TD 8 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
PCSI - 2016-2017
TD 8 : Equations différentielles
Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. y 0 = y + 1 et y(0) = 4.
2. y 0 + 3y = e−3x .
3. y 0 + ty = t.
4. 2xy 0 + y = xn , n ∈ Z, I =]0; +∞[.
5. x(x − 2)y 0 + y = 0 sur I =]0, 2[.
6. (1 + t2 )y 0 + 2ty = 1 et y(1) = 0.
7. (x + 1)y 0 − xy + 1 = 0 sur I =] − 1; +∞[ et y(0) = 2.
8. y 0 + (1 + 2ix)y = 0.
Exercice 2 : On considère l’équation différentielle :
(E)
y 0 + xy = |x|
1. Résoudre sur R∗+ l’équation différentielle (E).
2. Faire de même sur R∗− .
3. Peut-on trouver une fonction continue et dérivable en 0 solution de (E).
Exercice 3 : On considère l’équation différentielle :
(E)
(1 − t)y 0 − y = t
1. Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle (E).
2. Faire de même sur ] − ∞, 1[.
3. Peut-on trouver une fonction continue et dérivable en 1 solution de (E).
Exercice 4 : Résoudre le système linéaire différentiel suivant :
(1 + t2 )x0 = tx + y
(1 + t2 )y 0 = −x + ty
Indication : On pourra poser z(t) = x(t) + iy(t) et trouver un système vérifié par z.
Exercice 5 : Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. y” + y 0 + y = e3x .
2. y” − 3y 0 + 2 = ex avec y(0) = 1 et y 0 (0) = 0.
3. y” + 2y 0 + 4y = 4x2 + ex .
4. y” + 3y 0 + 2y = cos(2x) avec y(0) =
1
17
et y 0 (0) =
.
20
20
5. y” + 2y 0 + y = e−x .
6. y” + 4y = (sin x)2 .
7. y” − (1 + 2i)y 0 + (−1 + i)y = x
Exercice 6 : Résoudre le système linéaire différentiel suivant :
0
x = x + 2y + t
y 0 = 2x + y
Indication : On pourra montrer que x et y vérifie des équations différentielles d’ordre 2.
1
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Exercice 7 : Soit f une fonction dérivable sur R telle que pour tout x réel, on a :
(E)
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f 0 (x) + f (−x) = ex
1. Montrer que si f vérifie (E) alors f est deux fois dérivables (on montrera que f 0 est dérivable). En déduire
que f est indéfiniment dérivable (on dit qu’elle est C ∞ ).
2. Si f est solution de (E), trouver une équation différentielle du second ordre vérifié par f .
3. En déduire les solutions de (E).
4. (dur) Trouver toutes les fonctions g continues sur R, vérifiant la propriété :
∀x ∈ R, g(x) = ex +
Z
−x
g(t)dt
0
Exercice 8 : On considère l’équation différentielle : (E)
solutions de (E) sur ]0, +∞[.
t2 y” + 4ty 0 + 2y = 1. On cherche à déterminer les
1. On pose z(x) = y(ex ). Exprimer z 0 , z 00 en fonction de y 0 , y 00 et de la fonction exponentielle.
2. On pose t = ex , c’est à dire que z(x) = y(ex ) = y(t).
Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de (E1 )
3. En déduire les solutions de (E1 ) puis les solutions de (E).
2
z”(x) + 3z 0 (x) + 2z(x) = 1.