ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE À COEFFICIENTS NON CONSTANTS : a(t)y’ + b(t)y = c(t) Soit y(t) une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR. On considère l’équation différentielle (E) : a(t)y’ + b(t)y = c(t) où a(t) , b(t) et c(t) sont trois fonctions définies et dérivables sur I, avec a(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I. 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION SANS SECOND MEMBRE (E0) : a(t)y' + b(t)y = 0 Nous avons vu dans le paragraphe précédent le cas particulier de cette équation différentielle lorsque a et b sont des constantes. Il s'agit ici d'étudier les solutions de l'équation lorsque a et b sont des fonctions de la variable t. Théorème : Soient a(t) et b(t) des fonctions dérivables sur un intervalle I ( a(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I ). L'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E0) est l'ensemble des fonctions définies sur I b(t) par : y0(t) = K e–F(t) où K est une constante réelle et F(t) est une primitive de . a(t) Exemple : Résolvons (E0) : Sur I = ]–1 ; +∞[ (t + 1) y' + (t – 1) y = 0 On isole y’ : Il faut chercher une primitive de On obtient : F(t) = Alors e–F(t) = Les solutions de (E0) sont les fonctions définies sur I par : y0(t) = Exercice : Résoudre (E0) : t y’+ 2 y = 0 Sur ]0 ; +∞[ -1- DMartin-LAH 2. GÉNÉRALITÉS La résolution d’une équation différentielle du premier ordre : a(t)y’ + b(t)y = c(t) se fait en quatre étapes : 1. Résoudre l’équation sans second membre (E0) : a(t)y’ + b(t)y = 0. Û La solution est : y0(t) = K e–F(t) où K est une constante réelle et F(t) est une primitive de b(t) a(t) 2. Déterminer une solution particulière de (E) : h(t) Û Elle est donnée dans l’énoncé pour les équations différentielles à coefficients non constants 3. Additionner les deux solutions obtenues : y0(t) + h(t) Û C’est l’ensemble de toutes les solutions de (E). (il y en a une infinité) 4. Trouver la solution unique vérifiant une condition initiale donnée. Û Il s’agit ici de trouver la constante K de y0(t) telle que la condition initiale soit vérifiée. Exercice : 1 On considère l’équation différentielle (E) : (1 + x) y’ – y = ln 1+ x où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur r+ et y’ sa dérivée. 1. Déterminer les solutions sur r+ de l’équation différentielle (E0) : (1 + x) y’ – y = 0. 2. Soit h la fonction définie sur r+ par : h(x) = ln (1 + x) + C avec C ∈ r. Déterminer C pour que la fonction h soit une solution particulière de (E). 3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative passe par l’origine du repère. -2- DMartin-LAH