Régime libre d`un circuit (R, L, C)

Régime libre d’un circuit (R, L, C)
Dipôle RLC soumis à un échelon de tension
Réalisé par :
jamal abdelghani
Asmi hicham
Atfi mohamed
Régime libre d’un circuit (R, L, C)
Définition d’un régime libre
Le régime libre (ou propre) d’un circuit est un régime obtenu lorsque les
sources sont éteintes. . Les conditions initiales vont fixer les conditions
d’évolution du régime. Initialement l'énergie est stockée dans le condensateur
ou la bobine.
Régime libre d’un circuit (R, L, C)
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑬
à t < 0 𝒒(𝒕) = 𝑸𝟎
𝒊(𝒕) = 𝟎
On ferme le circuit à t = 0
Equation différentielle qui gouverne la tension aux bornes du condensateur
On appliquant la loi de la maille
𝑼𝑹 + 𝑼𝑳 + 𝑼𝑪 = 𝟎
𝑼𝑹 = 𝑹𝒊
Avec
Or
Donc
𝒊=
𝒅𝒒
𝒅𝒕
=𝒄
; 𝑼𝑳 = 𝑳
𝒅𝒊
𝒅𝒕
𝒅𝑼𝑪
𝒅𝒕
𝑼𝑹 = 𝑹𝑪
𝒅𝑼𝑪
𝒅𝒕
et
𝑼𝑳 = 𝑳𝑪
𝒅𝟐 𝑼𝑪
𝒅𝒕𝟐
On obtient une équation différentielle du second ordre
𝒅𝟐 𝑼𝑪
𝒅𝑼𝑪
𝑳𝑪
+
𝑹𝑪
+ 𝑼𝑪 = 𝟎
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝟐 𝑼𝑪 𝑹 𝒅𝑼𝑪
𝟏
+
+
𝑼 =𝟎
𝒅𝒕𝟐
𝑳 𝒅𝒕
𝑳𝑪 𝑪
𝒅𝟐 𝑼𝑪
Équation du type :
𝒅𝒕𝟐
+
𝝎𝟎 =
Avec
𝝎𝟎 𝒅𝑼𝑪
𝑸 𝒅𝒕
𝟏
+ 𝝎𝟐𝟎 𝑼𝑪 = 𝟎
et 𝑸 =
√𝑳𝑪
𝑳𝝎𝟎
𝑹
𝟏
𝑳
𝑹
𝑪
= √
Résolution de l’équation différentielle
L'équation caractéristique est :
∆= 𝟒𝝎𝟐𝟎 (
𝟏
𝟒𝑸𝟐
𝒓𝟐 +
𝝎𝟎
𝑸
𝒓 + 𝝎𝟐𝟎 = 𝟎
− 𝟏)
 régime apériodique
∆> 0
𝑸<
𝟏
𝑹 > 2√
𝟐
𝑳
𝑪
il y a deux racines réelles négatives :
𝒓𝟏 = −
𝝎𝟎
(𝟏 + √𝟏 − 𝟒𝑸𝟐 )
𝟐𝑸
et 𝒓𝟐 = −
𝝎𝟎
𝟐𝑸
(𝟏 − √𝟏 − 𝟒𝑸𝟐 )
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑨𝟏 𝒆𝒓𝟏𝒕 + 𝑨𝟐 𝒆𝒓𝟐𝒕
la solution est :
𝑨𝟏 𝒆𝒕𝑨𝟐 ∈ 𝑹 Sont déterminés par les conditions initiales.
𝑼𝑪 (𝟎) = 𝑬
𝑼𝑪 (𝟎) = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝑬
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑬
𝒆𝒕
𝒓𝟏 𝑨𝟏 + 𝒓𝟐 𝑨𝟐 = 𝟎
et
𝒓𝟐 𝒆𝒓𝟏 𝒕 −𝒓𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒕
et
𝒓𝟐 −𝒓𝟏
 Régime critique
si ∆= 𝟎 𝑸 =
𝟏
𝑹 = 𝑹𝑪 = 𝟐√
𝟐
Il y a une racine négative :
La solution est :
Avec
𝑳
𝑪
𝒓 = −𝝎𝟎
𝒖𝑪 (𝒕) = (𝑨𝒕 + 𝑩)𝒆−𝝎𝟎𝒕
𝑼𝑪 (𝟎) = 𝑬
𝒊(𝟎) = 𝟎
𝒊(𝒕) = 𝟎
𝒊(𝒕) = 𝑪𝑬𝒓𝟏 𝒓𝟐
𝒆𝒓𝟏 𝒕 −𝒆𝒓𝟐 𝒕
𝒓𝟐 −𝒓𝟏
{
𝒖𝑪 (𝟎) = 𝑩 = 𝑬
𝒊(𝟎) = 𝑨 − 𝑩𝝎𝟎 = 𝟎
{
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑬(𝟏 + 𝝎𝟎 𝒕)𝒆−𝝎𝟎 𝒕
𝑩=𝑬
𝑨 = 𝑩𝝎𝟎 = 𝑬𝝎𝟎
𝒊(𝒕) = −𝑪𝑬𝝎𝟐𝟎 𝒕𝒆−𝝎𝟎𝒕
et
 Régime pseudopériodiques
∆< 0
Si
𝑸>
𝟏
𝟐
il y a deux racines complexes conjuguées à parties réelles négatives
on pose ∆= −𝟒𝝎𝟐
𝒓𝟏 = −
𝝎𝟎
𝟐𝑸
avec 𝝎 = 𝝎𝟎 √𝟏 −
+ 𝒋𝝎
𝒓𝟐 = −
𝝎𝟎
𝟐𝑸
𝟏
𝟒𝑸𝟐
pseudo pulsation
− 𝒋𝝎
la solution générale est
−𝝎𝟎 𝒕
𝟐𝑸
𝒖𝑪 (𝒕) = (𝑨𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝑨𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕)𝒆
𝑨𝟏 𝒆𝒕 𝑨𝟐 Dépendent des conditions initiales 𝑼𝑪 (𝟎) = 𝑬
−𝝎𝟎𝒕
𝟐𝑸
𝒖𝑪 (𝒕) = 𝑬𝒆
𝑻=
𝟐𝝅
𝝎
𝝎𝟎
(𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝟐𝑸𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕)
𝒊(𝒕) = −𝑪𝑬
𝝎𝟐
𝟎
𝝎
𝒊(𝒕) = 𝟎
−𝝎𝟎 𝒕
𝟐𝑸
𝒆
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
Est le pseudo période
Si R = 0 on obtient le régime périodique (sinusoïdal) non amorti de pulsation
𝝎𝟎
Les figures ci-dessous donnent l’évolution de 𝒖𝑪 (𝒕) a chaque régime
Dipôle RLC soumis à un échelon de tension
Définition d'un échelon de tension
Soit une source de tension de f.é.m. e(t) définie par e(t) = 0 pour 𝒕 < 𝒕𝟎 et
𝒆(𝒕)=E pour 𝒕 > 𝒕𝟎 avec E constant. Une telle source délivre un échelon de
tension.(souvent 𝒕𝟎 = 𝟎)
Un circuit électrique est composé d’une résistance R, d’une bobine d’inductance pure L et
d’un condensateur de capacité C. Ces dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit à
un échelon de tension U(t) de hauteur E
Equation différentielle qui gouverne la tension aux bornes du condensateur
On appliquant la loi des mailles
𝑼𝑮 = 𝑬 ; 𝑼𝑹 = 𝑹𝒊 ; 𝑼𝑳 = 𝑳
Avec
𝒊=
Or on a
𝑼𝑹 = 𝑹𝑪
Donc
𝑼𝑳 = 𝑳𝑪
𝒅𝒒
𝒅𝒕
=𝒄
𝒅𝒊
𝒅𝒕
𝒅𝑼𝑪
𝒅𝒕
𝒅𝑼𝑪
𝒅𝒕
𝒅𝟐 𝑼𝑪
𝒅𝒕𝟐
On obtient une équation différentielle du second ordre
𝒅𝟐 𝑼𝑪
𝒅𝑼𝑪
𝑳𝑪
+
𝑹𝑪
+ 𝑼𝑪 = 𝑬
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
La solution générale de cette équation est la somme d'une solution particulière
de l'équation avec second membre (régime forcé) et de la solution générale de
l’équation homogène (régime libre).
𝒖𝑪 (𝒕) = 𝒖𝑪 𝒕𝒓 (𝒕) + 𝑬
Avec
𝒖𝑪 𝒕𝒓 (𝒕)
Et
E
réponse du régime transitoire
réponse du régime permanent
Nous avons déjà calculé 𝒖𝑪
𝒕𝒓 (𝒕)
dans la partie 1
ON trouve trois régimes
 régime apériodique
𝒓𝟐 𝒆𝒓𝟏𝒕 − 𝒓𝟏 𝒆𝒓𝟏𝒕
𝒖𝑪 (𝒕) = 𝑬
+𝑬
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
 Régime critique
𝒖𝑪 (𝒕) = 𝑬(𝟏 + 𝝎𝟎 𝒕)𝒆−𝝎𝟎 𝒕 + 𝑬
 Régime pseudopériodiques
−𝝎𝟎 𝒕
𝟐𝑸
𝒖𝑪 (𝒕) = 𝑬𝒆
𝝎
𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕) + 𝑬
(𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝟐𝑸𝝎
Les figures ci-dessous donnent l’évolution de 𝒖𝑪 (𝒕) a chaque régime