Équations différentielles d`ordre 2

Équations différentielles d’ordre 2
Fiche n◦ 18 (S18-7b)
Exercice 1 (Équation du type y ′′ + ωy = 0)
4. L’équation différentielle y ′′ + 4y = 0 admet pour solution la fonction f définie,
pour tout réel x, par :
π
π
b. f (x) = 5 sin 2x +
a. f (x) = 2 sin x +
π 3
π2 d. f (x) = sin 4x +
c. f (x) = 4 sin x +
4
2
Résoudre les équations différentielles suivantes dans lesquelles y est une fonction de
la variable t définie et deux fois dérivable sur R
1. y ′′ + 16y = 0
3. 4y ′′ = −25y
2. 25y ′′ + y = 0
4. 169y + 4y ′′ = 0
5. La solution f de l’équation différentielle y ′′ + 4π 2 y = 0 qui vérifie f (0) = −1
et f ′ (0) = 0 admet comme représentation graphique :
a.
b.
Exercice 2 (Équations du type y + ωy = 0 avec conditions initiales)
′′
1. Résoudre l’équation différentielle 9y ′′ + y = 0.
2. Déterminer la solution
particulière f vérifiant les deux conditions
√
3π
f (0) = − 3 et f
= 1.
2
x 5π
.
−
3. Montrer que pour tout x de R : f (x) = 2 cos
3
6
4. Résoudre dans R l’équation f (x) = 0.
1
−2
−2
2
d. f (x) = e3x −
0
1
0
1
−1
1
0
−1
1
−2
−1
−1
7. On considère l’équation différentielle y ′′ + 9y = 0, où y désigne une fonction
deux fois dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution f de cette équation
est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :
a. f (x) = 4e9x
b. f (x) = −0, 2e−9x
c. f (x) = 7 cos(9x) − 0, 2 sin(9x)
d. f (x) = 0, 7 sin(3x)
2
3
8. On considère l’équation différentielle y ′ + 7y = 0, où y désigne une fonction
dérivable sur l’ensemble des réels. La solution f de cette équation telle que
f (0) = 9 est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :
a. f (x) = 9e7x
b. f (x) = 9e−7x
7x
c. f (x) = −9e
d. f (x) = −9e−7x
π
3. f est définie par : f (t) = 3 cos 5t −
est solution de
2
′
′′
a. y + 3y = 0
b. y + 25y = 0
c. y ′′ − 5y = 0
N. DAVAL
−1
6. Les solutions de l’équation y ′ − 2y = 0 sont les fonctions du type :
a. x 7→ ke2x , k ∈ R
b. x 7→ ke−2x , k ∈ R
c. x 7→ ke2x + k, k ∈ R
c. f (x) = e 3 x
−2
d.
−1
2. On considère l’équation différentielle y ′ − 3y = 2, où y désigne une fonction
dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la
fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :
2
3
1
1
π
4
.
x−
1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2 cos
3
6
La fonction f est une solution de l’équation différentielle :
a. y ′′ + y = 0
b. 16y ′′ −9y = 0 c. 9y ′′ +16y = 0 d. 9y ′′ −16y = 0
b. f (x) = e3x +
0
−1
c.
1. Résoudre l’équation différentielle 4y ′′ + 9y = 0.
2. Déterminer
π √ la solution particulière f de l’équation (E) vérifiant
= 3 et f ′ (π) = 0.
f
3
√
3. Donner la solution sur l’intervalle [ 0 ; 2π [ de l’équation f (x) = 3.
a. f (x) = 2e−3x
1
−1
Exercice 3 (Équations du type y ′′ + ωy = 0 avec conditions initiales)
Exercice 4 (Bac STI2D Divers QCM)
Tale STI2D
1/1
Lycée Georges Brassens