Corrigé : Doc. Révision Sn4 Section C (Bleu) #11) Le jeu de blocs 1) Définir les inconnues : soit x : La largeur d’un bloc et y : la longueur d’un bloc 2) Écrire les équations : Empilage A : 2x + 3y = 30,6 cm Empilage B : 3x + y = 17,2 cm 3) Résoudre le système d’équations par réduction (ou par substitution ou réduction) 3(3x + y = 17,2) 9x + 3y = 51,6 - 2x + 3y = 30,6 7x = 21 Dans A) 2 X 3 + 3y = 30,6 cm x=3 Dans B) 3 X 3 + y = 17,2 cm 6 + 3y = 30,6 cm 3y = 24,6 cm 9 + y = 17,2 cm y = 8,2 cm y = 8,2 cm 4) Écrire la solution : La largeur d’un bloc est de 3 cm et la longueur est de 8,2 cm 5) Calculer la hauteur de l’empilage C : 3 + 2 X 8,2 = 19,4cm 6) Répondre à la question : La hauteur de l’empilage C est de 19,4 cm # 12 Un garde-corps 1) Calculer la mesure du segment BE avec le rapport cosinus : Cos 68o = _1m_ BE = 2,67m BE Ou : Calculer l’angle BEF et Calculer la mesure du segment BE avec la loi des sinus : L’angle BEF mesure 22o car la somme des angles intérieurs d’un triangle est 180o Et : _1m___ = _BE___ Sin 22o BE = 2,67m Sin 90o 2) Calculer la mesure de l’angle ABE avec la loi des sinus _2,67___ = _1,89_ l’angle ABE = 41,7 o Sin 110o Sin ABE 3) Calculer la mesure de l’angle AEB L’angle AEB est de 28,3o car la somme des angles intérieurs d’un triangle est 1800 4) Calculer le segment AB avec la loi des Sinus _2,67m_ = _AB__ AB = 1,35m Sin 110o Sin 28,3o 5) Répondre à la question : La longueur du garde-corps sera de 1,35m # 13 Un losange mais pas un carré 1) Établir les définitions pertinentes : Définition d’un losange : 4 cotés congrus Définition d’un carré : 4 cotés congrus et 4 angles droits 2) Calculer les mesures de DC et BC pour vérifier qu’elles sont de 50 unités DC : Δx = (86 - 46) = 40 et Δy = (0 - 30) = -30 DC = √(402 + 302) = 50 Unités BC : Δx = (100 - 86) = 14 et Δy = (48 - 0) = 48 BC = √(142 + 482) = 50 Unités 3) Vérifier si l’angle DCB est droit (90o) ou si les segments DC et BC sont perpendiculaires Par géométrie analytique : Trouver la pente de DC : -30/40 = -3/4 = -0,75 Trouver la pente de BC : 48/14 = 24/7 = 3.43 Les pentes ne sont pas opposées-inverses, donc segments non-perpendiculaire. Ou Par trigonométrie : Trouver la distance DB, puis la loi des Cos DB : Δx = (100 - 46) = 54 et Δy = (48 - 30) = -18 DB = √(542 + 182) = 56.9 Unités 56.92 = 502 + 502 -2X50X50XCosC Angle C = 69,4o pas un angle droit! 4) Conclure : Le quadrilatère ABCD est un losange car il possède 4 côtés congrus, Il n’est pas un carré car il ne possède pas 4 angles droits. #14 Le Volleyball 1) Trouver l’équation de la trajectoire avec S(2.5 ; 3) et R(0, 1) En remplaçant dans f(x) = a(x – h)2 + K 1 = a(0 – 2,5)2 + 3 -2 = 6.25a a = -0,32 La règle algébrique de la trajectoire est : f(x) = -0,32(x – 2,5)2 + 3 2) Trouver l’abscisse du point B En remplaçant y par 2.92 : 2,92 = -0,32(x – 2.5)2 + 3 -0,08 = -0,32(x – 2,5)2 0,25 = (x – 2.5)2 0,5 = x – 2,5 et -0,5 = x – 2,5 x=3 x=2 selon le contexte la solution est : x = 3 Donc l’abscisse du point B est : 3 + 1.5 = 4,5 2) Trouver l’ordonnée du point B En remplaçant x par 4,5 dans l’équation trouvée en 1) y = -0,32 (4,5 – 2,5)2 + 3 y = -0,32 X 22 + 3 y = 1,72m 3) Répondre à la question : Le ballon est à 1,72m du sol lorsque Bianca l’intercepte. #15 Un agent immobilier 1) Trouver la valeur de x pour une commission de 6000$ (point plein du graphique partie entière) 6000 = 1000 [ __x___] + 1000 25 000 5000 = 1000 [ __x___] 25 000 5 = [ __x___] x = 125 000 (point plein) 25 000 2) Vérifier le sens de la marche : puisque b est positif la marche est : Donc pour une commission de 6000$ le prix est de [ 125 000, 150 000[ 3) Trouver pour quelles valeurs de x (prix) une augmentation de 500$ ferait augmenter la commission de 1000$ (soit une contre-marche) Le montant doit être moins de 150 000$ donc : [149 500$, 150 000[ # 16 Les prolongements Affirmations : BCA CAB ABC = 60o CQ AR RAP QCR = 120o Justifications : équilatéral donc équiangle (180o/3) ils mesurent x par hypothèse supplémentaire en ligne droite avec CAB et BCA = 60o AP CR ils mesurent 2x par hypothèse ∆ ARP ∆ CQR Par ACA RP RQ Les côtés homologues de ∆ isométriques sont congrus Question 1 : La pyramide de Chichen itza Volume de la pyramide = Aire de la Base X Hauteur 3 3 _x3 – 2x2 – 21x – 36 m2 = Ab X (x – 12) 3 x3 – 6x2 – 63x – 108 = Ab X (x – 12) x3 – 6x2 – 63x – 108 = Ab division par crochet (x – 12) x3 – 6x2 – 63x – 108 x3 – 12x2 x – 12 x2 + 6x + 9 6x2 – 63x – 108 6x2 – 72x Ab = x2 + 6x + 9 9x – 108 9x – 108 0 En factorisant : x2 + 6x + 9 x2 + 6x + 9 = ( x + 3)2 Comme longueur = largeur = (x + 3) , la base de la pyramide est carrée. Question 2 : Le Logo Plusieurs façons et ordres différents possibles Affirmations : Justifications : RPQ = 44o La somme des angles int. d’un ∆ = 180o ACB = 53o loi des sinus, voir calculs RPQ BAC 2 angles de 44o RQP ACB 2 angles de 53o Δ ABD ≈ Δ PRQ Par AA m QR = 1,12m Les côtés homologues de ∆ semblables sont proportionnels (Voir calculs) calculs : __7__ = __8___ ==> C = 53o Sin 44o Sin C _8mm = _7mm_ 1,28m ==> QR = 1,12m QR Conclusion : Les parties triangulaires sont semblebles et QR mesure au moins 1m Question 3 : Le Pont ED2 = BE X EC ( h2 = mn) ==> ED2 = 4 X 9 = 36 ==> ED = 6m BD = √(BE2 + DE2) ( a2 + b2 = c2) ==> BD = 7,211m CD = √(BC2 - BD2) (b2 = c2 – a2) ==> CD = 10,817m BD X DA = CD2 (h2 = mn) 7,211 X DA = 10,8172 ==> DA = 16,225m BA = BD + DA BA = 7,211 + 16,225 = 23,44m La longueur du pont est de 23,44m Question 4 : Le triangle des Bermudes 1) Trouver l’angle B : par la loi des Sinus _1600_ = _1475_ Sin B ==> angle B = 60o Sin 53o 2) Trouver les angles FPR , BPR et BPF : La somme des angles int. ∆ = 180o FPR = 37o , (180 – (90 + 53)) BPR = 30o , (180 – (90 + 60)) BPF = 67o , (180 – (53 + 60)) ou 30 + 37 = 67 3) Trouver FB : Par la loi des Sinus _FB__ = _1600_ == » FB = 1700,7 Km Sin 67o Sin 60o 4) Trouver PR par la loi des Sinus ou avec les rapports Sinus ou cosinus Sin 53o = _PR_ == » PR = 1277,8Km 1600 5) Trouver le segment PA; soit le double de PR PA = 1277,8 X 2 = 2555,6 Km 6) Calculer la distance totale parcourue : soit FB + BP + PA 1700,7 Km + 1475 Km + 2555,6 Km = 5731,3 Km 7) Calculer la quantité de carburant nécessaire. 5731,3 Km X 0,22 l/Km = 1261 litres de carburant 1261 litres de carburant seront nécessaires pour faire le trajet complet. Question 5 : La valise Notion d’équivalence == » Même volume 5 (2x + 2) (4x – 1) = 440 dm3 (2x + 2) (4x – 1) = 88 dm2 8x2 + 6x – 2 = 88 dm2 8x2 + 6x – 90 = 0 dm2 Résoudre l’équation du 2e degré par la Formule du discriminant. b2 – 4ac = 36 – 4 X 8 X -90 = 2916 -6 + √2916 = 3 16 -6 - √2916 = -3,75 Un côté ne pouvant être négatif 16 cette solution est rejeté. Donc x = 3 : (2x + 2) = 8dm et (4x – 1) = 11dm Les dimensions de la valise d’Alexis sont : 5dm X 8dm X 11dm Question 6 : Le football américain en Argentine 1) Trouver l’équation de la fonction f, en utilisant le sommet D(20, 30) et (40, 46) En remplaçant dans : f(x) = a(x – h)2 + k 46 = a(40 – 20)2 + 30 16 = a (20)2 a = 0,04 Donc l’équation : f(x) = 0,04(x – 20)2 + 30 2) Trouver les 2 valeurs de x pour lesquelles y = 40 dans f(x) 40 = 0,04(x – 20)2 + 30 10 = 0,04(x – 20)2 250 = (x – 20)2 +√250 = x – 20 -√250 = x – 20 x = 35,81 x = 4,19 3) Trouver le point C ; Par symétrie (20, 50) 4) Calculer la hauteur du ballon : 50 – 30 = 20dm 5) Calculer la largeur du ballon : 35,81 – 4, 19 = 31,62dm 6) Conclure : Un panneau de 30dm par 50dm sera suffisant Question 7 : Félix et Guy 1) Calculer les zéros de la fonction g 0 = -1/4 (x – 5)2 + 16 -16 = -1/4 (x – 5)2 64 = (x – 5)2 8=x–5 -8 = x – 5 Z x = 13 x = -3 2) Avec le 2e zéro (13) de g , on trouve le 2e zéro de f ( 13 – 5 = 8) 3) Puisque h de f est 2 , on trouve le 1ier zéro par symétrie : x = - 4 4) Avec les 2 zéros ( -4 et 8) et le point (0, 16), on peut trouver la règle en remplaçant. f(x) = a(x - x1)(x - x2) 16 = a (0 + 4) (0 – 8) 16 = -32a == » a = -0,5 5) La règle de f est : f(x) = -0,5(x + 4) (x – 8) ou f(x) = -0,5x2 + 2x +16 Question #1 : Rectangle ou non Plusieurs approches possibles (Th. Pythagore ; loi des Cosinus et géométrie analytique) 1) Calculer les pentes des segments ; PQ ; QR et PR PQ : 80 – 28 = 52 15 + 50 QR : -37 – 80 = 65 106 – 15 -117 PR : -37 – 28 = -65 91 106 + 50 156 2) Conclure : Barbara a tors, comme aucune paire de pentes n’est opposée-inverse, le triangle n’est pas rectangle. Question #2 Spectacle pyrotechnique 1) Trouver le sommet atteint pour chaque fusée et la hauteur de l’explosion f(x) : le sommet est (5, 320) , la fusée explosera donc à 316m de hauteur g(x) : h = -b/2a h = -48/-8 = 6 k = - 4 X 62 + 48 X 6 = 144 Sommet (6, 144) ; explosion à 140m 2) Calculer le temps correspondant à la hauteur de l’explosion Pour f(x) : 316 = -16 (x – 5)2 + 320 -4 = -16 (x – 5)2 0.25 = (x – 5)2 Pour g(x) : 140 = -4x2 + 48x -4x2 + 48x – 140 = 0 b2 – 4ac = 482 – 4 X -4 X -140 = 64 -48 + √64 = 5 = x1 0,5 = x – 5 -0,5 = x – 5 x1 = 5,5 x2 = 4,5 Selon le contexte : x = 5,5 -8 -48 - √64 = 7 = x2 -8 Selon le contexte : x = 7 3) Calculer durant combien de temps les 2 boules de lumière seront visibles La fusée rouge f(x) explose à 5,5s et est visible jusqu’à 8,5s La fusée verte g(x) explose à 7s et est visible jusqu’à 10s Les 2 fusées sont visibles entre 7s et 8,5s 4) Les 2 fusées seront visibles simultanément durant 1,5s Question #3 Le potager urbain 1) Définir les inconnues Soit : x : la largeur du potager (m) et y : le prix payé ($) 2) Écrire les équations pour les 2 options Option A : y = 10x2 (x de large X 2x de long X 5$) Option B : y = 24x Voir schéma 1 ( x + 2x + x + 2x) X 4$ 3) Résoudre le système d’équations du 1ier et 2e degré par comparaison 10x2 = 24x 10x2 – 24x = 0 b2 – 4ac = (-24)2 – 4 X 10 X 0 = 576 X1 = 24 + √576 = 2.4m x2 = 24 - √576 = 0 20 20 Voir schémas 2 4) Répondre : Chère Josiane, si la largeur de ton jardin est de moins de 2,4m Tu devrais choisir l’option A, par contre si la largeur de ton jardin est de plus de 2.4 m, alors tu devrais choisir l’option B ! Schémas 1 Schémas 2 2x x x Y = 24x 2x Y = 10x2 0 2.4