dm5

PTSI
Lycée Pierre de Coubertin
Devoir Maison 5
-1pt par jour de retard
Problème.
Les parties I, II et IV de ce problème sont en grande partie indépendantes.
On considère l’équation (E) suivante où f est une fonction continue sur un intervalle I et où l’inconnue
y est une fonction définie sur I et à valeurs réelles :
∀x ∈ I, y 00 (x) + 4y 0 (x) + 4y(x) = f (x)
(E)
Partie 0 - Préliminaire
1. Résoudre l’équation homogène associée à (E).
Partie I - Cas où f (x) = 8x + 20
Dans cette partie, on cherche à résoudre y 00 (x) + 4y 0 (x) + 4y(x) = 8x + 20 (E) sur I = R.
2. Rechercher une solution particulière de (E) et donner toutes les solutions de (E).
3. (a) Déterminer l’unique solution de (E) satisfaisant la condition initiale y(0) = 0 et y 0 (0) = 0.
(b) Combien de solutions de (E) vérifient simultanément les conditions y(0) = 0 et y(1) = 5 ?
Partie II - Cas où f (x) = cos(2x)
Dans cette partie, on cherche à résoudre l’équation y 00 + 4y 0 + 4y = cos(2x) (E) sur I = R et on
0
commence pour cela par considérer l’équation y 00 + 4y 0 + 4y = ei2x (E ).
4. Citer explicitement le théorème permettant d’obtenir une solution particulière de l’équation
différentielle :
y 00 + 4y 0 + 4y = ei2x
5. (a) En déduire une solution particulière de l’équation différentielle y 00 + 4y 0 + 4y = cos(2x).
(b) En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
6. Déterminer l’unique solution de (E) satisfaisant à la condition initiale y(0) = 0 et y 0 (0) = 0.
Partie III - Cas où f (x) =
7
+ 2x + 3 cos2 x
2
7
Dans cette partie, on cherche à résoudre y 00 (x) + 4y 0 (x) + 4y(x) = + 2x + 3 cos2 x (E) sur
2
I = R.
On pourra utiliser les résultats établis dans les parties I et II.
7. Déterminer (α, β) ∈ R2 tel que :
∀x ∈ R,
7
+ 2x + 3 cos2 x = α(8x + 20) + β cos(2x)
2
8. En déduire, en justifiant avec soin, les solutions de l’équation différentielle (E).
1/2
À rendre le lundi 28 novembre 2016
PTSI
Lycée Pierre de Coubertin
Partie IV - Changement de fonction inconnue - Cas où f (x) =
e−2x
x
e−2x
Dans cette partie, on cherche à résoudre y 00 (x) + 4y 0 (x) + 4y(x) =
(E) sur I =]0, +∞[.
x
Soit y une fonction deux fois dérivable sur I, on définit alors la fonction z sur I par :
∀x ∈ I, z(x) = y(x)e2x
9. Montrer l’équivalence suivante, pour x ∈ I :
y 00 (x) + 4y 0 (x) + 4y(x) =
e−2x
1
⇐⇒ z 00 (x) =
x
x
10. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
Partie V - Changement de variable x = ln(t)
Dans cette partie, on cherche à résoudre l’équation différentielle (F ) suivante sur l’intervalle
]0, +∞[ :
(F )
t2 y 00 (t) + 5ty 0 (t) + 4y(t) = cos(ln(t2 ))
Soit y une fonction deux fois dérivable sur ]0, +∞[, on définit alors la fonction z sur R par :
∀t ∈]0, +∞[, y(t) = z(ln t) autrement dit z(x) = y(ex )
11. Montrer l’équivalence suivante :
y est solution de (F ) ⇐⇒ z est solution de y 00 (x) + 4y 0 (x) + 4y(x) = f (x)
où f est une fonction à déterminer.
12. À l’aide de résultats établis dans une des parties précédentes, en déduire les solutions de (F ).
2/2
À rendre le lundi 28 novembre 2016