Cours sur les équations différentielles

Chapitre 10
Equations différentielles
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Qu’est ce qu’une équation différentielle ?
Exemple : résoudre l’équation différentielle ! y′′ + 3y′ − 5y = 3 signifie trouver toutes les fonctions ƒ
telles que ! f '' ( x ) + 3 f ' ( x ) − 5 f ( x ) = 3 quel que soit x appartenant à ! ! .
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I.
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EQUATION DE TYPE y’+ay=0
Théorème
Soit l’équation différentielle ! y'+ ay = 0 (dite équation homogène) où ! a ∈! et y est une fonction
de variable x définie et dérivable sur ! ! .
− ax
Les solutions de cette équation sont sous la forme ! x ! Ce
où C est une constante réelle.
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Exemple
Les solutions de l’équation différentielle ! y'+ 3y = 0 sont sous la forme ! x ! Ce−3x .
Remarque
Il y a donc une infinité de solutions (infinité de constantes C possibles). En revanche, lorsqu’il y a
une condition imposée (appelée condition initiale) alors l’équation différentielle n’admet qu’une
seule solution (voir partie suivante).
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! II. EQUATION DE TYPE y’+ay=b
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1
Cas général
Théorème
Soit l’équation différentielle ! y'+ ay = b , où a et b sont deux réels, avec ! a ≠ 0 , et où y est une
fonction de variable x définie et dérivable sur ! ! .
b
− ax
Les solutions de cette équation sont sous la forme ! x ! Ce + a où C est une constante réelle.
Exemple
Les solutions de l’équation différentielle ! y'− 3y = 1 sont sous la forme : ……………….
Chapitre 10 : Equations différentielles
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Chapitre 10
Remarque
✋ Attention à bien se ramener à la forme ! y'+ ay = b avant de résoudre !
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Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, résoudre l’équation différentielle (E) dans laquelle y est une fonction de la
variable réelle x définie et dérivable sur ! ! .
1) (E) :! y' = −6y + 4
2) (E) : ! y' = 4y − 7
3) (E) :! 2y'− 5y − 3 = 0
!
Remarque
On a représenté ci-contre les
courbes représentatives de huit
solutions de l’équation
différentielle de l’exemple
précédent. Supposons que la
solution doive vérifier la
2
condition : ! y ( 0 ) = .
3
Quelle est la courbe
correspondante ?
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!
!
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2
Condition initiale
Théorème
Soient ! x0 et ! y0 deux réels. L’équation différentielle! y'+ ay = b , où a et b sont deux réels, avec
! a ≠ 0 , admet une unique solution telle que ! f ( x0 ) = y0 .
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Exemple
Déterminer la solution ƒ de l’équation différentielle ! y'+ y = −2 qui vérifie! f ( 0 ) = 5.
Les solutions de cette équation différentielle sont sous la forme ! f ( x ) = Ce− x − 2 .
Donc ! f ( 0 ) = Ce0 − 2 = C − 2 et on sait que ! f ( 0 ) = 5. D’où : ! C − 2 = 5 donc ! C = 7.
Conclusion : ! f ( x ) = 7e− x − 2
!!
Exercice 2
1) Déterminer la solution ƒ de l’équation différentielle (E) : ! y'+ 4y = 5 telle que ! f ( 0 ) = −1.
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!!
!!
!!
2)
Déterminer la solution ƒ de l’équation différentielle (E) : ! y'+ 3y = −5 telle que ! f ( ln 2 ) =
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4
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3
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Chapitre 10
III
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EQUATION DE TYPE ! y''+ ω 2 y = 0
1 Cas général
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Théorème
Soit l’équation différentielle ! y''+ ω 2 y = 0 où ! ω est un réel non nul et où y est une fonction de
variable réelle x définie et deux fois dérivable sur ! ! .
Les solutions de cette équation sont sous la forme ! x ! C1 cos (ω x ) + C2 sin (ω x ) où ! C1 et ! C2 sont
deux constantes réelles.
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Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, résoudre l’équation différentielle (E) dans laquelle y est une fonction de variable
réelle x définie et deux fois dérivable sur ! ! .
1)
(E) : ! y'' = −9y
(E) : ! 4y''+ π 2 y = 0
(E) : ! 25y''+ 4y = 0
2)
3)
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2
Condition initiale
Remarque
Pour déterminer une constante, on a besoin d’une condition initiale. Pour déterminer deux
constantes, on a besoin de deux conditions initiales.
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Théorème
Soient ! x0 , ! y0 et ! y1 trois réels. L’équation différentielle ! y''+ ω 2 y = 0 où ! ω est un réel non nul,
admet une unique solution ƒ vérifiant les conditions ! f ( x0 ) = y0 et ! f ' ( x0 ) = y1 .
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Exemple
Déterminer la solution de l’équation différentielle (E) : ! y''+ 4y = 0 qui vérifie ! y ( 0 ) = 3 et ! y' ( 0 ) = 0.
Ici : ! ω 2 = 4 donc on prend ! ω = 2. Donc ƒ est sous la forme : ! f ( x ) = C1 cos ( 2x ) + C2 sin ( 2x ) où ! C1 et ! C2
sont deux constantes réelles.
! f ( 0 ) = C1 cos ( 0 ) + C2 sin ( 0 ) = C1 et on sait que ! f ( 0 ) = 3 (condition initiale) donc ! C1 = 3
! f ' ( x ) = −2C1 sin ( 2x ) + 2C2 cos ( 2x ) donc ! f ' ( 0 ) = −2C1 sin ( 0 ) + 2C2 cos ( 0 ) = 2C2 et on sait que ! f ' ( 0 ) = 0
(condition initiale) donc ! 2C2 = 0 d’où ! C2 = 0
Conclusion : ! f ( x ) = 3cos ( 2x )
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Exercice 4
Déterminer la solution de l’équation différentielle (E) :! y''+ π 2 y = 0 vérifiant ! y (1) = 0 et ! y' (1) = 2π .
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