Le physicien qui rêvait d`être skieur – Conte de Noël

Le physicien qui rêvait d’être skieur – Conte de Noël
Données : g  10 m.s-2
Les cinq questions sont indépendantes et peuvent être
résolues dans un ordre différent de celui du… conte.
Il était une fois, il y a bien longtemps, un petit physicien qui
rêvait de devenir… un grand skieur. Dans son esprit de
physicien naquit l’idée d’une discipline qui n’existait pas
encore, et que nous nommerions, aujourd’hui, le « saut à
ski ».
Le petit physicien connaissait bien les lois de Newton et
autres théorèmes de la mécanique, et il entreprit de
calculer la distance qu’il pourrait franchir avec
suffisamment d’élan. Sur un bout de papier, il griffonna
rapidement la piste d’envol vers ses rêves, qui ressemblait
à ceci :
Bien que son dessin ne fût pas d’une grande précision, il y
fit figurer trois points : A, le départ de sa course, à l’arrêt ;
B, l’amorce de l’arc de cercle, et C, enfin, le point de
décollage où il s’imaginait quitter la piste pour…
commencer son vol. Il décida que les altitudes des points B
et C seraient identiques, puis nota  l’angle entre la droite
(AB) et l’horizontale, et  l’angle entre la tangente à l’arc de
cercle en C et l’horizontale. Enfin, il nomma l la longueur
du segment [AB].
Le physicien espérait atteindre au point C une vitesse
équivalant à une fois et demi celle d’un cheval au galop,
c'est-à-dire, en termes modernes, une vitesse voisine de
100 Km/h. Nous noterons VC cette vitesse, et VC le vecteur
associé.
1. En négligeant les frottements de la piste et de l’air sur le
skieur, et en ramenant le corps de celui-ci à un simple
point, exprimez, comme le fit notre physicien, la
longueur l nécessaire pour que la valeur de la vitesse,
VC, soit atteinte (on attend une expression littérale en
fonction de VC et d’autres paramètres éventuels).
Calculez, ensuite, la valeur numérique de l , avec
 = 45°.
Le physicien décida que le point C se trouverait à une
hauteur H = 5,0 m du sol. Il détermina les équations de la
trajectoire, et en déduisit l’expression de la distance D
entre la verticale du point C et celle du point où il toucherait
le sol.
2. A vous de jouer ! Reproduisez le long travail du
physicien, et calculez, vous aussi, la distance D, en
supposant que  est égal, comme , à 45°.
Le physicien se réjouit du résultat, bien qu’il ignorât s’il était
capable de survivre à un tel vol. En effet, qu’adviendrait-t-il
lors de l’impact avec le sol ? Il calcula, en utilisant les
équations horaires qu’il avait déterminées précédemment,
l’angle de l’impact, c'est-à-dire l’angle entre le vecteur
vitesse et l’horizontale, lorsqu’il toucherait le sol. Il jugea
cet angle de grande valeur, et en fut tourmenté. Il entreprit
aussi de calculer la valeur de la vitesse qu’il possèderait,
lors de l’impact. Car il avait compris que de ce paramètre
dépendait sa survie.
3. Exprimez, vous aussi, en utilisant la méthode la plus
simple qui soit, la vitesse lors de l’impact en fonction
des autres paramètres. Puis calculez sa valeur. Jugezvous que cela représente un danger pour notre
physicien ? (Notez que l’on ne vous demande pas de
déterminer l’angle d’impact)
Le physicien reprit sa rêverie, et ses idées de grandeur. Il
souhaitait franchir une grande distance, c’est vrai, mais il
songea aussi à l’altitude (par rapport au sol) qu’il atteindrait
au sommet de sa trajectoire. Serait-elle importante ?
Pourrait-il contempler la campagne environnante, avant
d’entamer sa dangereuse descente ? Il se mit à raisonner
en terme d’énergie et de travail.
4. Que pouvez-vous dire de l’énergie de mouvement du
physicien-skieur (autrement dit, son énergie cinétique)
au sommet de sa trajectoire ? Est-elle négative ? nulle ?
positive ? En conséquence, l’altitude au sommet de la
trajectoire sera-t-elle inférieure, égale ou supérieure à
celle du point A ? Ainsi, le physicien pourra-t-il
contempler de nouveaux paysages lors de son vol ?
Justifiez chacune de vos affirmations.
5. Vous savez que, de nos jours, le saut à ski représente
une discipline sportive à part entière, et notre physicien
serait surpris de voir quelle précision apportent les
athlètes à leur préparation. Pensez-vous que ceux-ci,
s’ils s’élançaient du point C avec une vitesse de
100 Km/h, franchiraient une distance plus grande que
celle que calcula le physicien ? ou moindre ? Raisonnez
en négligeant les frottements de l’air, puis, ensuite, en
les prenant en compte.
Pour finir, vous pouvez proposer une morale à ce conte de
Noël, mais celle-ci n’entrera pas dans le barème.
Eléments de correction
1)
Système : le physicien-skieur, ramené à un point
Référentiel : le référentiel terrestre, supposé galiléen.
Inventaire des forces lors du mouvement du skieur entre
A et C : le poids du skieur P , vertical et dirigé vers le bas ;
la réaction du sol R , de direction perpendiculaire au
mouvement, et dirigée vers le haut ; quant aux
frottements, ils seront négligés.
Comme le référentiel est considéré comme galiléen, on
peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique à notre
physicien-skieur entre A et C. Ainsi, la variation d’énergie
cinétique du physicien-skieur entre A et C est égale au
travail des forces qui lui sont appliquées sur ce même
trajet.
On remarque que le travail de R est nul entre A et C,
puisque R reste constamment perpendiculaire au
mouvement.
1
1
Il vient donc m VC2  m VA2  WP A C .
2
2
Or VA = 0, et WP A C  mgh (où h est égale à la
dénivellation entre A et C, c'est-à-dire entre A et B, d’où
h  l sin  ), soit WP A C  mg l sin 
Ainsi,
1
m VC2  m g l sin , c'est-à-dire
2
l=
VC2
.
2 gsin 
2
 100.103 


3600 
A.N. : l = 
 54,6 m.
2  10  sin 45
La distance nécessaire à laquelle le physicien-skieur
devra s’élancer du point B est environ égale à 54,6 m.
A t = 0, le physicien-skieur occupe le point C
initiale est VC
VC cos 
VC sin 
0
0
. La vitesse
.
Comme l’on se trouve dans un référentiel galiléen, on peut
appliquer le théorème du centre d’inertie à notre système :
P  m a . Soit, en projetant dans notre repère :
 x  t   0
.

 y  t   g
 x  t   cste1
On « intègre » ces relations : 
et on
 y  t   gt  cste2
utilise les conditions initiales pour déterminer les
constantes
(cste1 = x  0  = VC cos  ; cste2 = y  0  = VC sin ), soit
 x  t   VC cos 

 y  t   gt  VC sin 
On « intègre » à nouveau ces relations, ce qui donne
 x  t   VC cos  t  cste3


g t2
 VC sin  t  cste 4
y  t   
2

Les constantes sont à nouveau données par les
conditions initiales (cste3 = x(0) = 0 ; cste4 = y(0) = 0),
 x  t   VC cos  t

soit : 
g t2
 VC sin  t
y  t   
2

On élimine le temps entre les deux équations pour obtenir
l’équation de la trajectoire :
x
t
, donc
VC cos 
2
j

g
x
x
, ce qui donne
y 
  VC sin 
2  VC cos  
VC cos 
y
i
2)
Par la suite, on travaillera dans le repère mathématique
{C ; i ; j }.
Système : l’éternel physicien-skieur
Référentiel : le référentiel terrestre, supposé galiléen,
comme précédemment
Inventaire des forces lors du « vol » : le poids du
0
physicien-skieur P
; quant aux frottements, ils seront
mg
encore négligés.
g x2
 tan  x .
2 VC2 cos2 
En fonction des valeurs de l’énoncé, on peut donner la
forme numérique de cette équation :
10  x2
y
 tan 45 x , c'est-à-dire
2
 100.103 
2
2
 cos 45 
 3600  


y  1,296.102 x2  x
On cherche à exprimer la valeur particulière de l’abscisse
D pour laquelle le skieur passe par le point d’ordonnée
égale à –H. D est donc solution de l’équation du second
degré H  1,296.102 x2  x , c'est-à-dire
1,296.102 x2  x  5  0
Le discriminant du polynôme est  = 1 + 4  5  1,296.10-2
(on remarque que  est strictement positif).
Les racines du polynôme sont donc
1  1  4  5  1,296.102
, c'est-à-dire environ
2  1,296.102
-4,7 m (incohérent)
et
82 m (c’est la valeur de D recherchée).
Le physicien espère donc atteindre la distance D = 82 m.
3)
On appelle Vimpact la norme de la vitesse lors de l’impact.
Comme le référentiel est considéré comme galiléen, on
peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique à notre
skieur entre C et l’endroit de l’impact avec le sol.
C’est la méthode la plus simple. Mais notez que l’on
pouvait aussi trouver le résultat en calculant l’instant t de
l’impact et en injectant sa valeur dans les équations
horaires des composantes de la vitesse.
Ainsi, la variation d’énergie cinétique du skieur lors du
« vol » est égale au travail du poids sur ce même trajet.
1
1
2
 m VC2  WP .
Il vient donc m Vimpact
2
2
Puisque WP est égal à m g H, il vient :
du poids entre A et S est strictement positif, et donc… que
l’altitude de S est strictement inférieure à celle de A ! (le
travail est moteur)
Le skieur n’atteindra donc pas, lors de son vol, une
altitude supérieure à celle de A. Tant pis pour la vue !
5)
Si l’on néglige les frottements de l’air, il y a fort à parier
que les skieurs modernes franchiraient exactement la
distance théorique. Leur équipement ne changerait en rien
les équations du mouvement que nous avons
déterminées.
Cependant, si l’on prend en compte les frottements de
l’air, que se passe-t-il ?
On pourrait penser que, ces frottement empêchant le
mouvement, les skieurs retomberaient en réalité moins
loin que ce que notre physicien-skieur a prévu dans ses
calculs.
En fait, ce n’est pas le cas ! Pensez aux compétitions de
saut à ski : les skieurs utilisent les frottements pour
« planer », et allongent ainsi la longueur de leur vol. Les
frottements de l’air, de par l’inclinaison des skis, sont en
effet dirigés principalement vers le haut, et ainsi,
compensent quelque peu le poids des athlètes.
1
1
2
m Vimpact
 m VC2  m gH , c'est-à-dire
2
2
Quelle serait alors la morale de ce conte (que l’on pourrait
alors qualifier de fable) ? Nous vous proposons celle-ci
(rédigée à la hâte, il est vrai) :
Vimpact  VC2  2gH ;
A rêver de grandeur, on est assez souvent
 100.10
A.N. : Vimpact  
 3600
soit environ 106 Km/h
légèrement augmenté).
3
2

  2  10  5,0  29,5 m/s,

(la norme de la vitesse a
A titre d’information, l’angle d’impact est voisin de 42° (on
le déterminerait à l’aide des équations horaires des
composantes de la vitesse).
Le pauvre physicien risquait donc de se faire très mal lors
de l’atterrissage.
4)
Soit S le point représentant le sommet de la trajectoire.
Lorsque le physicien-skieur atteint le point S, son énergie
cinétique n’est pas nulle ! elle est vérité strictement
positive, puisque la norme de sa vitesse est, elle aussi,
strictement positive (sa composante suivant l’axe des
ordonnées est nulle, mais pas sa composante selon l’axe
des abscisses).
Ainsi, entre A et C, la variation de l’énergie cinétique est
strictement positive (car l’énergie cinétique est nulle en A).
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à notre
physicien-skieur entre A et S, on en déduit que le travail
Largement en deçà de ce qu’on réalise,
Après. Mais… sachez-le, dans leurs pensées, pourtant,
Les physiciens-rêveurs planent plus qu’ils le disent.