 4 Technique)
3
2) 60 °
cos 60 ° = ½
sin 60 ° = 3 / 2
tg 60 ° =
3
a
60 °
a/2
Démonstration
cos 60° = a/2 /a = a/2 . 1/a = ½
sin 2 60° + cos 2 60° = 1  sin 2 60° = ¾
 sin 60° = 3/ 4 =
3 /2
tg 60° = sin 60° / cos 60° = ( 3 /2) / ½ = ( 3 /2) * 2 =
3
3) 30 °
a) L’angle 30 ° étant le complémentaire de 60° , calculez les sin et cos de cet angle : cela
est très facile – donnez la règle que vous appliqueriez ?
b) La tangente de 30 ° est égale à sin 30° / cos 30° = ??? calculez-le ?
Notions de trigo (Math 4 Technique)
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Tableau récapitulatif des  valeurs
Sinus
Cosinus
Tangente
30 °
3
45 °
2
2
60 °
3
2
3
2
3
3
2
2
1
2
3
1
[Les démonstrations qui s’y rapportent sont importantes  matière à connaître]
6) Usage de la calculatrice
Autrefois, il y a 30 ans , les valeurs étaient données dans des tables, de nos jours , la
calculatrice scientifique est l’outil indispensable .
6.1) Les unités
Les unités de mesures des angles sont le degré, le radian, le grade
Nous utiliserons le degré : un degré est la 360 ieme partie d’un cercle : il se divise en
60 minutes (min ou ‘ ) et une minute est égale à 60 secondes (s ou ‘’ )
Un petit bout d’histoire
La base mathématique est donc la base 60 : base dite sexagésimale : c’est d’après les
historiens des mathématiques , la base « parfaite » puisque issue de la « Nature » .
[En 3500 avant J.C. déjà, en Mésopotamie, on utilise des petits cailloux d’argile
de formes et de tailles différentes suivant la quantité qu’elle représente :
-Petit cône = 1
-Petite bille = 10
-Grand cône = 60
-Grand cône percé =
600
-Grosse bille = 3600
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-Grosse bille percée =
36000
Ces cailloux constituent le premier système de numération, la base est
sexagésimale (base 60).
Plus tard, ces cailloux se transformeront en symboles notés sur des tablettes
d’argile.
L’astronomie a préservé ce système que l’on retrouve aujourd’hui au travers des
unités de temps (1h = 60min = 3600s) et des mesures d’angles (un tour entier =
360°).
Par exemple 75 en base 10 s'écrit 1,15 en base 60. En effet, 75 min = 1h15min.
L’origine de la base 60 vient de nos mains : il s’agit d’une combinaison entre les 5
doigts de la main gauche et les phalanges des quatre doigts de la main droite, le
pouce servant à compter les phalanges, soit 12 au total. Et 5 x 12 = 60 ! ]
Revenons à nos mathématiques : les calculatrices travaillent en base 10  il est important
de savoir transformer les nombres décimaux en sexagésimaux et vice versa.
Ex
A. Sexagésimal en décimal
1) 32 ° 30 ‘ = 32, 5 °
2) 53 ° 45 ‘ = 53, 75 °
3) 17 ° 17’ = 17 ° + 17/60 = 17, 283333… °
4) 26 ° 15’ 17’’ =
5) 27 ° 10’ 23’’ =
B . Décimal en sexagésimal
13,75 ° = 13 ° 45 car 0.75 * 60 = 45
15, 23 ° = 15 ° 13’ 48’’ car 0, 23 * 60 = 13, 8’
0, 8 * 60 = 48’’
Calculez 27, 173 °
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