Corrigé avec rappel de l`énoncé

Série D 2001.Problème de physique
Corrigé avec rappel de l’énoncé
(Les lettres en caractères gras désignent des vecteurs)
On considère un disque plein, homogène, de masse M = 500g, de rayon R = 20 cm et de
centre C.
1.Le disque peut osciller, dans un plan vertical, autour d’un axe horizontal fixe (),
perpendiculaire à son plan et passant par un point O de sa circonférence. Au point B
diamétralement opposé à O, on fixe un corps ponctuel (S), de masse m =M/2 (voir
figure 1).
Montrer que :
a.
la distance du centre d’inertie G du système {disque + corps (S)} à l’axe () est OG = a =4R/3.
(1,00 pt)
G est barycentre des points C(M) et B(m), soit :
OG 
M.OC  m.OB
Mm
Les vecteurs ayant même direction et même sens (voir figure ci-dessus), la longueur OG
s’écrit donc :
OG 
M
.2R
2MR 4
2

 .R
M
3
M
M 3
2
2
M.R 
b.
le moment d’inertie du système {disque + corps (S)} par rapport à l’axe () est
J = 7 mR2. (1,00 pt)
Calcul du moment d’inertie du système, en tenant compte du théorème de Huyghens:
J Δ  Σm i ri  J Δ (disque)  J Δ (surcharge )  J Δ ' (disque)  M  R 2 
2
M
 (2R) 2
2
Et comme : M=2m
JΔ 
1
 M.R 2  MR 2  2MR 2  (3,5.M)R 2  (7m).R 2
2
2.Le système {disque + corps (S)} constitue un pendule composé. On considère les oscillations de
faible amplitude autour de l’axe () de ce pendule. Calculer la longueur l du pendule simple synchrone de
ce pendule composé. (1,50 pt)
Le système de poids total P =(M+m)g , écarté de sa position d’équilibre, est schématisé
ci-dessous.
Le sens positif de rotation étant choisi, écrivons le théorème de l’accélération
angulaire pour un angle  petit:
d 2θ
4R 3M
J Δ .  2  M t (P/ Δ )  a  (M  m)g  sin θ  

g  θ  2RMg  θ
dt
3
2
Le signe « moins » se justifie car le moment de P est toujours de signe contraire à celui
de .
Soit en simplifiant par M, on obtient l’équation différentielle du mouvement de
l’oscillateur :
7.R.θ  4g.θ  0
Remarque :
Avant d’aller plus loin, il est important de vérifier l’homogénéité de la formule !
Les deux termes de l’équation différentielle ont la même unité SI soit: m.rad.s-2
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation et de
période T, avec :
 
4g
7R
et T  2 .
7R
4g
Le pendule simple de longueur l synchrone du pendule composé doit vérifier :
l

g
3.-
7R
l 7R
7R 7.20cm
 
l

 35cm
4g
g 4g
4
4
On enlève le corps (S). On fait tourner le disque, seul, à l’aide d’un moteur. Lorsque le
disque atteint la vitesse de rotation égale à 300 tours par minute, on arrête le moteur et
on applique sur le disque un couple de freinage de moment M f constant. Il s’arrête
après avoir effectué 250 tours, comptés à partir de l’arrêt du moteur.
a. Calculer M f . (1,00 pt)
Le disque tourne cette fois sans surcharge autour de son axe ’
d 2
J  '  . 2  M f
dt
(Le moment de la force tend à s’opposer au mouvement de rotation dans le sens choisi
positif d’où le signe négatif devant Mf)
Mf étant constant, le mouvement de rotation est uniformément varié d’accélération :
  
Mf
J '
 constante (équation1)
En intégrant, cette relation par rapport au temps, nous trouvons :
La vitesse angulaire :
   (t )  
avec o 
Mf
 t  o (équation 2)
J '
2. .No 2. 300

 31,4rad .s 1
60
60
(t) est donc une fonction affine décroissante de pente : –Mf/J
Une nouvelle intégration permet d’obtenir  :
Mf t 2
θ(t)  
  ωo .t  θo or,à t  0,θ  0 et donc θo  0
J Δ' 2
soit : θ(t)  [
Mf
]  t 2  ωo .t
2.J Δ'
(équation 3 )
Les équations 1,2 et3 dépendantes du temps sont celles définissant un mouvement
uniformément varié.
Pour trouver Mf, nous devons établir une quatriéme équation, celle que l’on obtient en
éliminant t entre les deux équations 2 et 3
Nous tirons t de l’équation 2 et reportons son expression dans la troisième.
Après simplification on obtient :
(équation 4)
 2  o 2  2  ( 
Mf
Mf
)  (   o )  2

J '
J '
Remarque : cette relation est formellement identique à celle obtenue lors d’un mouvement
rectiligne uniformément varié. Il suffit de remplacer  par v ,  par x, et
l’accélération angulaire par l’accélération :
v 2  vo  2  a  ( x  xo )
2
L’équation 4 est l’équation indépendante du temps caractérisant un mouvement
uniformément varié.
On a représenté, ci-dessous l’aspect des graphes de la vitesse angulaire et de l’écart
angulaire (non exigé)
A l’instant de l’arrêt du disque, =0
et  max=250.2.=500=1570rad
1
100. 2  .(  0,5.  0,2 2 )
  ( J ' )
2
Mf  o

 3,2  10 3 N .m
2. ma x
2.1750
Là encore il est prudent de vérifier l’homogénéité des cette formule !
2
Le terme littéral ci-dessus possède l’unité : (s-1)2.kg.m2.=s-2.kg.m2
Par ailleurs, une force a la dimension d’une accélération par une masse, son unité est le
newton (N) qui est équivalent à : m.s-2.kg
Ainsi : on trouve que l’unité de Mf est : N.m ce qui est bien l’unité d’un moment !
b.
Calculer la durée de cette phase d’arrêt du disque. (0,50 pt)
Il suffit de poser (t)=0 dans l’équation 2 de la vitesse angulaire.
t arrêt 
o  J  '
Mf
1
31,4  0,5.0,2 2
s 1  kg  m 2
2

 98.
.  98s
3,2  10 3
kg  m.s 2  m