REVITRON.FR ~ a son poids, à la réaction du support et à une force de rappel ~F = −k.AM où A est le projeté orthogonale de O sur les rail. On notera AM = x. MP-2 TD 9 : Réf. non-galiléen x’ z Exercice 1 z x’ M D’après ICNA 05, Oral CCP 05 O Une perle P de masse m, considérée ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptible de se déplacer sur une tige de longueur 2` tournant à une vitesse angulaire ω ~ autour d’un axe contenant son centre O. L’accélération de la pesanteur ~g est constante et dirigée vers le bas. On note ~ le rayon vecteur de la position de P à l’instant t. Les grandeurs ~r = OP r0 et v0 caractérisent la position et la vitesse de la particule à l’instant t = 0 suivant l’axe Or. La tige est dans le plan horizontal (Ox, Oy) et tourne autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire ω . Les mouvements ont M ω d O A x x 1 - Appliquer le PFD et décrire toutes les forces (norme,direction,sens). 2 - Exprimer l’accélération du point M dans le référentiel du plateau puis avec la composition des accélérations calculer l’accélération de M dans R. 3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par x et discuter des solutions possibles. z w l eq y O Exercice 3 er On considère un pendule simple constitué d’une masse M suspendue par un fil de longueur L. Le point de suspension O, attaché au sol, est soumis, par rapport au référentiel RG , galiléen fixe, à un déplacement horizontal d’origine sismique xO (t). on note RS le référentiel lié au sol. x Figure 1 – Notations. lieu sans frottement. 1 - Établir l’équation différentielle en r du mouvement. 2 - Résoudre cette équation pour les conditions initiales r0 et v0 . 3 - Établir l’expression du temps τ que mettra la bille B pour sortir de la tige, on prendra v0 = 0 m.s−1 . 4 - Application numérique : Calculer τ pour ` = 0,10 m, r0 = 0,010 m ; v0 = 0 m.s−1 et ω = 2,0 rad.s−1 . Exercice 2 D’après Oral CCP 11 Un plateau horizontal est en rotation autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire constante ω dans un référentiel R supposé galiléen. Un point matériel M peut se déplacer sans frottement sur un rail xx0 infini fixé sur le plateau à une distance d de l’axe Oz. Ce point est soumis MP-2 D’après X 05, Centrale 08 y x z (t) O O L q M eq e r Figure 2 – Pendule. 1 - Écrire l’équation du mouvement angulaire du pendule dans RS . La linéariser dans l’hypothèse des petits mouvements angulaires. En déduire l’équation différentielle reliant le déplacement θ(t) de la masse M à celui x0 (t) du sol. M. BARTHES REVITRON.FR 2 - Si x0 (t) = X0 cos ωt, déterminer l’amplitude des oscillations Θ(ω), où Le déplacement mesuré à Bologne par Guglielmini était de 1,9 cm pour θ(t) = Θ(ω) cos(ωt + φ). une hauteur de 78,3 m. Ce résultat vous parait-il cohérent ? Exercice 4 D’après "La physique par la pratique" Dès 1791, Guglielmini réalisa des expériences de chute libre à Bologne pour tester le caractère (non) galiléen du référentiel terrestre. Une balle de masse m était lancée sans vitesse initiale d’une hauteur ~ = h0 ~ez à la latitude λ = 44,5°. On rappelle que l’attraction terrestre OM sur une masse m exerce une force ~F = −GMT m/r2 ~ez où r est la distance au centre de la Terre. On donne le rayon terrestre : RT = 6400 km, la masse de la Terre : M = 6.1024 kg et la constante de gravitation G = 6,67.10−11 N.m2 .kg−2 . w ey O l ex ez Figure 3 – Notations. 1 - Dans le référentiel terrestre tournant à la vitesse angulaire ω et muni du repère (O, ~ex , ~ey , ~ez ), déterminer l’équation différentielle régissant la trajectoire de la balle. On supposera que le référentiel géocentrique est galiléen. 2 - En étudiant l’importance des différents termes justifier que ( ẍ ≈ −2ω cos λż 2 z̈ ≈ −GM/RT 2 = 9,8 m.s−2 , en déduire que 3 - En posant g = GM/RT √ 3/2 2 2ω cos λh0 x= 3g 1/2 MP-2 M. BARTHES