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Chapitre 6 les circuits électriques en régime variable
I principes généraux
1.1 régime variable
Un circuit électrique fonctionne en régime variable lorsqu’il est alimenté par des sources qui
sont fonction du temps ou lorsque sa configuration est modifiée à un instant donné par
l’ouverture ou la fermeture d’un interrupteur par exemple.
Le but du chapitre est de déterminer les expressions Mathématiques des valeurs
instantanées des courants de tension
1.2 dipôles passifs : équations de fonctionnement
1.3 Interrupteurs : caractéristique
Ils peuvent être de type mécanique mais on utilise surtout des composants de l’électronique
(Diode, transitoire, fonctionnant en régime de commutation). Ces commutateurs sont
généralement unidirectionnels en courant ou en tension. De plus, ils ne sont parfaits qu’en
première approximation (en négligeant tension de seuil et tension résiduelle).
II Mise en équations et résolution du problème posé
On se place dans le cas classique où le circuit étudié n’est constitué que d’une maille.
Pour résoudre le problème, il faut suivre la démarche suivante :


on commence par analyser le fonctionnement des interrupteurs du montage, a
chaque état des interrupteurs correspond à une configuration différent du circuit
donc un problème différent à traiter
on écrire les lois de Kirchhoff dans le circuit en faisant intervenir les équations des
fonctionnements des dipôles, on obtient ainsi une équation différentielle linéaire du
premier ordre ou second ordre ayant comme inconnu le signal s(t) cherché.
ED du 1er ordre
F(s(t) ;
ED du 2nd ordre
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
)=e(t)
f(s(t) ;
𝑑𝑠(𝑡) 𝑑²𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
,
𝑑𝑡²
)= e(t)
Le second membre e(t) , produit généralement l’action des dipôles actifs du montage

on recherche la solution générale S1(t) de l’équation sans second membre (SGESSM)
f(S1(t) ;

𝑑𝑠1(𝑡)
𝑑𝑡
)=0 ou f(S1(t) ;
𝑑𝑠1(𝑡) 𝑑²𝑠1(𝑡)
𝑑𝑡
,
𝑑𝑡²
)= 0
on recherche la solution particulière S2(t) de l’équation aves second membre
(SPEASM)
La recherche de la solution particulière de l’équation avec second membre peut être
facilitée en remarquant que si le SM est une constante, une fonction circulaire en t (cos
wt, sin wt) ou un polynôme en t, la solution particulière est de même nature
mathématiques.

La solution de l’équation différentielle : s(t) = S1(t) + S2(t), elle fait intervenir un
nombre de constantes d’intégrations égales à l’ordre d’équa diff , leur valeur est
déterminée par les conditions initiales du problème.
Le SGESM s1(t) correspond au régime libre ou au régime transitoire
c’est toujours en pratique une fonction décroissante du temps à cause
de l’amortissement du aux résistances. Si t tend vers l’infini, s1(t) va
tendre vers 0
La SPEASM s2(t) correspond au régime forcé ou régime permanent,
c'est-à-dire celui que tant à imposer au circuit le signal e(t) on l’obtient
par identification. Si ce régime avait le temps de s’établie la seconde
solution S2(t) subsisterait seul s(t) donne s2(t)
III Réponses du circuit du 1er ordre
3.1)
3.2) Charge et décharge d’un générateur à travers une résistance
3.2) Etablissement du courant dans une bobine
I(t)
La loi des mailles E=Ur(t) + Ul(t) avec Ur(t) = Ri(t)
Ul (t) = L di(t)/dt
A t=Os, on ferme l’interrupteur et on supose i(0)= 0
L/R
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ i(t) =
𝐸
𝑅
I(t) = A𝑒 −𝑡/𝜏 (1-𝑒 −𝑡/𝜏 )
IV Réponses de circuits du 2nd ordre :
Un circuit linéaire du 2nd ordre répond à l’équation différentielle suivante
1
𝑤𝑜²
+
𝑑²𝑠(𝑡)
𝑑𝑡²
+
2𝑚
𝑤𝑜
𝑥
𝑑𝑠 (𝑡)
𝑑𝑡
+ s(t) = e(t)
Avec w0 : pulsation propre du circuit (en rad/s) ; m : coefficient d’amortissement du circuit
noté Ϛ (sans unité et ≫ 0)
4.1) Etude du régime libre
On commence par poser l’équation caractéristique ;
r : racine de l’équation caractéristique
1
𝑤𝑜²
r² +
2𝑚
𝑤0
r+1=0
2𝑚
4𝑥1
4
On en déduit l’expression du discriminant ∆ =( 𝑤0 )² - 𝑤𝑜² = 𝑤𝑜²(m²-1=
Discussion sur les valeurs de m ;
On distingue 3 cas
-
m>1 → 2 racines réelles
m=1 → 1 racine de double réelle
0 < m < 1 → 2 racines complexes conjuguées
Cf feuille de synthèse pour forme des solutions et nom du régime correspondant
4.2 Etude du régime forcé
Ce régime correspond à la SPEASM s2(t)
Les solutions particulières les plus courantes en génie électriques sont la constante ou la
somme des fonctions circulaires
La solution complète est la somme des 2 solutions précédemment définies. La solution se
termine par la recherche des constantes A et B grâce aux conditions initiales
4.3 Exemple : circuit RLC série
On cherche la réponse u(t)
du circuit RLC
E : tension continue
K : ouvert pour t<0
T=Os,
on
l’interrupteur
ferme
Condition
initiale :
condensateur
initialement déchargé u(0)=O. lorsque K est fermé, la loi des mailles
le
est
E- UL(t) – Ur –Uc(t) =0
E= Ul (t) + Ur(t) + Uc(t)
𝑑𝑖(𝑡)
E= L
𝑑𝑡
+ Ri(t) + u(t) or i(t) = C
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑²𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡²
=C
avec Uc(t)= u(t)
LC
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑²𝑢(𝑡)
𝑑𝑡²
+ RC
𝑑𝑢(𝑡)
On veut normaliser l’ED sous la forme :
1 𝑑²𝑢(𝑡)
𝑑𝑡²
𝑤0²
2𝑚 𝑑𝑢(𝑡)
+
𝑤0
𝑑𝑡
+ u(t) = R(t) = E
On pose w0=
On a
2𝑚
𝑤𝑜
1
𝑤𝑜
= LC → wo²=
𝑑𝑡²
𝐿𝐶
wo=
1
√𝐿𝐶
𝑅
𝐶
2
𝐿
2m√𝐿𝐶=RC → m= √
=RC
1 𝑑²𝑢(𝑡)
𝑤0²
1
2𝑚 𝑑𝑢(𝑡)
+
𝑤0
𝑑𝑡
+ u(t) = R(t) = E
𝑑𝑡
+ u(t) =E